2024-2025学年宁夏吴忠中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏吴忠中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设i是虚数单位，集合A中的元素由复数3−5i的实部和虚部组成，集合B={1,3,5}，则A∩B=( )
A. {3,5}B. {3,−5}C. {3}D. {5}
2.已知A(3,1)，B(4,3)，C(x,7)三点共线，则x=( )
A. 10B. 8C. 7D. 6
3.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=( )
A. 0.58B. 0.12C. 0.7D. 0.88
4.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为( )
A. 9πB. 12πC. 16πD. 24π
5.先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为m，n，设平面向量a=(1,2)，b=(m,−n)，则“a⋅b>0”的概率为( )
A. 16B. 14C. 13D. 112
6.已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下面四个命题错误的有( )
A. 若α//β，a⊂α，则a//β B. 若α∩β=a，b⊂α，c⊂β，b//c，则a//b
C. 若a//β，b⊂β，则a//b D. a⊥β，b⊂β，则a⊥b
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，C1D1的中点，则异面直线EF与B1C所成角的余弦值是( )
A. 33B. 63C. 36D. 66
8.已知点O是△ABC内部的一点，且满足OA+OB+OC=0,AC= 3,AC⋅AB=−1，则AC⋅BO的值为( )
A. 53B. 32C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件A=“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件B=“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件C=“摸出的两张卡牌的编号之和为6”，则( )
A. 事件B与事件C为互斥事件B. P(C)=13
C. 事件A与事件B相互独立D. P(A+B)=23
10.下列说法中正确的为( )
A. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb夹角为锐角，则λ∈(−53,+∞)
B. 若A=π3，且ccsB+bcsC=a2，则△ABC外接圆半径 33
C. 若AC⋅CB0)，O为坐标原点，OB=F(OA)且点O，A，B构成等腰三角形，则a=2+ 7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是______．
13.已知a、b满足|a|=4,a⋅b=6，若a在b方向上的投影向量为23b，则|a+b|=______．
14.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC= 7，BC=3，点P在棱BB1上，且PA⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=PC，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点．
(1)证明：PB//平面ACE．
(2)证明：平面PBD⊥平面ACE．
16.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c= 3a+2bcsA．
(Ⅰ)求角B；
(Ⅱ)若csA=14，求sin(2A+B)的值；
(Ⅲ)若c=7，bsinA= 3，求b的值．
17.(本小题12分)
某市为了解人们对火灾危害的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次消防知识竞赛，满分为100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，将这m人按年龄分成5组，其中第一组为[20,25)，第二组为[25,30)，第三组为[30,35)，第四组为[35,40)，第五组为[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)利用频率分布直方图，估计这m名市民年龄的平均数x−和第74百分位数y；
(3)现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取6人担任本市的消防安全宣传使者，再从中随机抽取2人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．
(1)求证：OC⊥PD；
(2)若PD上存在点M，使得OM//平面PBC，求PMPD的值；
(3)若PD与平面PBC所成角的正弦值为 63,AB=2，求四棱锥的P−ABCD的体积．
19.(本小题12分)
已知向量a=(sinx,csx)，b=(csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b− 32．
(1)若f(x02)=−13，且x0∈(−π2,π2)，求sinx0的值；
(2)已知A(−3,2)，B(3,10)，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象.在g(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.D
