2024-2025学年宁夏吴忠市盐池县高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年宁夏吴忠市盐池县高一（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=i1−i(i是虚数单位)，则|z|=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
2.某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则n=( )
A. 20B. 30C. 40D. 48
3.设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：
①若a⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α//β；
③若m//α，n⊥α，则m//n；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β．
其中所有错误说法的序号是( )
A. ①③B. ①④C. ①③④D. ②③④
4.已知|a|=1，|b|= 2，a与b的夹角为3π4，则a在b上的投影向量为( )
A. −12B. − 22C. −12bD. − 22b
5.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为s2，则下列说法正确的是( )
A. 若s2=0，则所有的数据xi(i=1,2,…,n)都为0
B. 若x−=3，则yi=2xi+1(i=1,2,…,n)的平均数为6
C. 若s2=3，则yi=2xi+1(i=1,2,…,n)的方差为12
D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90
6.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E为棱AB的中点，则直线PE与平面PAC所成角的正弦值( )
A. 22
B. 3434
C. 66
D. 33
7.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若△ABC的面积为 3，则|AP|的最小值为( )
A. 62
B. 2 33
C. 1
D. 34
8.在正三棱锥P−ABC中，PA=3,AB=3 2，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥P−ABC内部，其球心与△ABC的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥P−ABC的三个侧面均相切，则半球球面面积(不包括底面积)和小球表面积之和最小时，小球的半径为( )
A. 12
B. 22
C. 24
D. 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=a2−1+(a+1)i，a∈R，则下列结论正确的是( )
A. 若z为纯虚数，则a=±1
B. 若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a∈(−∞,−1)
C. 若a=0，则z−=−1−i
D. 若a=0，则|z|= 2
10.一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字.甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是( )
A. 甲发生的概率为14
B. 乙发生的概率为316
C. 甲与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
11.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2 3,AA1= 6，则下列说法正确的是( )
A. 该四棱台的高为3 22
B. 二面角C1−BD−C的大小为60°
C. 若点P在四边形ABCD内，A1P= 212，则动点P的轨迹长度是3π8
D. 若点M在△BDC1内部(含边界)，则MA+MA1的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.某圆锥的侧面积为4 7π，母线长为4，则该圆锥的高为______．
13.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcsC+ccsB)sinB= 3bcsA，则A=______；若c=2，b=1，△ABC所在平面内的一点P满足AP2=AP⋅AB，则PA2+PC2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知平面向量a,b,a=(1, 3),|b|=1，且a与b的夹角为π3．
(1)求|a+2b|；
(2)若a+2b与2a−4b的夹角．
16.(本小题12分)
为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间(单位：时)，并按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
(2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=BC=2．
(Ⅰ)求证：AB1//平面BC1D；
(Ⅱ)求证：BD⊥平面AA1C1C；
(Ⅲ)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小．
18.(本小题12分)
如图，△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD⊥AC，∠ACB=∠BAD．
(1)已知sin∠ACB= 55．
(ⅰ)求CDBD的值；
(ⅱ)若BD= 5，求△ABC的面积；
(2)求b2+c2a2的最小值．
19.(本小题12分)
唐代诗人温庭筠的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情.为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”(如图所示)：棱长为1的水晶正八面体(八个面都是全等的正三角形)，中间的球体部分是被挖空的(表面不被破坏)，并嵌入了红豆．
(1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．
(2)超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片.甲乙两人每人抽取一次(抽取结果互不影响)，求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．
(3)若点P为(1)中球面上的任一点，设∠PAB=θ1，∠PAD=θ2，∠PAD=θ2，二面角B−AP−D的平面角为φ，求证：tanθ1⋅tanθ2⋅csφ为定值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．
