2024-2025学年安徽省智学联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省智学联考高一（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z−2i=i−1i+1，则z=( )
A. −iB. iC. −3iD. 3i
2.某项比赛共有7个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是( )
A. 极差B. 45%分位数C. 平均数D. 众数
3.已知a=(2,1)，b=(x,−2)，若a//b，则a+2b=( )
A. (−6,−3)B. (2,1)C. (6,−3)D. (−2,−1)
4.若m，n为空间中两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A. 若m⊥α，n⊥α，则m//n
B. 若m⊥α，m//β，则α⊥β
C. 若α//β，m⊥α，n⊂β，则m⊥n
D. 若m//α，n//α，则m//n
5.在△ABC，点D为线段BC的中点，点O在线段AD上，且AO=2OD，若BO=λDC+μAC(λ、μ为实数).则λ+μ=( )
A. 53B. 1C. 13D. 34
6.已知圆锥的体积为12π，其侧面积与底面积的比为5：3，则该圆锥的表面积为( )
A. 9πB. 12πC. 15πD. 24π
7.在一组样本数据中，0，1，2，3出现的频数分别为f1，f2，f3，f4，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是( )
A. f1=f4=2，f2=f3=3B. f1=f4=4，f2=f3=1
C. f1=f4=1，f2=f3=4D. f1=f4=3，f2=f3=2
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA−sinC)+bsinB=asinB，b+2a=4，CA=3CD−2CB，则线段CD长度的最小值为( )
A. 2B. 2 23C. 3D. 2 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A，B，C是样本空间Ω中三个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是( )
A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
B. 事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立
C. 若P(AB)=P(A)P(B)成立，则事件A与B相互独立
D. 若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，则事件A，B，C一定两两独立
10.已知△ABC，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是( )
A. 若sin2A+sin2B+cs2CcsB恒成立
D. 若B=π3，a=2 3，且△ABC有两解，则b的取值范围是(3,2 3)
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，E，F，G分别为棱BB1，DD1，CC1上的点，且BE=13BB1，DF=13DD1，CG=23CC1，若点P为正方体内部(含边界)点，满足：AP=λAE+μAF(λ,μ为实数)，则下列说法正确的是( )
A. 点P的轨迹为菱形AEGF及其内部
B. 当λ=13，μ=23时，AP的长度为 6
C. 当λ=1时，点P的轨迹长度为 10
D. |A1P|最小值为9 1010
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量AB，AC分别表示复数z1=1−i，z2=8+i，则|BC|=______．
13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=AB=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°，M为B1D1的中点，则CM⋅AD= ______．
14.在△ABC，△ABC的面积为 3，AB⋅AC=2，sinB=2csA⋅sinC，△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则PA⋅PC的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.求证：
(1)BE//平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PBC．
16.(本小题15分)
AI正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“AI情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)根据频率分布直方图求实数a的值及样本数据的平均数；
(2)若将频率视为概率，现在要从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，分别用A，B，C，D，E，F来表示，再从这6人中随机抽取2人进行电话采访，
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ii)设G为事件“抽取的2人中至多有1人的年龄在[20,30)这一组”，求事件G发生的概率．
