八年级数学上册 第15章　轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷（沪科版 24秋）

这是一份八年级数学上册 第15章　轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷（沪科版 24秋），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．【2024·长沙期中】下列学校的校徽图案是轴对称图形的是( )
2．【母题：教材P133练习T1】有一个内角是36°的等腰三角形，其他两个内角的度数分别是( )
A．36°，108°
B．72°，72°
C．36°，108°或72°，72°
D．36°，144°
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′，BB′，CC′，其中BB′分别交AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①AA′∥BB′；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直线l垂直平分 AA′；④直线AB与直线A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC 边上的高，若BD＝5，则CD等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．【2024·东营校级期末】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，若在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是( )
A．5 B．6 C．8 D．9
6．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于点E，连接EC，若BC＝12 cm，AB＝18 cm，则△EBC的周长为( )
A．24 cm B．28 cm C．30 cm D．36 cm
7．【2024·东莞市大岭山中学期中】下列条件不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形
8．【2024·淮南田家庵区月考】如图，△ABC的面积为10 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为( )
A．3 cm2B．4.5 cm2C．5 cm2D．6 cm2
9．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，
ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝( )
A．eq \f(3,2)α B．90°－eq \f(1,2)α C．120°－αD．2α－90°
10．如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连接CP.下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PACS△PAB＝ACAB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在平面直角坐标系中，点A和B关于x轴对称，若点A到x轴的距离是3 cm，则点B到x轴的距离是________cm.
12．【母题：教材P138练习T3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是________．
13．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若DB＝18，DE＝8，则CE的长为________．
14．【2024·淮南月考】△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD.
(1)如图①，若AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则eq \f(S△ABD,S△ACD)＝________；
(2)如图②，当AD平分∠BAC时，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，则S△ABC＝________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等(即PC＝PD)，且P到OA，OB两条公路的距离相等，请作出车站P的位置．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°.
(1)作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD；
(2)下列结论正确的是____________(填序号)．
①BD平分∠ABC；②AD＝BC；③△BDC的周长等于AB＋BC的值；④AD＝CD.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．【2024·铜陵期中】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB.若CD＝3，
AB＝10，△ABD的面积为15，则AD是∠BAC的平分线吗？请说明理由．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上的一点，AD＝AB.求证：∠BAD＝2∠C.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，△ABC中，∠A＝96°，BC边的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若∠ABD∶∠DBC＝3∶2，求∠C的度数．
20．【2023·淮南大通区期末】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(－2，－2)，C(2，－1)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)求△ABC的面积．
六、(本题满分12分)
21．【2024·芜湖期中】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线交于点P，两垂直平分线分别交△ABC的边于点G，D和点E，H，连接AD，AE，AP.
(1)求∠DAE的度数；
(2)求证：AP平分∠DAE.
七、(本题满分12分)
22．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE.
(1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
(2)当点D在BC边上(点B，C除外)运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
(3)深入探究：如图②，若∠BAC≠90°，探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
八、(本题满分14分)
23．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB.
(1)求证：AC垂直平分BD；
(2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，AB＝AF；
①求证：△BCD是等边三角形；
②如果G，H分别是线段AC，线段CD上的动点，当GH＋AH的值最小时，请确定点H的位置，思考此时GH与CH有怎样的数量关系，并说明理由．
答案
一、1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D
10．D 【点拨】∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE，
∴∠PAB＝eq \f(1,2)∠CAB，∠PBE＝eq \f(1,2)∠CBE.
∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，
∴eq \f(1,2)(∠CAB＋∠ACB)＝∠PAB＋∠APB.
∴eq \f(1,2)∠ACB＝∠APB.
∴∠ACB＝2∠APB，故①正确；
如图，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥AD于点N，PS⊥BC于点S，则PM＝PN＝PS.
∴S△PAC∶S△PAB＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AC·PN)) ∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB·PM))＝AC ∶AB，CP平分∠BCD，故②正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE，故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC＝∠DCP.
∵CP平分∠DCB，
∴∠DCP＝∠PCF.
∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．
二、11．3 12．6 13．10
14．(1)eq \f(5,3) (2)9 【点拨】(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF.
