山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共16页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 记为等比数列的前n项和，若，，则公比（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】若，，则，解得，符合题意.
故选：D.
2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.9B. 0.8C. 0.4D. 0.1
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，
故选：A
3. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设点
则可以把看成两点的斜率，
把看成曲线在点的切线斜率，
把看成曲线在点的切线斜率，
再作出图形进行数形结合分析：
由图可得，
即.
故选：B.
4. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记“小王第一次按对”=,
“第二次按对”
,；
小王1次就按对的概率即为，
小王恰好需要2次才按对的概率.
所以小王不超过2次就按对的概率为.
故选：B.
5. 记数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 301B. 101C. D.
【答案】C
【解析】数列中，，则，
所以
故选：C
6. 函数在处取得极大值9，则（ ）
A. 3B. C. 或3D. 0
【答案】B
【解析】由题意，函数，可得，
因为在处取得极大值9，可得，
解得或，
检验知，当时，可得，
当时，，
即在上单调递减，
当时，，
即在上单调递增，
所以在处取得极小值9，与题意矛盾，故不符题意；
当时，可得，
当时，，
即在上单调递增，
当时，，
即在上单调递减，
所以在处取得极大值9，故符合题意；
所以.故选：B.
7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，令，
则，
所以在上单调递增，
当时，，
即，
当时，，
即，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以当时，，
当时，，
所以不等式的解集为.
故选：D.
8. 某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ）
附：
A. 60B. 65C. 70D. 75
【答案】C
【解析】设男生总人数为，依题意可得列联表如下：
若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，
则，
解得，则被抽取的男生人数至少为70人.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9. 下列函数的导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A,,故A对.
对于B,,故B对.
对于C, ,故C错.
对于D,,故D对.
综上所得,正确的是：ABD.
故选:ABD.
10. 有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A. B. 与相互独立
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】ACD
【解析】对A：，故A正确；
对B：，，
则，故与不相互独立，故B错误；
对C：，，
则，故与相互独立，故C正确；
对D：，
则，故与相互独立，故D正确；
故选：ACD.
11. 黎曼函数（Riemann functin）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，
所以是既约分数，所以，
所以，
即，故B正确；
对于C，当时，，
若当时，成立，
则时，
，故C正确；
对于D，当时，，
若当时，成立，
则时，，要使，
而，，
只需，只需，显然，
故只需，
当时，该式子为，显然成立，
若当时，有，
当时，
，
从而对任意正整数均有，
综上所述，，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是_____________．
【答案】
【解析】任选3人的方法数为，其中至少有1名女生的方法数为．
所以概率为．
故答案为：．
13. 记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．
【答案】12
【解析】设首项、公差分别为，
则，
所以，
因为，所以.故答案为：12.
14. 已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______．
【答案】① ②
【解析】，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
∴；当时，；当时，；．
据此可作出图象如图所示：
令，则或，
由，可得；
又∵只有一个零点，∴无解，或，
∴，或，
∴的取值范围是．
令，则．
①当时，则或，
由，可得，无整数解，∴中有3个整数解，
结合的图象可知此三个整数解为，
∵，
∴；
②当时，，
由，得，不满足题意；
③当时，由，得或，
∵的解集中无整数，的解集中有若干个整数，不满足题意；
综上，的取值范围为．
故答案为：；．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）求在区间上的最值．
解：（1）函数的定义域为,
．
令得,或（舍去）,
当时,,函数单调递减；
当时,,函数单调递增,
所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为．
函数的极小值为,无极大值．
（2）由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,,,
又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2．
16. 某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．
（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；
（2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望．
解：（1）比赛结束时，
恰好打了5局，甲获胜的概率为，
恰好打了5局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了5局概率为；
（2）由题意可知，X取值范围是．
，
，
，
所以X的分布列如下：
数学期望．
17. 已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，
所以时，，
所以当时，，
又满足上式，
所以；
（2）由（1）知，
所以
，
所以，
即不等式对恒成立，
令，，
令，可得，
当时，，此时，即此时有，
数列的最大项为，所以．
18. 近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
（1）已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；
（2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，
（i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为．求的最大值点；
（ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：，．
解：（1）由题意得，，
，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，，
所以估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量是20.3千辆；
（2）（i）恰好两期达到“优秀”标准的概率为，，
因此，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，的最大值点．
（ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B，
所以，
设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，
为培训后能使用人工智能工具的人数，
则，因此，
调整后年利润万元，
令，解得，
所以最多可以调12人到其他部门．
19. 已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）证明：．
解：（1）当时，，所以，
所以，，
所以函数在处的切线方程为即；
（2）若在上恒成立，
则在上恒成立，
设，，
所以，
，
①当时，，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即在不恒成立．
②当时，，
当时，，在上单调递增，
又，此时，
综上所述，所求m的取值范围是；
（3）由（2）知，当时，在上恒成立，
取，得即，当且仅当时等号成立，
令，，
则，
所以，
所以
，
所以．
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
每周平均体育运动时间超过4小时人数
每周平均体育运动时间不超过4小时
合计
男生人数
女生人数
合计
X
2
3
4
P
时间
2023年12月
2024年1月
2024年2月
2024年3月
2024年4月
月份代码x
1
2
3
4
5
销量y/千辆
14
15
16
18
19