5.A
6.C
7.C
8.A
9.ACD
10.BD
11.ABD
12. 2
13. 37
14.28π
15.证明：(1)记AC∩BD=O，连接OE．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点．
因为E是PD的中点，所以OE//PB．
因为OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB//平面ACE．

(2)连接OP．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点．
因为PA=PC，所以OP⊥AC．
因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因为OP，BD⊂平面PBD，且OP∩BD=O，所以AC⊥平面PBD．
因为AC⊂平面ACE，所以平面PBD⊥平面ACE．
16.解：(Ⅰ)△ABC中，2c= 3a+2bcsA，
由正弦定理得2sinC= 3sinA+2sinBcsA；
又C=π−(A+B)，
所以2(sinAcsB+csAsinB)= 3sinA+2sinBcsA，
所以2sinAcsB= 3sinA；
又A∈(0,π)，所以sinA≠0，
所以csB= 32；
又B∈(0,π)，
所以B=π6；
(Ⅱ)若csA=14，A∈(0,π)，
所以sinA= 1−cs2A= 154，
所以sin2A=2sinAcsA=2× 154×14= 158，
cs2A=2cs2A−1=2×116−1=−78，
所以sin(2A+B)=sin2AcsB+cs2AsinB
= 158× 32−78×12
=3 5−716；
(Ⅲ)若c=7，bsinA= 3，
由bsinB=asinA，得asinB=bsinA= 3，
所以a= 3sinB= 312=2 3；
所以b2=c2+a2−2cacsB=49+12−2×7×2 3× 32=19，
解得b= 19．
17.(1)根据题意可得0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1，解得a=0.04；
(2)设这m人的平均年龄为：
x−=22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25岁，
因为前几组的频率依次为0.05，0.35，0.3，0.2，
所以第74百分位数在[35,40)之间，且为35+0.74−；
(3)若现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取6人担任本市的消防安全宣传使者，
则从第三、四、五组中需依次选取6×+0.04+0.02=3,6×+0.04+0.02=2,6×+0.04+0.02=1人，
再从中随机抽取2人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率为P=1−4×36×5=1−25=35．
18.(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，连接OP，
因为PA=PB，所以PO⊥AB，
又因为侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，PO⊂侧面PAB，
所以PO⊥平面ABCD，又OD⊂平面ABCD，所以PO⊥OD，
又因为OD⊥PC，PO∩PC=P，PO，PC⊂平面POC，
所以OD⊥平面POC，
又因为OC⊂平面POC，所以OD⊥OC，
又PO⊥平面ABCD，OC⊂平面ABCD，则PO⊥OC，
因为PO∩OD=O，PO，OD⊂平面POD，所以OC⊥平面POD，
又因为PD⊂平面POD，
所以OC⊥PD．
(2)取CD中点为N，连ON，MN，
因为ON//BC，ON⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以ON//平面PBC，
又因为OM//平面PBC，OM∩ON=O，OM，ON⊂平面OMN，
所以平面OMN//平面PBC，MN⊂平面OMN，所以MN//平面PBC，
因为MN//PC，MN⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，
所以MN//平面PBC，PC，MN⊂平面PCD，平面PCD∩平面PBC=PC，
所以MN//PC，
又N为CD中点，则M为PD中点，
此时PMPD=12；
(3)由(1)可知OD⊥OC，所以△DAO为等腰直角三角形，
又AB=2，所以OD= 2，设PO=ℎ，则PD= ℎ2+2，
记点D到面PBC的距离为ℎD−PBC，
因为AD//BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD/​/平面PBC，
因为ABOB=2，所以ℎD−PBC=ℎA−PBC=2ℎ−PBC=2ℎ ℎ2+1，
设PD与平面PBC所成角为θ，
所以sinθ=ℎD−PBCDP=2ℎO−PBCDP=2ℎ ℎ2+2⋅ ℎ2+1= 63，
即4ℎ2(ℎ2+2)(ℎ2+1)=23，
整理得ℎ4−3ℎ2+2=0，
则ℎ2=1或ℎ2=2，
解得ℎ=1或ℎ= 2，
即PO=1或 2
所以VP−ABCD=13SABCD⋅PO=43或4 23．
19.解：(1)f(x)=a⋅b− 32=sinxcsx+ 3cs2x− 32=12sin2x+ 32(1+cs2x)− 32=sin(2x+π3)，
f(x02)=sin(x0+π3)=−13，因为x0∈(−π2,π2)，所以x0+π3∈(−π6,5π6)，
而sin(x0+π3)=−13