山东省潍坊市五县联考2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷（解析版）

这是一份山东省潍坊市五县联考2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，故.
故选：B.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以，即得，
若，则；若，则不一定满足；
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知函数的反函数图象过点，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】依题意函数的反函数图象过点，
所以的图象经过点，
所以，解得.
故选：D.
4. 已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（ ）
A. 37B. 38C. 39D. 40
【答案】D
【解析】甲组数据从小到大排列为7，8，9，15，17，19，23，24，26，32共10个数据，
所以中位数为，所以，
乙组数据从小到大排列为5，7，8，11，11，13，20，22，30，31共10个数据，
又，所以乙组数据的分位数为22，所以，
所以.
故选：D.
5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于，函数定义域为，当时，，可排除D项；
因，故在上恒成立，排除B项；
当时，，取，则，，
显然，结合A，C选项，C项函数在上为增函数，不合题意，易得A项符合.
故选：A.
6. 已知函数，则的解集为（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】当时，由，得，所以，所以，解得，
当时，由，则，解得，
综上，原不等式解集为或．
故选：C．
7. 设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因是两个互斥事件，故，
于是，.
故选：C.
8. 已知函数，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
又因为，所以函数为偶函数，
设，则，因为在为单调递增函数，
函数在为单调递减函数，
所以在为单调递减函数，
，
又，又，所以，
所以，即.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 若为实数且，则
B. 若为正实数且，则
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因，则由不等式的性质易，故A正确；
对于B，因，且为正实数，
由，可得，故B错误；
对于C，由可知，由不等式的性质，可得，故C正确；
对于D，因，，当且仅当时等号成立，此时的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
10. 从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（ ）
A. A与B互斥事件B. 事件A与B相互独立
C. B与C是互斥但不对立事件D. 事件A与C相互独立
【答案】BD
【解析】对于选项A，事件为“第一次取出的数字为”，事件为“第二次取出的数字为奇数”.
第一次取到并不影响第二次取到奇数，这两个事件是可以同时发生的，比如第一次取，第二次取或或.
所以与不是互斥事件，A选项错误.
对于选项B，，因为从这个数字中第一次取到的概率是.
，第二次取到奇数（、、）的概率是.
，即第一次取且第二次取奇数的概率.
因为，满足相互独立事件的条件.
所以事件与相互独立，B选项正确.
对于选项C，事件为“第二次取出的数字为奇数”，事件为“两次取出的数字之和等于”.
当第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到时，与是可以同时发生的.
所以与不是互斥事件，C选项错误.
对于选项D，，，两次取数之和等于的情况有、、、、、共种，总情况有种.
，而，满足.
所以事件与相互独立，D选项正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于y轴对称
B. 在上单调递增
C.
D. 关于x的方程有3个解的充要条件是
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，
又，所以函数为奇函数，
所以函数图象关于原点对称，故A错误；
当时，，，且，
，
因为，所以，
又，所以，
所以，所以，所以在上单调递增，
又函数为奇函数，所以在上单调递增，故B正确；
，，
所以，故C正确；
关于x的方程有3个解，则关于x的方程有3个解，
所以与的图象有3个交点，
作出图象如图所示：
由图象可得，所以关于x的方程有3个解的充要条件是，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据的标准差为3，且，则的方差为_______．
【答案】36
【解析】因为，又数据的标准差为3，
所以，
又，
所以
.
13. 已知函数，且，则_______．
【答案】
【解析】设，则，
由，可得为奇函数，
因解得，故，
于是.
14. 已知函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有某性质P；反之，若不存在，则称函数不具有某性质．若函数具有性质，则的值为_______；已知函数不具有性质，则a的取值范围是_______．
【答案】1
【解析】因具有性质，则有，即，解得.
又因函数不具有性质，
即在定义域内无解，
即无解，即无解，
因，则得无解，
设，则，则.
① 当时，，，当且仅当时取等号，
此时，，又，由题意知，；
② 当时，依题意，只需；
③ 当时，，
若，函数在上先增后减，则，
此时，由题意知，；
若，函数在上单调递减，故，
此时，，由题意知，.
综上可得，a的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）“若，则”是真命题，求a取值范围．
解：（1）因，则，
而或，
故或.
（2）因“若，则”是真命题，故，
由或，
则有，解得，
所以a的取值范围为.
16. 已知函数，满足．
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）解不等式．
解：（1）由题意可知，解得，设，则，
则，所以，即．
（2）因为函数的定义域为，满足，
所以，所以函数为奇函数．
（3）由题意，则，
所以，解得或，
又因为，所以的解集为.
17. 已知二次函数.
（1）若的一个零点在内，另一个零点在内，求a的取值范围；
（2）求在区间的最小值．
解：（1）因为方程的一个根在内，另一个根在内，
结合二次函数的单调性与零点存在性定理得，
解得，即a的取值范围为.
（2）的对称轴为，开口向上，
若，则在区间上是增函数，
所以最小值为，
若最小值为，
若，则在区间上是减函数，所以最小值为，
综上，在区间上的最小值为.
18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率；
（3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大．
解：（1）由频率分布直方图得，，
解得．
估计初赛成绩的平均数为：．
所以，平均成绩为77.5.
（2）由（1）知，成绩在的频率之比为，
则在中随机抽取了人，记为，
在中随机抽取了人，记为，
从5人中随机抽取2人的样本空间为：，共10个样本点，
设事件“至少有1名学生的成绩在内”，
则，有7个样本点，
因此，所以至少有1名学生的成绩在内的概率．
（3）若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况：
①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为，
②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为，
③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为；
若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况：
①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为，
②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为，
③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为，
若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况：
①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为，
②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为，
因为，所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大．
19. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．悬链线函数是与e有关的著名函数——双曲函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数．已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为R，且在R上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数e是自然对数的底数，…）．
利用上述性质，解决以下问题：
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知函数在上的最大值为，求的最小值．
解：（1）因为函数分别为定义在R上的奇函数和偶函数，
且满足①，
所以，即②，
联立①，②，解得.
（2）因为，所以，得，
所以，
即在上恒成立，
等价于使，
因为，
当且仅当，即时，等号成立．
故，即实数m的取值范围为.
（3）函数，
设，由性质①在R上是增函数，
可知当时，，
由，可得，
于是原函数可化为：，
设为二次函数，
由题意
，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．