人教版九年级数学上册第一学期期中综合测试卷（2024年秋）

这是一份人教版九年级数学上册第一学期期中综合测试卷（2024年秋），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023内江]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．[2023合肥第四十五中学月考]抛物线y＝－(x－1)2－1的顶点坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1，1)
3．嘉嘉在解方程x(x－3)＝x－3时，只得到一个解是x＝1，则他漏掉的解是( )
A．x＝3B．x＝－3
C．x＝0 D．x＝－1
4．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－n)与点Q(2，1)关于原点对称，则点M(m，n)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．[2024广州二模]为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程为( )
A．eq \f(1,2)x(x－1)＝28 B．eq \f(1,2)x(x＋1)＝28
C．x(x－1)＝28 D．x(x＋1)＝28
6．关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为( )
A．－8 B．8C．16 D．－16
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝ax＋b在同一坐标系中的图象大致是 ( )

8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是( )
A．3
B．4
C．eq \r(15)
D．eq \r(17)
9．[2023杭州]设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是实数)，则( )
A．当k＝2时，函数y的最小值为－a
B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为－a
D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a
10．[2023齐齐哈尔]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x(0≤x≤4)，△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是( )

二、填空题(每题3分，共18分)
11．数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的图形：________．
12．[2023泰安]二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是________．
13．[2023扬州]关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
14．[2023广州模拟]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝50°，将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′．若AB∥CC′，则旋转角的度数为________°．

