高考数学精品讲义练习【一轮复习】第八章　8．3　圆的方程

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第八章　8．3　圆的方程，共12页。试卷主要包含了圆的参数方程，阿波罗尼斯圆，已知点A，B在直线l，圆C，点A为圆C等内容，欢迎下载使用。
1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．圆的方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)称为圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2(r>0)，表示以原点O为圆心，r为半径的圆．
(3)圆的一般方程：对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(D2＋E2－4F,4).
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心， eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程；
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；
③当D2＋E2－4F0.))
2．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋r cs θ，,y＝b＋r sin θ，))其中θ为参数．该方程可用来设圆上的点的坐标．
4．阿波罗尼斯圆：古希腊数学家阿波罗尼斯发现，平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．( × )
(3)已知圆的方程为x2－2x＋y2＝0，过点A(1，2)可作该圆的两条切线．( √ )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x eq \\al(2,0)＋y eq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
2．(人教A版选择性必修第一册P85T1改编)已知圆的圆心为(－3，4)，半径为5，则它的方程为( C )
A．(x－3)2＋(y－4)2＝5
B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
解析：因为圆心为(－3，4)，半径为5，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故选C.
3．(人教A版选择性必修第一册P102T7改编)若方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( B )
A．(－∞，－5) B．(－5，＋∞)
C．(－∞，5) D．(5，＋∞)
解析：因为方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，所以42＋22＋4m>0，解得m>－5，即m的取值范围为(－5，＋∞).故选B.
4．(人教A版选择性必修第一册P85T2改编)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为( C )
A．(－1，＋∞)
B．(－1，0)
C．(－1，0)∪(4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析：因为点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4a>0，,12＋12＋a×1＋a>0，))解得a∈(－1，0)∪(4，＋∞).故选C.
考点1 圆的方程
【例1】 (1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为( D )
A．(x＋ eq \r(2))2＋(y－ eq \r(2))2＝ eq \r(2)
B．(x－ eq \r(2))2＋(y＋ eq \r(2))2＝2
C．(x－ eq \r(2))2＋(y＋ eq \r(2))2＝ eq \r(2)
D．(x＋ eq \r(2))2＋(y－ eq \r(2))2＝2
【解析】 由题意设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a0，r>0)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|＝|b|＝r，,\f(|a＋b－2|,\r(2))＝r，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a＝r，,\f(2,\r(2))＝r，))
解得b＝－a＝r＝ eq \r(2)，所以圆C的方程为(x＋ eq \r(2))2＋(y－ eq \r(2))2＝2.故选D.
(2)(2024·吉林长春三模)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三点的圆的方程为( C )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
【解析】 设经过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋1＋D＋E＋F＝0，,1＋1－D＋E＋F＝0，,4＋2E＋F＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝0，,E＝－2，,F＝0，))
所以经过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1.故选C.
求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【对点训练1】 (1)若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是( A )
A．x2＋y2＋4x－3y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0
D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0
解析：直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为(－4，0)，(0，3)，不妨令A(0，3)，B(－4，0)，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9＋3E＋F＝0，,16－4D＋F＝0，,F＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝4，,E＝－3，,F＝0，))则所求圆的方程为x2＋y2＋4x－3y＝0.故选A.
(2)(2024·北京西城区二模)已知圆C经过点(－1，0)和(3，0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4．
解析：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则由题意可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((－1－a)2＋(0－b)2＝r2，,(3－a)2＋(0－b)2＝r2，,|2－b|＝r，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，,r＝2，))所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4.
考点2 与圆有关的轨迹问题
【例2】 (1)长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为( D )
A． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,9)＝1 B． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1
C．y2＝16x D．x2＋y2＝25
【解析】 设A(x0，0)，B(0，y0)，则x eq \\al(2,0)＋y eq \\al(2,0)＝100.设M(x，y)，则x＝ eq \f(x0,2)，y＝ eq \f(y0,2)，即x0＝2x，y0＝2y，所以(2x)2＋(2y)2＝100，得x2＋y2＝25.故选D.
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是( B )
A．y2＝4x
B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0
D．y2＝－4x
【解析】 因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1，1)，半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，又AM与圆C相切，且|AM|＝2，则|AC|＝ eq \r(|MC|2＋|AM|2)＝ eq \r(5).设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.故选B.
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
【对点训练2】 (1)平面上一动点P满足|PM|2＋|PN|2＝6，且M(－1，0)，N(1，0)，则动点P的轨迹方程为( C )
A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x－1)2＋y2＝3
C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝3
解析：设P(x，y)，由|PM|2＋|PN|2＝6，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝6，整理得x2＋y2＝2，即动点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.故选C.
(2)已知圆C：x2＋y2＝3，直线l过点A(－2，0)，线段AB的端点B在圆C上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为( B )
A．(x－1)2＋y2＝ eq \f(3,4)
B.(x＋1)2＋y2＝ eq \f(3,4)
C．x2＋(y－1)2＝ eq \f(3,4)
D．(x＋1)2＋y2＝ eq \f(4,3)
解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，由点M是AB的中点，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0－2,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x＋2，,y0＝2y，))又点B在圆C上运动，所以x eq \\al(2,0)＋y eq \\al(2,0)＝3，将上式代入可得(2x＋2)2＋(2y)2＝3，化简整理得点M的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝ eq \f(3,4).故选B.
