2024-2025学年宁夏回族自治区吴忠市盐池县高一下学期7月期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏回族自治区吴忠市盐池县高一下学期7月期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=i1−i(i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 22B. 12C. 1D. 2
2.某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则n=( )
A. 20B. 30C. 40D. 48
3.设α,β,γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α//β；
③若m//α，n⊥α，则m//n；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β．
其中所有错误说法的序号是( )
A. ①③B. ①④C. ①③④D. ②③④
4.已知a=1，b= 2，a与b的夹角为3π4，则a在b上的投影向量为( )
A. −12B. − 22C. −12bD. − 22b
5.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，且数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，则下列说法正确的是( )
A. 若s2=0，则所有的数据xi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)都为0
B. 若x=3，则yi=2xi+1(i=1,2,⋅⋅⋅,n)的平均数为6
C. 若s2=3，则yi=2xi+1(i=1,2,⋅⋅⋅,n)的方差为12
D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90
6.如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E为棱AB的中点，则直线PE与平面PAC所成角的正弦值( )
A. 22B. 3434C. 66D. 33
7.如图，在▵ABC中，∠BAC=π3,AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若▵ABC的面积为 3，则AP的最小值是( )
A. 12B. 22C. 32D. 62
8.在正三棱锥P−ABC中，PA=3,AB=3 2，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥P−ABC内部，其球心与▵ABC的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥P−ABC的三个侧面均相切，则半球球面面积(不包括底面积)和小球表面积之和最小时，小球的半径为( )
A. 12B. 22C. 24D. 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=a2−1+(a+1)i,a∈R，则下列结论正确的是( )
A. 若z为纯虚数，则a=±1
B. 若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a∈(−∞,−1)
C. 若a=0，则z=−1−i
D. 若a=0，则|z|= 2
10.一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是( )
A. 甲发生的概率为14B. 乙发生的概率为316 C. 甲与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
11.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2 3,AA1= 6，则下列说法正确的是( )
A. 该四棱台的高为3 22
B. 二面角C1−BD−C的大小为60°
C. 若点P在四边形ABCD内，A1P= 212，则动点P的轨迹长度是3π8
D. 若点M在▵BDC1内部(含边界)，则MA+MA1的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某圆锥的侧面积为4 7π，母线长为4，则该圆锥的高为 ．
13.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为 ．
14.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcsC+ccsB)sinB= 3bcsA，则A= ；若c=2,b=1,△ABC所在平面内的一点P满足AP2=AP⋅AB，则PA2+PC2的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a→,b→,a→=(1, 3),|b→|=1，且a与b的夹角为π3
(1)求|a→+2b→|；
(2)若a→+2b→与2a→−4b→的夹角．
16.(本小题15分)
为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间(单位：时)，并按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
(2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=BC=2．
(1)求证：AB1//平面BC1D
(2)求证：BD⊥平面AA1C1C
(3)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小．
18.(本小题17分)
如图，▵ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，D为边BC上一点，且AD⊥AC，∠ACB=∠BAD．

(1)已知sin∠ACB= 55．
(ⅰ)求CDBD的值；
(ⅱ)若BD= 5，求▵ABC的面积；
(2)求b2+c2a2的最小值．
19.(本小题17分)
唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”(如图所示)：棱长为1的水晶正八面体(八个面都是全等的正三角形)，中间的球体部分是被挖空的(表面不被破坏)，并嵌入了红豆．

(1)当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．
(2)超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次(抽取结果互不影响)，求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．
(3)若点P为(1)中球面上的任一点，设∠PAB=θ1，∠PAD=θ2，二面角B−AP−D的平面角为φ，求证：tanθ1⋅tanθ2⋅csφ为定值．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.C
5.C
6.C
7.D
8.A
9.BCD
10.AC
11.AB
12.3
13.78625
14.π3 ；4−2 3.
15.(1)由a=1, 3,b=1和a,b的夹角为π3，
则a=2，a·b=abcsπ3=2×1×12=1；
a+2b= |a+2b|2= a2+4a·b+4b2= 4+4×1+4=2 3；
(2)a+2b⋅2a−4b=2a2−4a·b+4a·b−8b2=2a2−8b2
=2×4−8×1=0，
故a+2b⊥2a−4b，
所以a+2b与2a−4b的夹角为π2．
16.(1)第五组的频率为1−2×(0.05+0.075+0.10+0.125+0.050)=0.2，
所以该组对应的小矩形高度为0.22=0.100，故补全频率分布直方图如下：
设样本数据的中位数为x，平均数为x．
因为样本数据在[0,6)的频率为2×(0.05+0.075+0.1)=0.450.5，
则x∈(6,8)，所以0.45+0.125×(x−6)=0.5，解得x=6.4，
故估计样本中位数为6.4．
x=1×0.1+3×0.15+5×0.2+7×0.25+9×0.2+11×0.1
=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2
故估计样本平均数为6.2．
由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2．
(2)由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为(0.1+0.05)×2=0.3．
记事件A1=“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，A2=“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意A1,A2相互独立．
利用频率估计概率，PA1=PA2=0.2+0.1=0.3．
记事件M=“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”，
则P(M)=PA1A2+A1A2+A1A2=1−PA1A2=1−(1−0.3)×(1−0.3)=0.51.
所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51．

17.(1)连接B1C交BC1于点O，连接OD，
因为四边形BCC1B1为正方形，所以O为B1C的中点．
因为D为AC的中点，所以OD/\!/AB1．
因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D，所以AB1/\!/平面BC1D．
(2)由题意可得AA1⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，
所以AA1⊥BD，又D为AC的中点，AB=BC=2，所以AC⊥BD，
因为AA1⊥BD，AC⊥BD，AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面AA1C1C，
所以BD⊥平面AA1C1C．
(3)由(2)知BD⊥平面AA1C1C，所以直线BC1在平面AA1C1C的射影为DC1，
所以∠DC1B即为所求的线面角，
在▵ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，D为AC的中点，
所以BD=12AC=12×2 2= 2，所以AC⊥BD，
在直角三角形DC1C中，DC1= C1C2+CD2= 4+2= 6，
故在直角三角形DC1B中，tan∠DC1B=BDDC1= 33，
又∠DC1B∈0,π2，所以∠DC1B=π6，即直线BC1与平面AA1C1C所成角为π6．

18.(1)(ⅰ)由题意得，
CDBD=S▵ACDS▵ABD=12AD⋅b⋅sin∠CAD12AD⋅c⋅sin∠BAD=bcsin∠ACB=sinBsin2∠ACB=5sinB，
因为AD⊥AC，∠ACB=∠BAD，
所以cs∠ACB=2 55，
B=π−∠BAC−∠ACB=π−π2+∠BAD−∠ACB=π2−2∠ACB，
所以sinB=sinπ2−2∠ACB=cs2∠ACB=1−2sin2∠ACB=35，
所以CDBD=5sinB=3；
(ⅱ)由(ⅰ)得CD=3BD=3 5，
在Rt▵ACD中，AD=CDsinC=3,AC= CD2−AD2=6，
所以S▵ACD=12AD⋅AC=9，
又S▵ACDS▵ABD=CDBD=3，所以S▵ABD=3，
所以S▵ABC=S▵ABD+SACD=12；
(2)由正弦定理得b2+c2a2=sin2B+sin2Csin2∠BAC，
由(1)得B=π2−2C,∠BAC=π2+C，
故b2+c2a2=sin2π2−2C+sin2Csin2π2+C=cs22C+sin2Ccs2C=2cs2C−12+1−cs2Ccs2C，
令t=cs2C，
因为B=π2−2C>0，所以0