2024-2025学年安徽省智学大联考·皖中名校联盟高一下学期期中检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省智学大联考·皖中名校联盟高一下学期期中检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=3+i3−i，则z⋅z=( )
A. 1B. 2C. 5D. 5
2.m，n为空间两条不重合直线，α为空间平面，下列命题正确的是( )
A. m⊥α，n⊥m，则n//α
B. m，n与α所成角均为90°，则m//n
C. m//α，n//α，m//n，则直线m，n到α的距离相等
D. m//α，n//α，则m//n
3.“a•b=0”是“|3a+2b|=|3a−2b|”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量a= 2,b=1,−1,a+b= 3，则向量a在b上的投影向量为( )
A. −14,14B. −4,4C. 4,−4D. 14,−14
5.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′=4,O′C′=1，那么▱OABC的周长为( )
A. 10B. 8C. 14D. 8 2
6.如图，在▵ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点．若BA⋅CA=7，BF⋅CF=−1，则BE⋅CE的值为( )
A. 59B. 78C. 1D. 2
7.如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为2，“四角反棱台”高为 3，则该几何体体积为( )
A. 2 3+43 6B. 203C. 10 33D. 20
8.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为3 3.若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为( )
A. 98B. 83C. 278D. 27 316
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在▵ABC中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是( )
A. b=6，c=5 2，B=45 ∘B. a=9，b=10，c=15
C. b=6，c=6 3，C=60 ∘D. a=3，b=2，B=120 ∘
10.下列关于复数z的说法中，正确的是( )
A. 若复数z满足满足z−1=z−i，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
B. 若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等
C. 若z=1，则z+1z为实数
D. 若z3=1，则z=z2
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，下列四个结论中正确的是( )
A. 直线B1C与直线AD1所成的角为90∘
B. 直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为 33
C. B1D⊥平面ACD1
D. 点B1到平面ACD1的距离为 32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=30 ∘，∠BDC=105 ∘，CD=20m，在点C处测得塔顶A的仰角为60 ∘，则塔高AB=______m．
13.正方形ABCD的边长为4，以A为圆心，1为半径作圆与AB,AD分别交于E,F于两点，若P为劣弧EF上的动点，则PC⋅PD的取值范围为______．
14.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P//平面AEF，则线段A1P长度的最小值是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a−2−2a+1i，a∈R．
(1)若z为纯虚数，求a的值；
(2)若z最小时，复数z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，求b+c．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a=(sin(A−B),1),b=1,sinB−sinC，且a→⊥b→
(1)求角A;
(2)若角A的平分线交BC于点D，BD=3CD，AD=3 3，求▵ABC的周长．
17.(本小题15分)
如图所示，平行四边形OACB中已知OA=(74,32)，OB=(−1,4)，D点在边AC上运动，
(1)若D点为边AC的中点，求∠ODB的余弦值；(注：13×17=221)
(2)判断是否存在点D，使得OD⊥BD，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，▵PAD和▵BAD均为正三角形，AD⊥DC，AD//BC，AB=2，M为PC上一点，设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明l//面ABCD；
(2)当PA//平面DMB时，面DAM与PB交于Q，求VP−AQMDVP−ABCD的值；
19.(本小题17分)
骆岗公园拟建一个平面凸四边形ABCD的绿色草坪，并在D处设置一个旗杆，DP⊥面ABCD，其中旗杆DP=4米，DC=4米，DA=2米，▵ABC为正三角形.计划▵BCD将作为合肥市民休闲娱乐的区域，▵ABD将作为骆岗公园的文化介绍区域．
(1)若AC=2 3米，求在B处观测旗杆顶端P处的仰角的正弦值；
(2)若∠ADC=2π3米，求文化介绍区域▵ABD的面积；
(3)求休闲娱乐的区域▵BCD的面积的最大值．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.A
5.C
6.D
7.C
8.B
9.BC
10.ACD
11.ABC
12.30+10 3
13.17−4 5,13
14.3 2
15.解：(1)因为 a 是实数， z=a−2−2a+1i 是纯虚数，所以 a−2=0 ，且−(2a+1)≠0，
故 a=2 ;
(2)因为 |z|= a−22+−2a−12= 5a2+5⩾ 5 ，
当且仅当 a=0 时取等号，此时 z=−2−i ，
所以方程 x2+bx+c=0 的两个根为 −2+i,−2−i .