(第14题) (第15题) (第16题)
15．[2023扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为________．
16．[2023绍兴]在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝(x－2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y＝eq \f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝________．
三、解答题(共72分)
17．(6分)已知抛物线的顶点坐标是(3，2)，且经过点(1，－2)．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)都在该抛物线上，且m＜n＜3，则y1____y2(填“＞” “＝”或“＜”)．
18．(8分)如图①②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中画△BCG，使△BCG与△CBA关于某条直线对称；
(2)在图②中画△ABH，使△ABH与△BAC关于某点成中心对称．
19．(10分)已知关于x的方程x2－2kx＋k2＝9．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为2，试求3k2－12k＋2 025的值．
20．(10分)如图①，张爷爷用30 m长的隔离网在一段15 m长的院墙边围成矩形养殖园．已知矩形的边CD是院墙，AD和BC与院墙垂直．设AB的长为x m．
(1)当围成的矩形养殖园面积为108 m2时，求BC的长．
(2)如图②，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直．请问此时养殖园的面积能否达到100 m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
21．(12分) [2023长春改编]2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中最高级别的礼仪)．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80 m时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20 m，喷水口A，B距地面均为4 m．若两辆消防车同时后退10 m，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点H′距地面多少米？
22．(12分)如图，在等边三角形ABC中，AB＝5，点D为边AB上一点，点E为边AC上一点，连接DE．
(1)如图①，过点E作EF∥BC交AB于点F，延长ED交CB的延长线于点G，若AE＝BG＝1，求DB的长；
(2)如图②，将DE绕点D逆时针旋转60°得到DH，连接EH，AH，试猜想CE，AH，BD之间的数量关系并证明．
23．(14分)[2023嘉兴]在二次函数y＝x2－2tx＋3(t＞0)中．
(1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值；
(3)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围．
答案
一、1．A 2．C 3．A 4．C 5．A 6．C
7．A【点拨】B，C中，两个函数图象反映的a的符号不相符，错误；
当a＞0，b＞0时，直线过第一、二、三象限，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，A正确；
当a＜0，b＜0时，直线过第二、三、四象限，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，D错误．
8．D【点拨】∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，AC＝2，
∴OC＝O′C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C．
∴O′B′⊥O′C，O′A＝AC＋O′C＝2＋1＝3．
∵AB′＝5，∴O′B′＝eq \r(AB′2－O′A2)＝eq \r(52－32)＝4．
∴B′C＝eq \r(O′B′2＋O′C2)＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17)．
∴BC＝B′C＝eq \r(17)，即菱形ABCD的边长是eq \r(17)．
9．A【点拨】令y＝0，则0＝a(x－m)(x－m－k)，
解得x1＝m，x2＝m＋k．
∴抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(m＋m＋k,2)＝eq \f(2m＋k,2)．
当k＝2时， 抛物线的对称轴为直线x＝m＋1．
把x＝m＋1代入y＝a(x－m)(x－m－2)，得y＝－a．
∵a＞0，∴当x＝m＋1，k＝2时，y有最小值，最小值为－a，故A正确，B错误；
当k＝4时， 抛物线的对称轴为直线x＝m＋2．
把x＝m＋2代入y＝a(x－m)(x－m－4)，得y＝－4a．
∵a＞0，∴当x＝m＋2，k＝4时，y有最小值，最小值为－4a，故C，D错误．
10．A 【点拨】由题意知AB＝BC＝CD＝AD＝4，BN＝AM＝x．S＝S正方形ABCD－S△ADM－S△DCN－S△BMN＝4×4－eq \f(1,2)×4x－eq \f(1,2)×4(4－x)－eq \f(1,2)x(4－x)＝eq \f(1,2)x2－2x＋8＝eq \f(1,2)(x－2)2＋6．故S与x之间的函数关系为二次函数，图象开口向上，当x＝2时，函数有最小值6．
二、11．正方形(答案不唯一) 12．eq \f(25,4) 13．k＜1 14．100
15．96【点拨】由题意知a2＋b2＝c2．
∵b－a＝4，c＝20，∴b＝a＋4．∴a2＋(a＋4)2＝202，
解得a1＝12，a2＝－16(舍去)．∴b＝16．
∴每个直角三角形的面积为eq \f(1,2)ab＝96．
16．eq \f(7,12)或－eq \f(25,12)【点拨】由y＝(x－2)2(0≤x≤3)可知，当x＝0时，y＝4．∴C(0，4)．
∵A(3，0)，四边形OABC是矩形，∴B(3，4)．
①当抛物线经过点O，B时，将点O(0，0)，B(3，4)的坐标分别代入y＝eq \f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝0，,\f(1,4)×9＋3b＋c＝4，))解得b＝eq \f(7,12)；
②当抛物线经过点A，C时，将点A(3，0)，C(0，4)的坐标分别代入y＝eq \f(1,4)x2＋bx＋c(0≤x≤3)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝4，,\f(1,4)×9＋3b＋c＝0，))解得b＝－eq \f(25,12)．
综上所述，b＝eq \f(7,12)或b＝－eq \f(25,12)．
三、17．【解】(1)设该抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋2，
把(1，－2)的坐标代入，得a(1－3)2＋2＝－2，解得a＝－1．
∴这条抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋2．
(2)＜
18．【解】(1)如图①，△BCG即为所求．
(2)如图②，△ABH即为所求．
19．(1)【证明】x2－2kx＋k2＝9．
整理，得x2－2kx＋k2－9＝0．
∴Δ＝(－2k)2－4(k2－9)＝36＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
(2)【解】把x＝2代入方程，得4－4k＋k2－9＝0．∴k2－4k＝5．∴3k2－12k＋2 025＝3(k2－4k)＋2 025＝2 040．
20．【解】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC．
由AB＝x m，得AD＝BC＝eq \f(30－x,2) m．
根据题意，得eq \f(30－x,2)·x＝108，
解得x1＝12，x2＝18＞15(舍去)．
当x＝12时，eq \f(30－x,2)＝eq \f(30－12,2)＝9．∴BC的长为9 m．
(2)不能．理由如下：
由AB＝x m，得AD＝BC＝eq \f(30－x,4)m．
根据题意，得eq \f(30－x,4)·x＝100．
整理，得x2－30x＋400＝0．
∴Δ＝(－30)2－4×1×400＝－700＜0．
∴该方程无实数根．∴此时养殖园的面积不能达到100 m2．
21．【解】由题意得A(－40，4)，B(40，4)，H(0，20)．
设抛物线的解析式为y＝ax2＋20．
将点A(－40，4)的坐标代入，得4＝a×(－40)2＋20，
解得a＝－eq \f(1,100)．∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(x2,100)＋20．
消防车同时后退10 m，即抛物线y＝－eq \f(x2,100)＋20向左(或右)平移10 m，平移后的抛物线解析式为y＝－eq \f(（x＋10）2,100)＋20．令x＝0，解得y＝19．∴此时两条水柱相遇点H′距地面19 m．
22．【解】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵EF∥BC，∴∠FED＝∠G，∠AFE＝∠ABC＝60°，∠AEF＝∠C＝60°．
∴△AEF是等边三角形．∴AE＝EF＝AF＝BG＝1．
又∵∠EDF＝∠GDB，
∴△EFD≌△GBD．∴DF＝DB．
∵AB＝5，∴BF＝AB－AF＝4．∴DB＝eq \f(1,2)BF＝2．
(2)CE＝AH＋BD．证明如下：过点E作EM∥BC，交AB于点M．由(1)知△AME是等边三角形．
∴AM＝AE＝ME，∠AEM＝60°．
由旋转可知DE＝DH，∠HDE＝60°．
∴△DEH是等边三角形．∴HE＝DE，∠HED＝60°．
∴∠AEH＋∠HEM＝∠HEM＋∠DEM＝60°．
∴∠MED＝∠AEH．∴△AEH≌△MED．
∴AH＝MD．∴BM＝BD＋MD＝BD＋AH．
∵AM＝AE，AB＝AC，∴BM＝CE．∴CE＝AH＋BD．
23．【解】(1)将(2，1)的坐标代入y＝x2－2tx＋3，得1＝4－4t＋3，解得t＝eq \f(3,2)．
(2)∵y＝x2－2tx＋3＝(x－t)2＋3－t2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时，函数值最小，
∴t2－2t2＋3＝－2，解得t＝±eq \r(5)．∵t＞0，∴t＝eq \r(5)；
若t＞3，当x＝3时，函数值最小，
∴9－6t＋3＝－2，解得t＝eq \f(7,3)(不合题意，舍去)．
综上所述，t＝eq \r(5)．
(3)∵A(m－2，a)，C(m，a)关于对称轴对称，
∴eq \f(m－2＋m,2)＝t．∴m－1＝t，且点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧．
∵抛物线与y轴的交点为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x＝t，∴此交点关于对称轴的对称点为(2m－2，3)．
∵b＜3，t＞0，∴4＜2m－2，解得m＞3．
当A，B都在对称轴左侧时，
∵a＜b，∴4＜m－2，解得m＞6；
当A，B分别在对称轴两侧时，
∵a＜b，∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离．
∴4－(m－1)＞m－1－(m－2)，解得m＜4．
∴3＜m＜4．
综上所述，3＜m＜4或m＞6．