山东省潍坊市四市联考2024-2025学年高二上学期11月期中质量监测数学试卷（解析版）

这是一份山东省潍坊市四市联考2024-2025学年高二上学期11月期中质量监测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】向量，，由，得，所以.
故选：B.
2. 设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ）
A. 平行B. 相交
C. 是异面直线D. 可能相交，也可能是异面直线
【答案】D
【解析】如图，长方体中，
当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交；
当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面.
故选：D.
3. 已知直线：与直线：平行，则（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】由于两直线平行，所以，
此时，符合题意.
故选：B.
4. 已知直线与平面相交，点，在上，，且线段在内的射影长为，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设与所成角为，
因为点，在上，，且线段在内的射影长为，
依题意作图如下，则，所以与所成角的大小为.
故选：B.

5. 如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由已知
.
故选：D．
6. 已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
因此反射光线所在直线过点，方程为，即.
故选：A.
7. 已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】直线：过定点，圆：的圆心，半径，，即点在圆内，当且仅当时，最短，
所以的最小值为，
故选：C.
8. 已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设等边三角形内切圆的半径为，
则，
则正三棱柱的内切球半径，
则正三棱柱的高为.
设等边三角形外接圆半径为，则，
所以，设是等边三角形的中心，是的中点，
连接，则，，
是球表面上一点，则
，
，（同向是为，反向时为），
所以，
所以的取值范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的是（ ）
A. 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行
B. 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直
C. 如果两个平面不相交，则它们就没有公共点
D. 若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直
【答案】AC
【解析】对于A，过直线外一点可作一条直线与这条直线平行，经过所作直线有无数个平面与该直线平行，A正确；
对于B，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，B错误；
对于C，两个平面不相交，则它们平行，没有公共点，C正确；
对于D，正四面体相对棱垂直，而任意棱都不垂直于对棱所在的平面，D错误.
故选：AC.
10. 已知圆：和圆：，点，分别是，上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A. 的圆心在直线上
B. 和相离
C. 的最小值为
D. 若，则四边形面积最大值为
【答案】BC
【解析】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
对于A，点的坐标不满足方程，A错误；
对于B，，和相离，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，，，
四边形的面积，D错误.
故选：BC.

11. 如图所示，正四棱锥与正三棱锥的棱长均为1，一凸多面体是由该四棱锥与该三棱锥组合而成，其中点，，分别与点，，重合，在该多面体中（ ）
A. 二面角的余弦值为
B. ，，，四点共面
C. 平面
D. 三棱锥的外接球体积为
【答案】BCD
【解析】设是的中点，连接，设，连接，
则平面.
由于三角形、三角形都是等边三角形，所以，
所以是二面角的平面角，，
所以，所以A选项错误.
由于，所以是二面角的平面角，，
所以，所以，
所以四点共面，B选项正确.
，所以四边形是菱形，所以，
由于平面平面，所以平面，所以C选项正确.
由于，所以是三棱锥外接球的球心，
且外接球的半径为，所以外接球的体积是，所以D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为_______.
【答案】
【解析】依题意，直线的斜率，其倾斜角为.
13. 已知圆：，写出一条过点且与相切的直线方程______.
【答案】或（只写一条即可）
【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为5，
过且斜率不存在的直线为，它与圆相切，
过且斜率存在的直线设其方程为，即，
由，解得，
直线方程为，即，
故答案为：或（只写一条即可）．
14. 在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，，则_______.若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为_______.
【答案】
【解析】设是的中点，所以三点共线，三点共线，
，，
所以，由于三点共线，
所以.
依题意，.
.
由于，所以到平面的距离是到平面的距离的三分之一，
所以
，当且仅当时等号成立.
所以四棱锥的体积最大值为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点分别是，，.
（1）求边的高所在直线方程；
（2）求的面积.
解：（1），边的高所在直线的斜率为，
所以边的高所在直线方程为.
（2），直线的方程为，
到直线的距离为，
所以.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：由于为棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，
所以平面.
（2）解：依题意可知平面，而平面，所以，
，所以.而，
由此可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，所以.
17. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
（1）求的方程；
（2）设直线：与交于，两点.
①证明：直线与平行；
②求四边形的面积.
（1）解：设圆心为，由，则，
所以，解得.
且，，
所以圆的方程为.
（2）证明：①直线的方程为，
直线：，即，所以直线与平行；
②由，
解得，
即，则三点共线，所以是圆的直径，
，，
所以四边形的面积为.

18. 在四棱台中，平面，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）已知四边形为梯形，，，，二面角的大小为.
①求点到平面的距离；
②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
（1）证明：作，垂足为，作，垂足为，
∵平面，平面，所以，
又∵，平面，所以平面，
∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，
∴与重合，即为平面与平面的交线，
∴平面;
（2）解：由题意，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
由（1）平面，平面，∴，
在直角梯形中，，
，
所以，
∴，
是棱台，则，
因此，
则，，，设，，
则，，，
设平面的一个法向量是，
则，
取，可得，，
则为平面的一个法向量，
平面的一个法向量是，
二面角的大小为，
则，解得（负值舍去），
①∴，，，又，
点到平面的距离为，
②，
设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
则为平面的一个法向量，
，
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
19. 已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点.
①求四边形面积的最大值；
②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点.
解：（1）圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
设Px,y，点到圆的切线长为，
点到圆的切线长为，
所以，
两边平方并化简得（坐标原点除外）.
所以的方程为（坐标原点除外）.
（2）①当直线的斜率不存在时，直线与只有一个交点，不符合题意，
所以直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为（），直线的斜率为，
则直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
所以，
用替换，可得，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以四边形面积的最大值为.
②由消去并化简得，
所以，
用替换，可得，
当时，，
所以直线的方程为，
即，
所以直线恒过定点，
当时，，此时直线恒过定点，
当时，，此时直线恒过定点，
综上所述，直线恒过定点.