所以 −b=(−2−i)+(−2+i)c=(−2−i)(−2+i) ，即 b=4c=5 ，故 b+c=9 ．
16.(1)因为a⊥b，
所以 sin (A−B)+(sin B−sin C)=0 ．
因为 sin C=sin (A+B) ，
所以 sin Acs B− sin Bcs A+sin B−sin Acs B−sin Bcs A=0 ，
即 sin B(2cs A−1)=0 ，
因为 B∈(0,π) ，
所以 sin B≠0 ，
从而 cs A=12,sin A= 32 ， A=π3 ;
(2)在 △ABC 中，角 A 的平分线交 BC 于点 D ， BD=2CD ，
由三角形内角平分线定理可知： ABAC=BDCD=3 ，
设 AC=x, ，则 AB=3x ，
由余弦定理可得： a2=9x2+x2−2⋅3x⋅x⋅12=7x2⇒a= 7x ，
s▵ABC=s▵ABD+s▵ADC ，即 S=12⋅3x⋅x⋅ 32=12⋅3x⋅3 3⋅12+12⋅x⋅3 3⋅12⇒x=4，
△ABC 周长为 3x+x+ 7x=16+4 7 .
17.解：(1)由题意，得 OA=(74,32) ， OB=(−1,4) ，
因为四边形 OACB 是平行四边形，
所以 OC=OA+OB=74,32+−1,4=(34,112) ，
OD=12OA+OC=1274,32+34,112=(54,72) ，
所以 DB=OB−OD=−1,4−54,72=(−94,12) ， DO=(−54,−72) ，
所以 ；
(2) OD=OA+λAC=74−λ,32+4λ ， BD=(114−λ,4λ−52) ，
若 OD⊥BD ，则 OD⋅BD=0 ，
化简得： 16λ2−8λ+1=0 ，解得 λ=14 ，
故存在存在点D，使得 OD⊥BD ，且 D(32,52) .
18.解：(1)∵ BC//AD ， BC⊄ 平面 PAD ， AD⊂ 平面 PAD ，
∴ BC// 面 PAD ，
又 ∵ BC⊂ 面 PBC ，面 PBC∩ 面 PAD=l ，∴ BC//l ，
又 ∵ l⊄ 面 ABCD ， BC⊂ 面 ABCD ，∴ l// 面 ABCD
(2)设 PM=λMC 如图，连接 AC 交 BD 于点 N ，连接 MN ，
∵ PA// 平面 BDM ， PA⊂ 平面 PAC ，平面 PAC∩ 平面 BDM=MN ，
∴ PA//MN ，
在梯形 ABCD 中，∵ BC//AD ，∴ ▵ADN∽▵CBN ，∴ CNAN=CBAD=12 ，
∵ PA//MN ，∴ PMMC=ANCN=2 ，∴ λ=2 .
作 MQ//AD 交 PB 于 Q ，
VP−AQMD=43VP−AMD=43VA−PMD=43⋅23VA−PDC=89VP−ADC=89⋅23VP−ABCD .
故VP−AQMDVP−ABCD=1627
19.解：(1)因为 DC=4 米， DA=2 米， AC=2 3 米，所以 ∠DAC=π2, 又因为 ▵ABC 为正三角形，所以 AB=2 3 ， ∠DAB=π2+π3=5π6
故由余弦定理可得 BD= 4+12−8 3×− 32= 28=2 7 ，
所以 tan∠PBD=PDDB=42 7=2 77⇒sin∠PBD=2 1111 ；
(2)因为 ∠ADC=2π3 ，所以 AC= 4+16−16×−12= 28=2 7 ，
因为 ∠ADC+∠ABC=2π3+π3=π ，设 ∠DCB=θ ，则 ∠DAB=π−θ ，
在 ▵ABD 中， BD2=4+28+8 7csθ ，
在 ▵BCD 中， BD2=16+28−16 7csθ ，
所以 csθ= 714 ， sin∠BAD=sinθ=3 2114 ，
此时 S▵ABD=12×2×2 7×3 2114=3 3
(3)不妨设 ∠ADC=α ， ∠ACD=β ，
于是由余弦定理得 AC2=20−16csα ①，
ACsinα=2sinβ⇒sinβ=2sinαAC ②，
4=AC2+16−8AC⋅csβ⇒csβ=AC2+128AC ③，
∴ S△BCD=12×4×AC⋅sinβ+π3 =2⋅AC(sinβcsπ3+csβsinπ3) =AC⋅2sinαAC+ 3⋅AC2+128AC
=2sinα−2 3csα+4 3=4sinα−π3+4 3 ，
所以 S△BCD ≤4+4 3
当且仅当 α−π3=π2⇒α=5π6 时取等号，∴ S△BCD 最大值为 4+4 3m2