高考数学精品讲义练习【一轮复习】第九章　9．2　用样本估计总体

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第九章　9．2　用样本估计总体，共16页。试卷主要包含了方差和标准差，总体方差和总体标准差等内容，欢迎下载使用。
1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．
2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数： eq \x\t(x)＝ eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝ eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n, )(xi－ eq \x\t(x))2或 eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n,x) eq \\al(2,i)－ eq \x\t(x)2.
(2)标准差：s＝ eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))2).
4．总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 eq \x\t(Y)，则总体方差S2＝ eq \f(1,N) eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－ eq \x\t(Y))2，S＝ eq \r(S2)为总体标准差．
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝ eq \f(1,N) eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－ eq \x\t(Y))2.
教材拓展
1．若x1，x2，…，xn的平均数为 eq \x\t(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为 eq \x\t(mx)＋a.
2．数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．
3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位．( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( √ )
(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值．( √ )
2．(人教A版必修第二册P181T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5 kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数( D )
A．一定为5.5 kW·h B．高于5.5 kW·h
C．低于5.5 kW·h D．约为5.5 kW·h
解析：由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5 kW·h.故选D.
3．(人教A版必修第二册P215T2改编)若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为( D )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D.
4．若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是96，中位数是92.5．
解析：将这组数据从小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，95，96，96，其中96出现的次数最多，则这组数据的众数是96，中位数是 eq \f(92＋93,2)＝92.5.
考点1 样本数字特征的简单计算
【例1】 (1)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
根据表中数据，下列结论中正确的是( C )
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
【解析】 根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36平均数
C．中位数>众数 D．众数>平均数
【解析】 由题中直方图在右边“拖尾”知平均数大于中位数，故A正确；由题图估计中位数接近7.2 t，众数为5.7 t，所以中位数大于众数，故C正确．故选AC.
本题考查了平均数、中位数、众数的运算．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形状有关．准确理解概念的本质是解题的关键．
课时作业66
1．（5分）（2024·广东江门二模）有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的下四分位数是( C )
A．11 B．33
C．13 D．22
解析：将该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，共有9个数据，且9×25%＝2.25，则这组数据的下四分位数是从小到大排列的第三个数，即13.故选C.
2．（5分）（2024·河北张家口三模）现有一组数据x1，x2，…，xn，将这组数据按照从小到大的顺序排列，去掉第一个数和最后一个数后，则下列统计量一定不变的是( B )
A．平均数 B．中位数
C．方差 D．极差
解析：现有一组数据x1，x2，…，xn，将这组数据按照从小到大的顺序排列为y1，y2，…，yn，去掉第一个数和最后一个数后为y2，…，yn－1.原平均数为 eq \f(y1＋y2＋y3＋…＋yn,n)，去掉数据后平均数为 eq \f(y2＋y3＋…＋yn－1,n－2)，不一定相等，故A不正确；根据中位数的定义可知，中位数不会发生改变，故B正确；因为最小的数据变大，最大的数据变小，其余数据不变，方差的意义是新数据与新平均值的波动情况，不能确定不变，故C不正确；原极差为yn－y1，去掉数据后极差为yn－1－y2，不一定相等，故D不正确．故选B.
3．（5分）（2024·浙江绍兴三模）已知实数1