2024-2025学年安徽省高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a，b，c，d，e如图所示，图中小方格的边长为1，则( )
A. b=2aB. c=3aC. |d|= 10D. |e|= 5
2.已知复数z满足(2−i)z=1+3i，则z=( )
A. −13−73iB. −13+73iC. −15−75iD. −15+75i
3.已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m//α，m⊥n，则n⊥αB. 若m⊥α，m⊥n，则n//α
C. 若m//α，n⊥α，则m⊥nD. 若m//α，n//α，则m//n
4.已知sinα+csαcsα= 2，则tan(α−π4)=( )
A. 2−1B. 1− 2C. 22−1D. 1− 22
5.已知在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=AD=2 3，AC=6，AA′= 13，AC∩BD=O，且A′O⊥平面ABCD，则该平行六面体的体积为( )
A. 12 6B. 12 3C. 4 6D. 4 3
6.将函数f(x)=cs(2x+2π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )
A. π12B. π6C. π3D. 7π12
7.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角α为45°，沿倾斜角β为15°的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角γ为60°，则山的高度PQ为( )
附：sin15°= 6− 24．
A. 50( 6+ 2)米B. 50( 3+1)米C. 100( 3+1)米D. 120米
8.已知在△ABC中，BC=2AB=6，AC=3 7，BE=EC，AF=λAC，λ∈(0,1)，若BF⋅AE=0，则λ=( )
A. 24B. 33C. 13D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=2+i，z2=−1+2i，则( )
A. z2=i⋅z1B. |z−1|=|z−2|
C. 复数z1z2的虚部为−4D. 复数z1z2在复平面内对应的点位于第三象限
10.已知函数f(x)=ksin2x+cs2x(k>0)的部分图象如图所示，则( )
A. k=1
B. 点P的坐标为(5π12,0)
C. f(x)的图象在区间(π2,5π2)内有4条对称轴
D. cs(2x2−2x1)=m22−1
11.如图，在直四棱柱ABCD−A′B′C′D′中，底面ABCD为菱形，且AA′=2AB=4，∠ABC=2π3，若E为棱AB的中点，F为棱CC′上的动点(含端点)，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥D′−DEF的体积为定值
B. 记直线EF与平面D′DE所成的角为θ，则sinθ的最大值为 77
C. 若CF=FC′，则异面直线D′F与BC′所成角的余弦值为3 1020
D. 若CF=FC′，则过D，E，F三点的平面截该棱柱所得截面的面积为3 62
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.在△ABC中，AD=13AB,CE=12CD，若CE=λAC+μAB(λ,μ∈R)，则λμ= ______．
13.已知一个圆锥的底面半径为 32，侧面展开图是一个圆心角为 3π的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为______．
14.已知P为△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则称点P为△ABC的“布洛卡点”.若P为等腰△ABC的“布洛卡点”，且BC=2 3，∠BAC为钝角，△ABC的外接圆的面积为4π，则∠APC= ______，tanα= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,0)，b=(1,2)，c=a+2b．
(Ⅰ)若(λa+b)//c，求实数λ的值；
(Ⅱ)若(a+b)⊥(μb+c)，求实数μ的值．
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=PB=PC=2，PA=BC=2 2，棱PB，PA，AC，BC的中点分别为D，E，F，O．
(1)证明：EF//平面ADO；
(2)证明：平面BEF⊥平面PAO．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2 3，且csC+ 3sinC=sinB+sinCsinA．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC−A′B′C′中，点A到平面A′BC的距离为 2，△A′BC的面积为2 2．
(Ⅰ)求直三棱柱ABC−A′B′C′的体积．
(Ⅱ)若直线A′B与平面A′B′C′所成的角为45°，D，E分别为A′C，A′B的中点，且AE⊥DE．
(i)求直三棱柱ABC−A′B′C′的外接球的表面积；
(ii)求二面角A−BD−A′的大小．
19.(本小题17分)
(Ⅰ)证明：cs3θ=4cs3θ−3csθ；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论求：sin18°的值；
(Ⅲ)若函数f(x)=cs3x+cs2x+1在区间[0,nπ]，n∈N∗内恰有20个零点，求n的值及这20个零点之和．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.B
5.B
6.A
7.A
8.C
9.AB
10.BCD
11.ACD
12.−3
13.12
14.π3 35
15.(Ⅰ)由a=(1,0),b=(1,2),c=a+2b=(3,4)，
λa+b=λ(1,0)+(1,2)=(λ+1,2)，因为(λa+b)//c，
所以3×2−4(λ+1)=0，解得λ=12；
(Ⅱ)由a=(1,0),b=(1,2),c=a+2b，得出c=a+2b=(1,0)+2(1,2)=(3,4)，
a+b=(2,2)，μb+c=μ(1,2)+(3,4)=(μ+3,2μ+4)，
因为(a+b)⊥(μb+c)，所以(a+b)⋅(μb+c)=0，
即2(μ+3)+2(2μ+4)=0，解得：μ=−73．
16.(1)证明：如图，
因为棱PB，PA，AC，BC的中点分别为D，E，F，O，
所以DO//PC，EF//PC，所以EF//DO，
又因为DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF//平面ADO；
(2)证明：因为PB=PC=2，BC=2 2，O是BC的中点，
所以PO⊥BC，且PO= 2，
因为AB⊥BC，所以AO= AB2+BO2= 6，
所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．
又因为AO∩BC=O，BC，AO⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，
又BF⊂平面ABC，所以PO⊥BF，
如图，连接OF，则OF//AB，从而OF⊥BC，且OF=12AB=1，
所以OBAB=OFOB= 22，得Rt△AOB∽Rt△FBO，
所以∠FBO+∠AOB=∠BAO+∠AOB=90°，所以AO⊥BF，
由PO⊥BF，AO⊥BF，AO∩PO=O，AO，PO⊂平面POA，得BF⊥平面POA，
又BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面POA．
17.(Ⅰ)由根据题意可知，csC+ 3sinC=sinB+sinCsinA，可得到sinA⋅(csC+ 3sinC)=sinB+sinC，
即sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
又由sinB=sin(A+C)=sinA⋅csC+csA⋅sinC，代入得： 3sinAsinC=csAsinC+sinC，
又∵sinC>0，∴ 3sinA=csA+1，
∴ 3sinA−csA=2sin(A−π6)=1，∴sin(A−π6)=12，
又∵A∈(0,π)，∴A−π6∈(−π6,5π6)，
∴A−π6=π6，∴A=π3；
(Ⅱ)△ABC的面积S=12bcsinA=12bcsinπ3=12bc⋅ 32= 34bc，
利用正弦定理：bsinB=csinC=asinA=2 3 32=4，
∴：b=4sinB,c=4sinC=4sin(2π3−B)，
则bc=(4sinB)⋅[2( 3csB+sinB)]=8sinB( 3csB+sinB)，
=8( 3sinBcsB+sin2B)=8( 32sin2B+1−cs2B2)=4( 3sin2B−cs2B+1)，
∴△ABC的面积S= 34bc= 34⋅4( 3sin2B−cs2B+1)= 3( 3sin2B−cs2B+1)，
=3sin2B− 3cs2B+ 3，
=2 3sin(2B−π6)+ 3，
又∵△ABC为锐角三角形，
A=π3