∵AB＝5，AC＝3，
∴eq \f(S△ABD,S△ACD)＝eq \f(\f(1,2)AB·DE,\f(1,2)AC·DF)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(5,3).
(2)∵AD＝DE，∴S△ABD＝S△BDE＝6.
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠BAC，
∴S△ABD ∶S△ACD＝AB∶AC＝4∶2＝2∶1.
∴S△ACD＝3.∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝6＋3＝9.
三、15．【解】如图．
16．【解】(1)如图．
(2)①②③
四、17．【解】AD是∠BAC的平分线．理由如下：
∵AB＝10，△ABD的面积为15，DE⊥AB，
∴DE＝eq \f(15×2,10)＝3.∴DE＝CD.
∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴AD是∠BAC的平分线．
18．【证明】如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，
则∠AHB＝90°.
∴∠BAH＋∠B＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠C＝90°.
∴∠BAH＝∠C.
∵AD＝AB，AH⊥BD，
∴∠BAD＝2∠BAH.
∴∠BAD＝2∠C.
五、19．【解】∵DE垂直平分BC，
∴DC＝BD.∴∠C＝∠DBC.
∵∠ABD ∶∠DBC＝3 ∶2，
∴设∠ABD＝3x，∠DBC＝2x.
∴∠C＝2x.
∴96°＋3x＋2x＋2x＝180°，解得x＝12°.
∴∠C＝24°.
20．【解】(1)△A1B1C1如图所示．
(2)A1(－1，3)，B1(2，－2)，C1(－2，－1)．
(3)△ABC的面积＝4×5－eq \f(1,2)×4×1－eq \f(1,2)×4×1－eq \f(1,2)×3×5＝20－2－2－7.5＝8.5.
六、21．(1)【解】∵∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°.
由题意得AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE.
∴∠BAD＋∠CAE＝60°.
∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝60°.
(2)【证明】连接PB，PC，则PB＝PA，PA＝PC，
∴PB＝PC.∴∠PBD＝∠PCE.
∵PA＝PB，DA＝DB，
∴∠PAB＝∠PBA，∠DAB＝∠DBA.
∴∠PAD＝∠PBD.
同理得∠PAE＝∠PCE，
∴∠PAE＝∠PAD，
即AP平分∠DAE.
七、22．【解】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°.
∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°.
∵AD＝AE，∴∠AED＝75°.
∴∠CDE＝∠AED－∠C＝30°.
(2)设∠BAD＝x，则∠CAD＝90°－x.
∵AE＝AD，∴∠AED＝45°＋eq \f(1,2)x.
∴∠CDE＝∠AED－∠C＝eq \f(1,2)x.
∴∠BAD＝2∠CDE.
(3)设∠CDE＝a，∠C＝b，则∠AED＝b＋a.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝b.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝b＋a.
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，
∴b＋∠BAD＝b＋a＋a.
∴∠BAD＝2a.
∴∠BAD＝2∠CDE.
八、23．(1)【证明】∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC，
∴AB＝AD，∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB.
∴∠CBE＝∠CDE.
∴CB＝CD.
∴AC垂直平分BD.
(2)①【证明】如图①，
设∠F＝α.
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠F＝α.
∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC＝∠F＋∠ABF＝2α.
由(1)知AC⊥BD，CB＝CD，
∴∠BCE＝∠DCE.
∵BF∥CD，∴∠F＝∠DCE.
∴∠BCE＝∠F＝α.
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCE＋∠BAC＝90°.
∴α＋2α＝90°.∴α＝30°.
∴∠BCD＝30°＋30°＝60°.
又∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．
②【解】当GH＋AH的值最小时，CH＝2GH.
理由：如图②，作点A关于CD的对称点A′，过点A′作A′G⊥AC于点G，交CD于点H，则AH＝A′H，
∴GH＋AH＝GH＋A′H＝A′G.
易知此时GH＋AH的值最小．
由①知∠DCE＝30°，
∵A′G⊥AC，
∴∠CGH＝90°.
∴CH＝2GH.
∴当GH＋AH的值最小时，CH＝2GH.