2024-2025学年山西省晋中市榆社等三地高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省晋中市榆社等三地高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x|0且cs(x+y)0)，
因为a5+a4=q3(a2+a1)=8(a2+a1)，
所以q3=8，解得q=2．
又S6=a1(1−q6)1−q=a1(1−26)1−2=63，
所以a1=1，an=2n−1；
(2)由题知bn=2n⋅an=n⋅2n，
所以Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，
2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，
两式相减得−Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1=2(1−2n)1−2−n×2n+1
=(1−n)2n+1−2，
所以Tn=(n−1)2n+1+2．
(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)，根据a5+a4=8(a2+a1)可构造方程求得q=2，根据S6=63求得a1=2，进而求得{an}的通项公式；
(2)由(1)可得bn=n⋅2n，采用错位相减法即可求得结果．
本题考查等比数列的求和中的公式法与错位相减法的应用，属于中档题．
16.【答案】证明过程请见解答； 8 105105．
【解析】(1)证明：以C1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(2,0,2)，F(0,1,52)，A1(2,1,0)，
所以EF=(−2,1,12)，A1E=(0,−1,2)，
所以EF⋅A1E=−1+12×2=0，
所以EF⊥A1E.
(2)解：由(1)知EF=(−2,1,12)，A1E=(0,−1,2)，
设平面A1EF的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EF=−2x+y+12z=0m⋅A1E=−y+2z=0，
取z=4，则y=8，x=5，所以m=(5,8,4)，
易知平面A1B1F的一个法向量为n=(0,1,0)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=8 25+64+16×1=8 105105，
故平面A1EF与平面A1B1F的夹角的余弦值为8 105105．
(1)以C1为原点建系，写出所需点的坐标，计算可得EF⋅A1E=0，从而得证；
(2)利用向量法求平面与平面所成角即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法证明线线垂直，求平面与平面所成角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】5；
分布列见解析；E(X)=53．
【解析】(1)由μ≈76.5，可得P(ξ>76.5)=12，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，该学生笔试成绩高于76.5的概率为12
所以随机变量ξ服从二项分布ξ～(10,12)，故随机变量ξ的期望为：E(ξ)=10×12=5；
(2)根据题目X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=C20×(1−13)2×C20×(1−12)2=19，
P(X=1)=C21×13×(1−13)×C20×(1−12)2+C20×(1−13)2×C21×12×(1−12)=13，
P(X=2)=C22×(13)2×C20×(1−12)2+C21×13×(1−13)×C21×12×(1−12)+C20×(1−13)2×C22×(12)2=1336，
P(X=3)=C22×(13)2×C21×12×(1−12)+C21×13×(1−13)×C22×(12)2=16，
P(X=4)=C22×(13)2×C22×(12)2=136，
因此X的分布列为：
因此E(X)=0×19+1×13+2×1336+3×16+4×136=0+1+1318+12+19=53．
(1)根据题意随机变量ξ服从二项分布ξ～(10,12)，应用二项分布期望计算公式可解．
(2)由题可知随机变量X可能取值为0，1，2，3，4，分别计算相关概率，写出分布列计算期望即可．
本题考查离散型随机变量的均值(数学期望)及正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于中档题．
18.【答案】当a≤0时，f(x)在(0,+∞)单调递减；
当a>0时，f(x)在(1a,+∞)单调递增，在(0,1a)上单调递减．
(i)(0,1)；
(ii)证明见解析．
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
导函数f′(x)=2ax+(a−2)−1x=(ax−1)(2x+1)x，
①当a≤0时，导函数f′(x)0时，令导函数f′(x)=0，解得x=1a，
当x∈(0,1a)时，导函数f′(x)0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)单调递减；
当a>0时，f(x)在(1a,+∞)单调递增，在(0,1a)上单调递减．
(2)(i)若a≤0，根据第一问知，函数f(x)至多有一个零点；
若a>0，根据第一问知，当x=1a时，函数f(x)取得最小值为f(1a)=1−1a+lna．
由于当x∈(1a,+∞)时，函数f(x)∈(1−1a+lna,+∞)；
当x∈(0,1a)时，函数f(x)∈(1−1a+lna,+∞)，
因此f(x)有两个零点当且仅当f(1a)1x+1−2(2×12+1)2>0，
所以p(x)在(12,1)单调递增．所以p(x)>p(12)=−ln2+1>0，故原不等式成立．
所以x0f′(x0)>−2．
(1)利用导数分a≤0和a>0求解；
(2)(i)由(1)知a>0，且最小值为f(1a)=1−1a+lna小于0即可得a的取值范围；
(ii)结合(i)知02x0−1，分0