甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年高一下期中考试数学试卷（解析版）

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一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在四边形中，若，则（ ）
A. 四边形一定是等腰梯形B. 四边形一定是菱形
C. 四边形一定是直角梯形D. 四边形一定是平行四边形
【答案】D
【解析】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，
由可知，由构成的四边形一定是平行四边形.
故选：D.
2. 在中，内角所对的边分别为，若，则角等于（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】A
【解析】在中，因为，
由正弦定理，可得，
因为且，所以或.
故选：A.
3. 向量，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，即.
故选：.
4. 在中，已知，则角等于（ ）
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
【答案】C
【解析】因为，整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
故选：C.
5. 已知，其中，求的值（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，可得，所以，
.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，所以，
又，
所以，
所以，
又，所以，所以.
故选：D.
7. 已知分别是的内角的对边，若的周长为，且，则（ ）
A. B. 2
C. 4D.
【答案】C
【解析】由题知周长为①，
∵，
由正弦定理得②，
∴由①②，可解得.
故选:C．
8. 在中，为上一点，且，则实数值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
因此，
因为三点共线，所以，，
故选：B.
二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．）
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则与的夹角为D. 若与垂直，则
【答案】ABD
【解析】对于选项，已知，，若，则，
即，解得，所以选项正确.
对于选项，若，则，那么.
所以，选项正确.
对于选项，若，则.
，，.
则，则 与的夹角不是，选项错误.
对于选项，.
若与垂直，则，即.
展开可得，即，解得，选项正确.
故选：ABD.
10. 的内角所对边分别为，对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，则为直角三角形
D. 若，则为锐角三角形
【答案】AC
【解析】依题意，中，，，A正确；
，B不正确；
因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；
因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确.
故选：AC
11. 已知函数的最小正周期为，则以下命题正确的有（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
D. 若方程在上有两个不等实数根，则
【答案】ABC
【解析】A：，因为，所以，故正确；
B：因为，即为最小值，所以的图象关于直线对称，故正确；
C：的图象向右平移个单位长度可得，显然为偶函数，所以图象关于轴对称，故正确；
D：，作出的图象如下图所示，
令，所以，
当时，，当时，，
由图象可知，的交点关于直线对称，
所以，所以，所以，故错误；
故选：ABC.
三、填空题
12. 已知点是角终边上的一点，则的值为________.
【答案】
【解析】已知角终边上一点，所以，
所以，所以.
故答案为：
13. 计算＝________．
【答案】
【解析】因为，
得到，
所以，
故答案为：.
14. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________．
【答案】
【解析】由题意可得在上的投影向量为
.
故答案为：.
四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量与的夹角为，且，.
（1）求；
（2）；
（3）求向量与向量的夹角.
解：（1）因为向量与的夹角为，且，，
则.
（2）.
（3）设向量与向量的夹角，
可得，
且，则，所以向量与向量的夹角为.
16. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设，.
（1）用，表示;
（2）求的余弦值.
解：（1）在平行四边形中，点是的中点，所以，且
所以，所以，即，
根据向量的加法法则，∴
（2）由，，
于是，∴
又，
∴.
17. 如图所示，有一艘缉毒船正在处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕．
（1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
（2）试确定缉毒船的行驶方向．
解：（1）设缉毒船经过小时恰好能将毒贩抓捕，
由题意可知：，
由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，
所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕.
（2）由（1）可知：，
由正弦定理可得，
且为锐角，则，可得，
所以缉毒船的行驶方向为北偏东.
18. 在中，已知，，.
（1）求；
（2）若为上一点，且，求的面积.
解：（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
19. 已知点，为坐标原点，函数
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若为的内角，，求周长的最大值.
（1）解：由，可得，
则
，
所以函数的最小正周期为.
（2）解：由（1）知：，
令，可得，
所以函数的单调减区间为.
（3）解：由（1）且，可得，所以，
因为，可得，所以，解得，
又因为，由正弦定理 ，
可得，，
所以
，
当且仅当等号成立，故周长的最大值.