2024-2025学年宁夏吴忠市盐池县高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏吴忠市盐池县高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=i1−i(i是虚数单位)，则|z|=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
2.某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则n=( )
A. 20B. 30C. 40D. 48
3.设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：
①若a⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α//β；
③若m//α，n⊥α，则m//n；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β．
其中所有错误说法的序号是( )
A. ①③B. ①④C. ①③④D. ②③④
4.已知|a|=1，|b|= 2，a与b的夹角为3π4，则a在b上的投影向量为( )
A. −12B. − 22C. −12bD. − 22b
5.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为s2，则下列说法正确的是( )
A. 若s2=0，则所有的数据xi(i=1,2,…,n)都为0
B. 若x−=3，则yi=2xi+1(i=1,2,…,n)的平均数为6
C. 若s2=3，则yi=2xi+1(i=1,2,…,n)的方差为12
D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90
6.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E为棱AB的中点，则直线PE与平面PAC所成角的正弦值( )
A. 22
B. 3434
C. 66
D. 33
7.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若△ABC的面积为 3，则|AP|的最小值为( )
A. 62
B. 2 33
C. 1
D. 34
8.在正三棱锥P−ABC中，PA=3,AB=3 2，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥P−ABC内部，其球心与△ABC的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥P−ABC的三个侧面均相切，则半球球面面积(不包括底面积)和小球表面积之和最小时，小球的半径为( )
A. 12
B. 22
C. 24
D. 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=a2−1+(a+1)i，a∈R，则下列结论正确的是( )
A. 若z为纯虚数，则a=±1
B. 若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a∈(−∞,−1)
C. 若a=0，则z−=−1−i
D. 若a=0，则|z|= 2
10.一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字.甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是( )
A. 甲发生的概率为14
B. 乙发生的概率为316
C. 甲与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
11.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2 3,AA1= 6，则下列说法正确的是( )
A. 该四棱台的高为3 22
B. 二面角C1−BD−C的大小为60°
C. 若点P在四边形ABCD内，A1P= 212，则动点P的轨迹长度是3π8
D. 若点M在△BDC1内部(含边界)，则MA+MA1的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.某圆锥的侧面积为4 7π，母线长为4，则该圆锥的高为______．
13.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcsC+ccsB)sinB= 3bcsA，则A=______；若c=2，b=1，△ABC所在平面内的一点P满足AP2=AP⋅AB，则PA2+PC2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知平面向量a,b,a=(1, 3),|b|=1，且a与b的夹角为π3．
(1)求|a+2b|；
(2)若a+2b与2a−4b的夹角．
16.(本小题12分)
为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间(单位：时)，并按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
(2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=BC=2．
(Ⅰ)求证：AB1//平面BC1D；
(Ⅱ)求证：BD⊥平面AA1C1C；
(Ⅲ)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小．
18.(本小题12分)
如图，△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD⊥AC，∠ACB=∠BAD．
(1)已知sin∠ACB= 55．
(ⅰ)求CDBD的值；
(ⅱ)若BD= 5，求△ABC的面积；
(2)求b2+c2a2的最小值．
19.(本小题12分)
唐代诗人温庭筠的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情.为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”(如图所示)：棱长为1的水晶正八面体(八个面都是全等的正三角形)，中间的球体部分是被挖空的(表面不被破坏)，并嵌入了红豆．
(1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．
(2)超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片.甲乙两人每人抽取一次(抽取结果互不影响)，求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．
(3)若点P为(1)中球面上的任一点，设∠PAB=θ1，∠PAD=θ2，∠PAD=θ2，二面角B−AP−D的平面角为φ，求证：tanθ1⋅tanθ2⋅csφ为定值．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.C
5.C
6.C
7.A
8.A
9.BCD
10.AC
11.AB
12.3
13.78625
14.π3 4−2 3
15.(1)由a=(1, 3),|b|=1和a,b的夹角为π3，
则|a|=2，a⋅b=|a||b|csπ3=2×1×12=1；
|a+2b|= |a+2b|2= a2+4a⋅b+4b2= 4+4×1+4=2 3；
(2)(a+2b)⋅(2a−4b)=2a2−4a⋅b+4a⋅b−8b2=2a2−8b2