17.(本小题15分)
如图所示，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，直线AC与平面PBC所成的角为60°，PC=AC=2．
(1)当CD⊥PB时，求点D到平面PAB的距离；
(2)若BC=CD，点E是线段PA上一动点，平面PAC与平面CDE夹角的正弦值为 28519，求DE的长．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过△ABC内一点M的直线l与直线AB交于D，记BA与DM夹角为θ．
(1)已知sin2A+sin2C− 2sinAsinC=sin2B，
(i)若H为△ABC的垂心，BH⋅BC=2c2.求ac的值；
(ii)M为△ABC的重心，b=c=1，θ=30°，求|AD|；
(2)请用向量方法探究θ与△ABC的边和角之间的等量关系ccsθ=acs(B−θ)+bcs(A+θ)是否成立？
19.(本小题17分)
已知两个非零向量m，n，在空间任取一点0，作OM=m，ON=n，则∠MON叫做向量m，n的夹角，记作m,n，定义m与n的“向量积”为：m×n是一个向量，它与向量m，n都垂直，它的模|m×n|=|m|⋅|n|sinm,n，如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=2，点E为线段AD上一动点，|AD×BP|=4 5．
(1)求AB的长；
(2)若M为PB上一点，且满足AD×BP=λEM，求|λ|的值；
(3)求|BE×(AD×BP)|的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.B
6.D
7.C
8.D
9.ABC
10.ACD
11.ABC
12. 53
13.−14
14.2
15.(1)证明：
以点A为原点建立空间直角坐标系：
有B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
由E为棱PC的中点，E(1,1,1)．
AB⊂平面ABCD，因此AB⊥PA，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，因此AB⊥平面PAD，
因此向量AB=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，而BE⋅AB=0，
因此BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，因此BE//平面PAD．
(2)证明：设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，PD=(0,2,−2),DC=(2,0,0)
则n⋅PD=0n⋅DC=0，因此2y−2z=02x=0，
不妨令y=1，可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量．
设平面PBC的法向量m=(x,y,z)，PB=(1,0,−2)，BC=(1,2,0)，
则m⋅PB=0m⋅BC=0，因此x−2z=0x+2y=0，
令x=2，可得m=(2,−1,1)为平面PBC的一个法向量．
因为n⋅m=0，因此n⊥m．
因此平面PBC⊥平面PCD．
16.(1)(0.01×2+0.02×2+a)×10=1，解得a=0.04，
样本数据的平均数为25×0.1+35×0.1+0.2×45+0.4×55+0.2×65=50；
(2)[20,30)与[60,70]两组的频率之比为1：2，
现从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则[20,30)组抽取2人，记为A，B，[60,70]组抽取4人，记为C，D，E，F，
(i)所有可能的情况为(A,B)，(A,C)，A，D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，
(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)，共15种，
(ii)事件G发生的概率P(G)=1−115=1415．
17.(1)∵PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥PC，
又∵CD⊥PB，PC∩PB=P，PC，PB⊂平面PBC，
∴CD⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴CD⊥BC，
又AC是圆柱的底面直径，则AB⊥BC，
∴CD//AB，
∴AB⊥平面PBC，
又∵CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CD//平面PAB，
∴点D到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离，过点C作CF⊥PB于点F，
∵AB⊥平面PBC，CF⊂平面PBC，
∴AB⊥CF，
∵AB∩PB=B，AB，PB⊂平面PAB，
∴CF⊥平面PAB，
∵AB⊥平面PBC，
∴BC就是直线AC在平面PBC内的射影，
∴∠ACB就是直线AC与平面PBC所成的角，
∴∠ACB=60°，
∵PC=AC=2，
∴BC=1，BP= 5，
∴CF=2×1 5=2 55，
∴点D到平面PAB的距离为2 55．
(2)由已知AD⊥DC，以D为坐标原点，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴，
