第十章 10.2排列与组合-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　 　)

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　 　)

(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　 　)

(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　 　)

(5)A＝nA.(　 　)

(6)kC＝nC.(　 　)

无

题型一　排列问题

例1　(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法．

(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．

引申探究

1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？

2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？

3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？

4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？

　由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数．

求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？

(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？

题型二　组合问题

例2　(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(　　)

A．60   B．63

C．65   D．66

(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．

引申探究

1．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？

2．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？

3．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？

　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

命题点1　相邻问题

例3　一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)

A．3×3!   B．3×(3！)3

C．(3！)4   D．9!

命题点2　相间问题

例4　某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．

命题点3　特殊元素(位置)问题

例5　从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．

　(1)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　　)

A．150   B．180

C．200   D．280

(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有(　　)

A．150种   B．114种

C．100种   D．72种

1．排列与组合的概念

2.排列数与组合数

(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．

3．排列数、组合数的公式及性质

典例　有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．

1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)

A．24   B．48

C．60   D．72

2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A．144  B．120  C．72  D．24

3．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)

A．8  B．24  C．48  D．120

4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．

、

1．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为(　　)

A．48  B．36  C．24  D．12

2．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)

A．16  B．18  C．24  D．32

3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)

A．34种   B．48种

C．96种   D．144种

4．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有(　　)

A．12种   B．20种

C．40种   D．60种

5．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(　　)

A．AC   B.AC

C．AA   D．2A

6．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)

A．24对   B．30对

C．48对   D．60对

7．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答)

8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)

9．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有________种．(用数字作答)

10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．

11．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)

12．2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数．

13．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？

*14.设三位数n＝，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？