=2×4−8×1=0，
所以a+2b与2a−4b的夹角为π2．
16.(1)第五组的频率为1−2×(0.05+0.075+0.10+0.125+0.050)=0.2，
所以该组对应的小矩形高度为0.22=0.100，
故补全频率分布直方图如下：
设样本数据的中位数为m，平均数为x−．
因为样本数据在[0,6)的频率为2×(0.05+0.075+0.1)=0.450.5，
则m∈(6,8)，所以0.45+0.125×(m−6)=0.5，解得m=6.4，
x−=1×0.1+3×0.15+5×0.2+7×0.25+9×0.2+11×0.1
=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2，
由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2．
(2)由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为(0.1+0.05)×2=0.3．
记事件A1=“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，
A2=“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，
由题意A1，A2相互独立．
利用频率估计概率，P(A1)=P(A2)=0.2+0.1=0.3．
记事件M=“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”，
则P(M)=P(A1A2+A1−A2+A1A2−)=1−P(A1−A2−)
=1−(1−0.3)×(1−0.3)=0.51．
所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51．
17.(Ⅰ)证明：连接B1C，设B1C∩BC1=O，连接OD，
由题意可得O为CB1的中点，而D为AC的中点，
所以OD//AB1，
而AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，
所以AB1//平面BC1D；
(Ⅱ)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，
可得平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=A1C，
又因为AB=BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，
BD⊂平面ABC，
所以BD⊥平面AA1C1C；
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)可得∠BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成角，
可得sin∠BC1D=BDBC1，
因为AB⊥BC，A1A=AB=BC=2，
所以BD= 22×AB= 2，BC1= BC2+CC12= 4+4=2 2，
所以sin∠BC1D=BDBC1= 22 2=12，
又因为∠BC1D∈[0,π2]，
可得∠BC1D=π6．
18.解：(1)(ⅰ)因为AD⊥AC，∠ACB=∠BAD，sin∠ACB= 55，
所以sin∠DAC=1，sin∠DAB= 55，
所以CDBD=SΔACDSΔABD=12b⋅AD⋅sin∠DAC12c⋅AD⋅sin∠DAB=bc⋅ 55= 5bc= 5sinBsinC，
注意到A=π2+C，A+B+C=π，
故B=π−A−C=π2−2C，
故sinB=cs2C，
可得CDBD= 5sinBsinC= 5cs2CsinC= 5(1−2sin2C)sinC=3；
(ⅱ)由(i)知，CD=3BD=3 5，
AD=CD⋅sinC=3，
AC= CD2−AD2=6，
SΔACD=12AD⋅AC=9，
由SΔACDSΔABD=CDBD=3，得SΔABD=3，
故SΔABC=SΔACD+SΔABD=12．
(2)b2+c2a2=sin2B+sin2Csin2A=cs22C+sin2Csin2(π2+C)=(2cs2C−1)2+1−cs2Ccs2C，
令t=cs2C∈[12,1]，
可得b2+c2a2=(2t−1)2−t+1t=4t2+2−5tt=4t+2t−5≥4 2−5，当且仅当t= 22时，等号成立，
故b2+c2a2的最小值为4 2−5．
19.(1)设被挖空的球体的半径为r.球心为O，根据题意，
当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，
此时设四棱锥E−ABCD的高为ℎ，则ℎ= 1−( 22)2= 22．
所以V正八面体=2VE−ABCD=2×13×1×1× 22= 23，
正八面体每个面的面积是S△ABC=12×1× 32= 34，
由V正八面体=8VO−ABC，
得 23=8×13× 34r，
解得r= 66，
所以S=4πr2=23π．
(2)在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，
该试验的样本空间Ω={(A,B,C)，(A,B,D)，(A,B,E)，(A,B,F)，(A,C,D)，(A,C,E)，
(A,C,F)，(A,D,E)，(A,D,F)，(A,E,F)，(B,C,D)，(B,C,E)，(B,C,F)，
(B,D,E)，(B,D,F)，(B,E,F)，(C,D,E)，(C,D,F)，(C,E,F)，(D,E,F)}，
共20个样本点，所以n(Ω)=20，
每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型，
设事件A1=甲获得“花好”卡片，事件A2=乙获得“花好”卡片，
A1=A2={(A,B,E)，(A,B,F)，(A,D,E)，(A,D,F)，(B,C,E)，(B,C,F)，(C,D,E)，(C,D,F)}，
所以n(A1)=n(A2)=8，从而P(A1)=P(A2)=820=25．
设事件B1=甲获得“月圆”卡片，事件B2=乙获得“月圆”卡片，
任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形，
所以n(B1)=n(B2)=20−8=12，从而P(B1)=P(B2)=1220=35．
记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M，
M=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，
得P(M)=P(A1B2∪A2B1)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=25×35+35×25=1225，
因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为1225．
(3)证明：过点P做PM⊥AP交AB(或其延长线)于点M，
过点P做PN⊥AP交AD(或其延长线)于点N，
则∠PAM=∠PAB=θ1，∠PAN=∠PAD=θ2，∠MPN，∠PAN=∠PAD=θ2，
∠MPN为二面角B−AP−D的平面角φ，
在△MAN中，MN2=AM2+AN2，①
在△MPN中，MN2=PM2+PN2−2PM⋅PNcsφ，②
由①②得AM2+AN2=PM2+PN2−2PM⋅PNcsφ，
从而2PM⋅PNcsφ=(PM2−AM2)+(PN2−AN2)=−2AP2，
所以PMAP⋅PNAP⋅csφ=−1，
即tanθ1⋅tanθ2⋅csφ=−1，
所以tanθ1⋅tanθ2⋅csφ为定值−1．