考点3 与圆有关的最值问题
命题角度1 利用几何性质求最值
【例3】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1) eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
【解】 (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3表示以点(2，0)为圆心， eq \r(3)为半径的圆．设 eq \f(y,x)＝k，即y＝kx(x≠0)，则圆心(2，0)到直线y＝kx(x≠0)的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由 eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝ eq \r(3)，解得k2＝3，
∴kmax＝ eq \r(3)，kmin＝－ eq \r(3).
∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x))) eq \s\d7(max)＝ eq \r(3)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x))) eq \s\d7(min)＝－ eq \r(3).
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得 eq \f(|2＋b|,\r(2))＝ eq \r(3)，即b＝－2± eq \r(6)，故(y－x)min＝－2－ eq \r(6).
(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，
设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，如图，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋ eq \r(3))2＝7＋4 eq \r(3)，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－ eq \r(3))2＝7－4 eq \r(3).
命题角度2 利用函数求最值
【例4】 若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为( D )
A． eq \r(3)－1 B． eq \f(\r(10),2)－1
C．2 D． eq \f(\r(11),2)－1
【解析】 设P(y eq \\al(2,0)，y0)，由(x－3)2＋y2＝1可知圆心坐标为M(3，0)，半径r＝1，则|PM|＝ eq \r(（y eq \\al(2,0)－3）2＋y eq \\al(2,0))＝ eq \r(（y eq \\al(2,0)）2－5y eq \\al(2,0)＋9)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y eq \\al(2,0)－\f(5,2)))\s\up12(2)＋\f(11,4)).因此|PM|的最小值为 eq \f(\r(11),2)，从而|PQ|的最小值为 eq \f(\r(11),2)－1.故选D.
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝ eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2的式子的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【对点训练3】 (1)(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4y＋1＝0，则下列说法正确的是( AC )
A．y－x的最大值为 eq \r(6)＋2
B．x2＋y2的最大值为2＋ eq \r(3)
C．x＋y的最大值为 eq \r(6)＋2
D． eq \f(y,x)的最大值为 eq \f(\r(3),3)
解析：方程x2＋y2－4y＋1＝0可化为x2＋(y－2)2＝3，表示圆，设圆的圆心为M，半径r，可得圆心坐标为M(0，2)，半径为r＝ eq \r(3)，设y－x＝t，即x－y＋t＝0，由 eq \f(|－2＋t|,\r(2))≤ eq \r(3)，解得－ eq \r(6)＋2≤t≤ eq \r(6)＋2，即y－x的最大值为 eq \r(6)＋2，所以A正确；x2＋y2＝[ eq \r((x－0)2＋(y－0)2)]2，表示原点到圆上点的距离的平方，又|OM|＝2，则 eq \r(x2＋y2)的最大值为2＋ eq \r(3)，所以x2＋y2的最大值为(2＋ eq \r(3))2，所以B错误；设x＋y＝n，即x＋y－n＝0，由 eq \f(|2－n|,\r(2))≤ eq \r(3)，解得－ eq \r(6)＋2≤n≤ eq \r(6)＋2，即x＋y的最大值为 eq \r(6)＋2，所以C正确；设 eq \f(y,x)＝k，即kx－y＝0(x≠0)，由 eq \f(|－2|,\r(k2＋1))≤ eq \r(3)，解得k≥ eq \f(\r(3),3)或k≤－ eq \f(\r(3),3)，所以D错误．故选AC.
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，则x＋y的取值范围为[－2，0]．
解析： x2＋y2＋x＋y＝0化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,2)，表示以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))为圆心， eq \f(\r(2),2)为半径的圆，令x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由题可知，直线和圆有公共点，所以 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,2)－t)),\r(2))≤ eq \f(\r(2),2)，即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0，即x＋y的取值范围为[－2，0].
【例】 已知实数a，b满足 a2＋b2－|a|－|b|＝0(a，b不同时为0)，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 易知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0(x，y不同时为0)上，当x≥0且y≥0时，曲线方程可化为x2＋y2－x－y＝0，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,2)，该曲线是以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心， eq \f(\r(2),2)为半径的圆在第一象限及x轴、y轴的正半轴上的部分．根据对称性可知曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0既关于原点对称，又关于x轴、y轴对称，而d＝ eq \f(|a＋b－3|,\r(2))表示曲线C上的点(a，b)到直线l：x＋y－3＝0的距离，如图所示，当点(a，b)位于点A时，距离最小，当点(a，b)位于点B时，距离最大，易求得A点的坐标为(1，1)，dmin＝ eq \f(|1＋1－3|,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，则|a＋b－3|min＝1，易求得B点的坐标为(－1，－1)，dmax＝ eq \f(|－1－1－3|,\r(2))＝ eq \f(5\r(2),2)，则|a＋b－3|max＝5，故|a＋b－3|的最小值与最大值之和为1＋5＝6.故选C.
本题本质上考查了直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式，但是题目设置上需要学生对题干条件进行转化后，才能利用已有知识解决．本题落实通过“材料信息的丰富性、试题要素的灵活性”的高考命题改革要求，引导学生提升思维品质，减少死记硬背和机械化刷题．
课时作业55
1．（5分）若a∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，－1，0，\f(3,4)，1))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＝－3a2－4a＋4>0⇒(3a－2)(a＋2)