过点D且与CP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
由BC=CD=1，得P(1,0,2)，A(0, 3,0)，C(1,0,0)，D(0,0,0)，
DC=(1,0,0)，AC=(1,− 3,0)，CP=(0,0,2)，PA=(−1, 3,−2)，
设PE=λPA(0≤λ≤1)，PE=(−λ, 3λ,−2λ)，
∴E(1−λ, 3λ,2−2λ)，DE=(1−λ, 3λ,2−2λ)，
设平面PAC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⋅AC=0m⋅CP=0，即x1− 3y1=02z1=0，
令x1= 3，则y1=1，z1=0，
∴m=( 3,1,0)，
设平面CDE的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅DC=0n⋅DE=0，即x2=0(1−λ)x2+ 3λy2−(2−2λ)z2=0，
令zx= 3λ.则yz=2λ−2，
∴n=(0,2λ−2, 3λ)，
∵平面PAC与平面CDE夹角的正弦值为 28519，
∴平面CDE与平面PAC夹角的余弦值为2 1919，
∴|cs|=|m⋅n||m||n|=|( 3,1,0)⋅(0,2λ−2, 3λ)| ( 3)2+12⋅ (2λ−2)2+( 3λ)2=2 1919，
整理得3λ2+2λ−1=0，解得λ=13或λ=−1(舍)．
∴DE=(23, 33,43)，
∴DE= 49+13+169= 233．
18.(1)(i)由sin2A+sin2C− 2sinAsinC=sin2B，
结合正弦定理角化边可得：a2+c2− 2ac=b2，
所以csB=a2+b2−c22ab= 22，
由B为三角形内角，所以B=π4，
又H为△ABC的垂心，所以AH⋅BC=0，
所以BH⋅BC=(BA+AH)⋅BC=BA⋅BC= 22ac=2c2，
所以ac=2 2；
(ii)因为b=c=1，由(i)可知B=C=π4,A=π2，
由M为△ABC的重心，得AM=13(AB+AC)，
则|AM|=13 (AB+AC)2=13 2+2csA=23csA2，
在△ADM中，由正弦定理|AD|sin∠AMD=|AM|sinθ，得|AD|=|AM|sin∠AMDsinθ，
由b=c=1，得AM平分∠BAC，又θ=30°，
所以|AD|=|AM|12⋅sin(A2+30°)=2|AM|sin(A2+30°)
=43csA2sin(A2+30°)=43csA2( 32sinA2+12csA2)
=23( 32×2sinA2csA2+cs2A2)=23( 32sinA+12csA+12)
=23( 32+12)=2 3+26=1+ 33；
(2)直线l与△ABC的边AC相交于点E，如图，
由BA=BC+CA，得DE⋅BA=DE⋅(BC+CA)，即DE⋅BA=DE⋅BC+DE⋅CA，
又DE⋅BA=|DE||BA|cs∠EDA=c|DE|csθ，
DE⋅BC=|DE||BC|cs(B−θ)=a|DE|cs(B−θ)，
DE⋅CA=|DE||CA|cs(A+θ)=b|DE|cs(A+θ)，
因此c|DE|csθ=a|DE|cs(B−θ)+b|DE|cs(A+θ)，
所以ccsθ=acs(B−θ)+bcs(A+θ)．
19.(1)因为底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，
所以AD//BC，BC⊥DC，
又BC⊂底面ABCD，
所以PD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PDC，
所以BC⊥平面PDC，
又PC⊂平面PDC，
所以BC⊥PC，
所以∠PBC为直线AD与PB所成的角，
即=∠PBC，
设AB=x(x>0)，
则PC= x2+4，PB= x2+4+22= x2+8，
在Rt△PBC中sin∠PBC=PCPB= x2+4 x2+8，
又|AD×BP|=4 5，
所以2 x2+8⋅ x2+4 x2+8=4 5，
解得x=4(负值已舍去)，
所以AB=4．
(2)依题意(AD×BP)⊥AD，(AD×BP)⊥BP，
又AD×BP=λEM，
所以EM⊥AD，EM⊥BP，
又AD//BC，
所以EM⊥BC，
又PB∩BC=B，PB、BC⊂平面PBC，
所以EM⊥平面PBC，
在平面PDC内过点D作DN⊥PC，垂足为N，
由BC⊥平面PDC，DN⊂平面PDC，
所以BC⊥DN，
又PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，
所以DN⊥平面PBC，
在平面PBC内过点N作MN//BC交PB于点M，在DA上取点E，使得DE=MN，连接EM，
所以DE//MN且DE=MN，
所以四边形DEMN为平行四边形，
所以EM=DN，
又|DN|=2×4 22+42=4 55，
即|EM|=4 55，
所以|λ|=|AD×BP||EM|=4 54 55=5．
(3)由(2)知，|BE×(AD×BP)|=|BE×(5DN)|=5|BE×DN|，
建立以DA方向为x轴正方向，以DC方向为y轴正方向，以DP方向为z轴正方向的空间直角坐标系D−xyz，
则B(2,4,0)，
令E(x,0,0)，x∈[0,2]，
可得BE=(x−2,−4,0)，
又|DN|=4 55，
得N(0,45,85)，
从而有DN=(0,45,85)，
所以cs=4 5× (x−2)2+16，
则sin= 5(x−2)2+64 5× (x−2)2+16，
所以5|BE×DN|=4 5 (x−2)2+645，x∈[0,2]，
所以|BE×(AD×BP)|∈[32,8 21]，
即|BE×(AD×BP)|的取值范围为[32,8 21]．