高考数学精品讲义练习【一轮复习】第九章　9．3　成对数据的统计分析

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第九章　9．3　成对数据的统计分析，共20页。试卷主要包含了了解样本相关系数的统计含义，一元线性回归模型，列联表与独立性检验等内容，欢迎下载使用。
1．了解样本相关系数的统计含义．
2．了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题．
1．变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
(2)正相关、负相关：从整体上看，当一个变量增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．
2．样本相关系数
(1)r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\r(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))2)\r(\i\su(i＝1,n, )(yi－\x\t(y))2)).
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r eq \(a,\s\up6(^))2， eq \(b,\s\up6(^))1< eq \(b,\s\up6(^))2，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以r1 eq \(a,\s\up6(^))2，r1r2
C． eq \(b,\s\up6(^))1> eq \(b,\s\up6(^))2， eq \(a,\s\up6(^))1< eq \(a,\s\up6(^))2，r1>r2
D． eq \(b,\s\up6(^))1> eq \(b,\s\up6(^))2， eq \(a,\s\up6(^))1> eq \(a,\s\up6(^))2，r1 eq \(a,\s\up6(^))2，去掉(167，90)后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以r12.706＝x0.1.
依据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1.
课时作业67
1．（5分）在以下4幅散点图中，y和x成正线性相关关系的是( B )
解析：对于A，由于散点图分散，估计y和x没有线性相关关系，故A错误；对于B，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明y和x线性相关且是正相关，故B正确；对于C，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明y和x线性相关且是负相关，故C错误；对于D，根据散点图集中在一条曲线附近，说明y和x非线性相关，故D错误．故选B.
2．（5分）（2024·广东茂名二模）已知变量x和y的统计数据如表：
根据上表可得经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.6x＋ eq \(a,\s\up6(^))，据此可以预测当x＝8时， eq \(y,\s\up6(^))＝( D )
A．8.5 B．9
C．9.5 D．10
解析：依题意， eq \x\t(x)＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3， eq \x\t(y)＝ eq \f(6＋6＋7＋8＋8,5)＝7，将(3，7)代入 eq \(y,\s\up6(^))＝0.6x＋ eq \(a,\s\up6(^))，得7＝0.6×3＋ eq \(a,\s\up6(^))，解得 eq \(a,\s\up6(^))＝5.2，即 eq \(y,\s\up6(^))＝0.6x＋5.2，当x＝8时， eq \(y,\s\up6(^))＝0.6×8＋5.2＝10.故选D.
3．（5分）（2024·广东广州二模）根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.174.依据α＝0.005的独立性检验，结论为( A )
A．变量X与Y独立
B．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
C．变量X与Y不独立
D．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
解析：因为χ2＝7.1740 B．b20，故B正确；当xn＋1＝ eq \x\t(x)，yn＋1＝ eq \x\t(y)时，将这组数据添加后 eq \x\t(x)， eq \x\t(y)不变，故样本相关系数r的表达式中的分子和分母均不变，故C正确；当xn＋1＝ eq \x\t(x)，yn＋1＝ eq \x\t(y)时，将这组数据添加后 eq \x\t(x)， eq \x\t(y)不变，故经验回归方程中的一次项系数的表达式中的分子和分母均不变，所以 eq \(d,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))，故D正确．故选BCD.
8．（6分）（多选）（2024·江西南昌二模）为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：
甲校样本
乙校样本
参考公式及数据：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))， n＝a＋b＋c＋d.
则下列判断中正确的是( AD )
A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C．根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D．根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
解析：甲校男学生喜爱足球运动的比例为 eq \f(15,20)＝ eq \f(3,4)，乙校男学生喜爱足球运动的比例为 eq \f(70,100)＝ eq \f(7,10)< eq \f(3,4)，即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；甲校女学生喜爱足球运动的比例为 eq \f(8,20)＝ eq \f(2,5)，乙校女学生喜爱足球运动的比例为 eq \f(45,100)＝ eq \f(9,20)> eq \f(2,5)，即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；甲校中χ2＝ eq \f(40×(15×12－5×8)2,20×20×23×17)≈5.0136.635，所以根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确．故选AD.
9．（5分）（2024·重庆三模）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)， eq \x\t(x)＝5， eq \x\t(y)＝－4，其经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋ eq \(a,\s\up6(^))，则在样本点(3，2.9)处的残差为0.5．
解析：将 eq \x\t(x)＝5， eq \x\t(y)＝－4代入 eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋ eq \(a,\s\up6(^))，得－4＝－3.2×5＋ eq \(a,\s\up6(^))，解得 eq \(a,\s\up6(^))＝12，所以 eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋12，故当x＝3时， eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2×3＋12＝2.4，所以残差e＝2.9－2.4＝0.5.
10．（6分）（2025·广东广州一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分）的对应数据(Wi，fi)(i＝1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）.令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得 eq \x\t(x)＝8， eq \x\t(y)＝5，由最小二乘法得经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋7.4，则k的值为－0.3；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值 eq \(y,\s\up6(^)) (i＝1，2，…，8)，若残差平方和≈0.28，则决定系数R2≈0.98．参考公式：决定系数R2＝1－
解析：因为f＝cWk，两边取对数可得ln f＝ln c＋k ln W，又xi＝ln Wi，yi＝ln fi，依题意经验回归直线 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋7.4必过点（ eq \x\t(x)， eq \x\t(y)），所以5＝8 eq \(b,\s\up6(^))＋7.4，解得 eq \(b,\s\up6(^))＝－0.3，所以k＝－0.3，R2＝1－＝1－≈1－ eq \f(0.28,214－8×52)＝0.98.
