重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试卷（解析版）

这是一份重庆市大渡口区2024-2025学年九年级下学期第二次适应性检测数学试卷（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】．2是正数是有理数，故该选项不符合题意；
．是负数是有理数，故该选项不符合题意；
．是分数是有理数，故该选项不符合题意；
．是无理数，故该选项符合题意；
故选：D．
2. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】该几何体的主视图是：
故选：A．
3. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.，所以，点不在函数图象上，故选项A不符合题意；
B.，所以，点不在函数图象上，故选项B不符合题意；
C.，所以，点在函数图象上，故选项C符合题意；
D.，所以，点不在函数图象上，故选项D不符合题意；
故选：C．
4. 若，与的面积比为，则与的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，与的面积比为，
∴与的比是，
故选：A．
5. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过三角形的角的顶点作，如图：
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
6. 估算的结果应在（ ）
A. 6和7之间B. 7和8之间
C. 8和9之间D. 9和10之间
【答案】B
【解析】
，
∵，
∴，即，
∴，即，
∴，
故选：B．
7. 如图所示，将形状、大小完全相同“•”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“·＂，第②个图案用了11个“·”，第③个图案用了16个“·”，第④个图案用了21个“·”，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案用的“•”个数是（ ）
A. 48B. 46C. 41D. 40
【答案】B
【解析】第①个图案用了个“·”，
第②个图案用了个“·”，
第③个图案用了个“·”，
第④个图案用了个“·”，
⋯⋯⋯⋯
第n个图形用了个“·”，
则第⑨个图案用了个“·”，
故选：B．
8. 如图，正方形中，分别取和边的中点，连接相交于点，连接，若，则的度数一定为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延长交的延长线于，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
，，
点，分别是，的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
即点是斜边上的中点，，
，．
故选：D．
9. 如图，是等边三角形的外接圆，点是的中点，连接．以点为圆心，的长为半径在内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】如图，过D作于E，
∵是等边三角形的外接圆，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10. 将连续正整数的排列顺序打乱，重新排列成．若，下列说法：①可能是负数；②是奇数时，是奇数；③是偶数时，是偶数．其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】依题意，当时，重新排列为2，3，1，则，故①正确；
当时，重新排列为2，1，4，3，则，此时满足是奇数，但是偶数，故②错误；
当时，由①知，此时满足是偶数，但是奇数，故③错误．
故选：B．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）．
11. 计算：______．
【答案】10
【解析】，
故答案为：10．
12. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为____________．
【答案】
【解析】；
故答案为：．
13. 3月14日是国际数学节．我校在今年国际数学节策划了“数字华容道”、“汉诺塔”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是______．
【答案】
【解析】把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为1、2、3；画树状图如下：
，
共有9种等可能的结果，小明和小红恰好选到同一个活动的结果有3种，小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为，
故答案为：．
14. 若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为______．
【答案】
【解析】，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵关于的不等式组至多有两个偶数解，
∴，解得：，
解分式方程，
，
，
∵关于的分式方程的解为正整数，
∴且，
∴的值为或
符合条件的整数的值的和为，
故答案为：．
15. 如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，若，，则______；______．

【答案】①. 2 ②. 1
【解析】∵是的直径，点在上，∴．
∵，，
∴
∵．
将，，代入，可得：
，
在中，，将，代入可得：
，
∴，
连接，作，

∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
16. 如果一个各位数字均不相同四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则______；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为______．
【答案】①. 829 ②. 1987
【解析】一个四位数满足，，
，，且，，，，且、、、为整数，
，由题意得 ，
，
，
若是最大的“十一数”，则要尽可能大，
则，，
且要尽可能大，
当时，，
则此时，不符合题意，
当时，，
则此时，符合题意，
则；
，
要使能被7整除，只需能被7整除即可，
，，
，
可以为0或7或14，
当时，，此时，不符合题意；
当时， 要使最小，则应尽可能小，
，
满足条件的最小的“十一数”为1987，
故答案为：829；1987．
三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：，其中．
（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式=
18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）；
（2）求证：四边形为矩形．
证明：，①______．
四边形是菱形，
，，，
，
，②______，
又，四边形为③______．
，④______．
，
四边形为矩形．
（1）解：如图即为所求：
作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点
（2）证明：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
∴四边形为矩形．
故答案为：①；②；③平行四边形；④．
19. 科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；

抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
（1）解：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”的人数：
（人），
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的人数：（人），
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“非常满意”的人数：（人），
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“比较满意”的人数：
（人），
；
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据的中位数是将这组数组按从小到大顺序排好后的第、个数的平均数，
“不满意”的人数与“比较满意”的人数共：人，
第、个数在评分为“满意”的数据中，
第、个数为、，
；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据中出现最多的是数据，共个，
；
故答案为：，，；
（2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款评分数据的平均数、众数都相同，但A款评分数据的中位数为分比B款的中位数88分高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）解：（人），
答：此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人．
20. 为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进A、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？
（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，
∴设购进A、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∵某玩具店决定各用300元购进了A、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则（元）
∴购进A、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进A、两种哪吒玩偶共80个，
∴设该玩具店购进A种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，
∵A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，
∴，
解得，
设购进A、两种哪吒玩偶所需元，
∵A、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，且为正整数，
∴当时，有最小值，且，
即此次购进至少要花3210钱．
21. 在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿匀速运动，到点停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒，的面积为．
（1）直接写与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在图的直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是______．
（1）解：，，，
，
点是的中点，
，
，点的运动速度为每秒个单位长度，
，
当时，，
；
，
，
当时，过点作，
则，
，
，
∴，
，
，
，
，，
；
综上所述，；
（2）解：画函数图象，如下图所示，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
（3）解：当直线过点时，
可得：，
解得：，
直线与该函数图象有两个交点，则的取值范围是．
故答案为：．
22. 如图是某湿地公园里环湖跑道示意图，点是途中的四个观景台．观景台在观景台西北方向900米处，观景台在观景台的东北方向，观景台在观景台的正东方向，观景台在观景台北偏西方向．
（1）求环湖跑道段的长度（结果保留根号）；
（2）从观景台前往观景台，可以选择路线①，也可以选择路线②请问哪条路线最近？（结果保留整数）（参考数据：，）
（1）解：过点A作于点，
由题意得，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
答：环湖跑道段的长度为；
（2）解：过点C作于点，
由题意得：，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
则在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴路线①：，
路线②：，
∵2546>2459，
∴路线①近．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标；
（3）将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标．
（1）解：，
，
，
，
将，，三点坐标代入抛物线解析式：
，解得：,
抛物线的表达式为：；
（2）解：如图，过点作轴，
设直线的函数关系式为，将，两点坐标代入得：
，解得，
直线的函数关系式为，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，为9，此时；
（3）解：将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，
关于对称点都在抛物线上，
设新抛物线函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
新抛物线的函数关系式为，
当点在的下方时，
如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点，
设点，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在直线：上，
，
解得：（舍去），
，
当点在的上方时，
如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点，
设点，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在直线：上，
，
解得：（舍去），
，
综上所述，点的坐标为或．
24. 如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）如图1，若点在边上，且，，求线段的长；
（2）如图2，若点在延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值．
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，过点作于点，
∵，，将绕点顺时针旋转得到，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，，∴，
如图，构造的外接圆，连接，，
则，
∵，∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是定长，是定圆，点的轨迹为上部分，
由点到圆上一点的最长距离可知当、、依次共线时，最长，此时点位置为如图的点，

∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
当最长时，位置如图，
∵将线段绕点旋转得到，
∴点的轨迹为以为圆心，为半径的，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，
∴，，点是定点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的轨迹为以为圆心，为半径的，
如图，过点作延长线于点，
∵，
∴当最大时，的面积最大，
由圆上一点到定直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时如图，
连接，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴．
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
45％
B
88
88
c
40％