利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算．
【解答】
解：z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i．
所以|z|= (−12)2+(12)2= 22．
故答案选：B．
2.【答案】C
【解析】解：共有2000人，其中男生1200人，女生800人，样本中男生比女生人数多8人，
根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：n×12002000=3n5，
样本中女生人数为：n×8002000=2n5，
由题意，所以3n5−2n5=8，
所以n=40．
故选：C．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题主要考查分层抽样的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，
对于①，若a⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故①错误；
对于②，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α/​/β，故②正确；
对于③，若m/​/α，n⊥α，则m⊥n，故③错误；
对于④，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与β相交、平行或n/​/β，故④错误．
故选：C．
对于①，α与β相交或平行；对于②，由面面平行的判定定理得α/​/β；对于③，m与n垂直；对于④，n与β相交、平行或n/​/β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4.【答案】C
【解析】解：知|a|=1，|b|= 2，a与b的夹角为3π4，
则a⋅b=|a|⋅|b|cs〈a,b〉=1× 2×cs3π4=−1，
所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|2⋅b=−12b．
故选：C．
求出a⋅b，再利用投影向量的意义求解即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：方差s2=0时，说明所有的数据x1，x2，…，xn都相等，但不一定为0，故A错误；
数据x1，x2，…，xn的平均数x−=3，数据yi=2xi+1(i=1,2,…,n)的平均数为2×3+1=7，故B错误；
数据x1，x2，…，xn的方差为s2=3，数据yi=2xi+1(i=1,2,…,n)的方差为22×3=12，故C正确；
数据x1，x2，…，xn的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于或等于90，故D错误．
故选：C．
由平均数和方差的性质可判断A，B，C；由百分位数的定义可判断D．
本题考查平均数、方差、百分位数的定义，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC交BD于点O，连接PO，
因为四棱锥P−ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，
过点E作EH⊥AC于点H，连接PH，因为EH⊂平面ABCD，所以EH⊥PO，
因为PO∩AC=O，PO，AC⊂平面PAC，所以EH⊥平面PAC，
故∠EPH为直线PE与平面PAC所成角．
因为PA=AB=2，E为棱AB的中点，
所以EP= 32AB= 3,EH=14BD= 24×2= 22，
故sin∠EPH=EHEP= 22 3= 66．
故选：C．
连接AC交BD于点O，连接PO，过点E作EH⊥AC于点H，连接PH，证明EH⊥平面PAC，推得∠EPH为直线PE与平面PAC所成角，解三角形即得答案．
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的面积为 3，
∴12|AB||AC|sin∠BAC=12|AB||AC|sinπ3= 34|AB||AC|= 3，
∴|AB||AC|=4，
∴AB⋅AC=|AB||AC|cs∠BAC=4csπ3=2，
∵AD=2DB，∴AB=32AD，
由AP=mAC+12AB得：AP=mAC+34AD，
∵C，P，D三点共线∴m+34=1，解得：m=14．
∴|AP|2=(14AC+12AB)2=116AC2+14AB2+14AC⋅AB=116AC2+14AB2+12≥2×14|AC|×12|AB|+12=32，
当且仅当|AC|=2|AB|时取等号，
∴|AP|min= 62．
故选：A．
根据三角形面积公式可求得|AB||AC|=4，进而求得AB⋅AC=2；根据AB=32AD可知AP=mAC+34AD，由向量共线定理可知m=14；利用|AP|2=(14AC+12AB)2结合基本不等式可求得最小值．
本题考查了平面向量基本定理，考查了平面向量模长的最值求解，考查了转化思想，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，
设半球的球心为点O1，连接PO1，连接AO1并延长交BC于点D，
因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥P−ABC的三个侧面均相切，故其球心O在线段PO1上，
连接PD，则球O必与PD相切，设切点为E，连接OE．
设球O的半径为r，半球O1的半径为r1．
因为AB=3 2，所以AD= 32AB= 32×3 2=3 62，
DO1=13AD= 62，AO1=23AD= 6，
PO1= 32−( 6)2= 3，PD= ( 3)2+( 62)2=3 22，
易得△POE与△PDO1相似，故有OEO1D=POPD，即得PO=3 22r 62= 3r，
因为PO+OO1= 3r+r+r1=PO1= 3，即r1= 3− 3r−r，
所以半球球面面积(不包括底面面积)和小球表面积之和为：
2πr12+4πr2=2π(r12+2r2)=2π[( 3− 3r−r)2+2r2]
=2π[(6+2 3)r2−(6+2 3)r+3]，
该二次函数的开口向上，对称轴为直线r=12，
故当r=12时，2πr12+4πr2取得最小值(3− 3)π．
故选：A．
设半球的球心为点O1，连接PO1，连接AO1并延长交BC于点D，判断小球球心O在线段PO1上，设球O的半径为r，半球O1的半径为r1，利用三角形相似求得PO= 3r，依题得r1= 3− 3r−r，列出题中的面积之和表示式，消元后得到关于r的一元二次函数，利用其图象性质即可求得r=12时，所求面积之和最小．
本题主要考查球的表面积，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：若z为纯虚数，则a2−1=0且a+1≠0，解得a=1，故A选项错误；
若z在复平面内对应的点位于第四象限，
则a2−1>0且a+1