11．（13分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：个月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：
(1)求y关于x的经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))；
(2)利用(1)中的经验回归方程，分析饲养1～5个月这种鱼平均体重的变化情况，并预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）.
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))2)， eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x).
解：(1)由题表数据可得 eq \x\t(x)＝ eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)
＝3， eq \x\t(y)＝ eq \f(0.5＋0.9＋1.7＋2.1＋2.8,5)＝1.6， eq \i\su(i＝1,5, )（xi－ eq \x\t(x)）（yi－ eq \x\t(y)）＝5.8，
eq \i\su(i＝1,5, )（xi－ eq \x\t(x)）2＝10，
故 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,5, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\i\su(i＝1,5, )(xi－\x\t(x))2)＝ eq \f(5.8,10)＝0.58，
eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)＝1.6－0.58×3＝－0.14,
故经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.58x－0.14.
(2)因为 eq \(b,\s\up6(^))＝0.58>0，故饲养1～5个月这种鱼平均体重逐月增加，平均增加0.58千克，
当x＝12时， eq \(y,\s\up6(^))＝0.58×12－0.14＝6.82，
故预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重为6.82千克．
12．（16分）（2024·湖南邵阳三模）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与天数x的情况，对统计得到的样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中Yi＝ln yi， eq \x\t(Y)＝ eq \f(1,10)
(1)依据散点图推断，y＝bx＋a与y＝ebx＋a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型．（给出判断即可，不必说明理由）
(2)依据(1)的结果和上表中的数据求出y关于x的经验回归方程．
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车的市民进行调查，得到如下列联表：
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式： eq \(b,\s\up6(^))＝ 其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)依据散点图可以判断，y＝ebx＋a更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型.
(2)由Yi＝ln yi，得Y＝ln ebx＋a＝bx＋a，
依题意得 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,10,x)iYi－10\x\t(x) \x\t(Y),\i\su(i＝1,10,x) eq \\al(2,i)－10\x\t(x)2)＝ eq \f(79.75－10×5.5×1.9,385－10×5.52)＝－ eq \f(24.75,82.5)＝－0.3，
eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(Y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)＝1.9－(－0.3)×5.5＝3.55，所以 eq \(Y,\s\up6(^))＝－0.3x＋3.55，即 eq \(y,\s\up6(^))＝e-0.3x+3.55.
(3)零假设H0：市民佩戴头盔与性别无关联．
根据列联表中的数据计算得
χ2＝ eq \f(40×(8×6－12×14)2,20×20×22×18)＝ eq \f(40×120×120,20×20×22×18)≈3.636>2.706＝x0.1，
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.1.
13．（6分）（2024·黑龙江哈尔滨二模）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的 eq \f(5,6)，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的 eq \f(2,3)，若依据α＝0.05的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是( A )
附：χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)).
A．48 B．54
C．60 D．66
解析：设男生人数为6n(n∈N*)，因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为6n(n∈N*)，根据题意列出列联表：
则χ2＝ eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝ eq \f(12n(5n·2n－4n·n)2,9n·3n·6n·6n)＝ eq \f(432n5,972n4)＝ eq \f(4n,9)，因为依据α＝0.05的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，所以χ2≥3.841，即 eq \f(4n,9)≥3.841，解得6n≥51.853 5，又n∈N*，所以B，C，D正确，A错误．故选A.
14．（6分）（2024·福建宁德三模）2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据(i，yi)，其中i＝1，2，3，4，5，yi为第i次入口人流量数据（单位：百人），由此得到y关于i的经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))lg2(i＋1)＋5.已知 eq \x\t(y)＝9，根据经验回归方程（参考数据：lg23≈1.6，lg25≈2.3），可预测下午4点时入口游客的人流量为( C )
A．9.6 B．11.0
C．11.3 D．12.0
解析：设x＝lg2(i＋1)，i＝1，2，3，4，5，则 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋5，所以 eq \x\t(x)＝
eq \f(lg22＋lg23＋lg24＋lg25＋lg26,5)＝ eq \f(4＋2lg23＋lg25,5)≈ eq \f(4＋2×1.6＋2.3,5)＝1.9，且 eq \x\t(y)＝9，则9＝ eq \(y,\s\up6(^))×1.9＋5，得 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(4,1.9)，所以 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \f(4,1.9)lg2(i＋1)＋5，下午4点对应的i＝7，此时预测入口游客的人流量 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \f(4,1.9)×lg28＋5≈11.3.故选C.
15．（6分）（多选）（2024·浙江金华三模）某班主任用下表分析高三前5次考试中本班级在年级中的成绩排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次考试排名，但他记得平均排名 eq \x\t(y)＝6，于是分别用m＝6和m＝8得到了两个经验回归方程： eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))1x＋ eq \(a,\s\up6(^))1， eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))2x＋ eq \(a,\s\up6(^))2，对应的样本相关系数分别为r1，r2，排名y对应的方差分别为s eq \\al(2,1)，s eq \\al(2,2)，则( AD )
附：r＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\r(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))2)\r(\i\su(i＝1,n, )(yi－\x\t(y))2))＝
eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－\x\t(nx) \x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(2,i)－\x\t(nx)2)\r(\i\su(i＝1,n,y) eq \\al(2,i)－\x\t(ny)2))， eq \(b,\s\up6(^))＝
eq \f(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))2)＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－\x\t(nx) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(2,i)－\x\t(nx)2)， eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x).
A．s eq \\al(2,1)