2024-2025学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}为等差数列，a2+a8=6，则a3+a5+a7=( )
A. 9B. 12C. 15D. 16
2.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
3.在等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3=21，则公比q的值等于( )
A. 1B. −12C. 1或−12D. −1或12
4.函数f(x)=lnx−2x2的单调递增区间是( )
A. (−12,12)B. (0,12)
C. (−∞,−12),(12,+∞)D. (12,+∞)
5.若函数f(x)=ex(x2+a)在[−2,2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−8)C. (−∞,−8]D. [0,+∞)
6.已知数列{an}满足a1=13，an−an+1anan+1=2，则a10=( )
A. 121B. 112C. 12D. 21
7.已知数列{an}、{bn}的通项公式分别为an=3n−1和bn=4n−3(n∈N∗)，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2025,n∈N∗}元素的个数为( )
A. 166B. 168C. 169D. 170
8.数列{cn}为等比数列，其中c1=2，c8=4，f(x)=x(x−c1)(x−c2)…(x−c8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)= ( )
A. 0B. 26C. 29D. 212
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. y=ln2，则y′=12B. f(x)=1x2，则f′(3)=−227
C. y=2x，则y′=2xln2D. y=lg2x，则y′=1xln2
10.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)=f′(x0)，则是称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A. f(x)=x2B. f(x)=1xC. f(x)=lnxD. f(x)=(1e)x
11.已知数列{an}满足：a1=2，当n≥2时，an=( an−1+2+1)2−2，则关于数列{an}的说法正确的是( )
A. a2=7B. 数列{an}为递增数列
C. an=n2+2n−1D. 数列{an}为周期数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设f(x)=(x−1)ex，则f′(ln2)= ______．
13.已知等差数列{an}的前n项和是Sn，S18>0，S192．
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+1(n∈N∗).
(1)求证：数列{an+1−2an}是等比数列；
(2)求证：数列{an2n}是等差数列；
(3)求数列{n+1n⋅an}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知f(x)=ae2x−2xex(其中e=2.71828⋯为自然对数的底数)．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a=12时，判断f(x)是否存在极值，并说明理由；
(3)∀x∈R,f(x)+1a≤0，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.C
6.A
7.C
8.D
9.BCD
10.ABC
11.ABC
12.2ln2
13.10
14.(−12)n−4(答案不唯一)
15.(1)∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
又a6=12，S8=72，
∴a1+5d=128a1+28d=72，
解得a1=d=2，
∴an=2n；
(2)证明：由(1)可得Sn=(2+2n)n2=n(n+1)，
∴Snn=n+1，
∴Sn+1n+1−Snn=n+2−(n+1)=1，
∴数列{Snn}是公差为1的等差数列．
16.解：(1)当a=2时，f(x)=13x3−x2，则f′(x)=x2−2x，∴f′(3)=9−6=3，
又f(3)=9−9=0，∴f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为：y=3(x−3)，即3x−y−9=0．
(2)由题意得：f(x)定义域为R，f′(x)=x2−ax=x(x−a)；
当a=0时，f′(x)=x2≥0，∴f(x)在R上单调递增；
当a0；
若x∈(a,0)，则f′(x)0时，若x∈(−∞,0)∪(a,+∞)，则f′(x)>0；
若x∈(0,a)，则f′(x)0，
由y=ex和y=1x的图象可得它们只有一个交点，
设横坐标为m，即em=1m，
且x>m时，f′(x)>0，f(x)递增；
00，
存在x1∈(−1,ln2)使得F(x1)=0，存在x2∈(ln2,2)，使得F(x2)=0，
x∈(−∞,x1)时，F(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(x1,x2)时，F(x)0，f(x)单调递增；
所以a=12时，f(x)有一个极大值，一个极小值；
(3)f′(x)=2ae2x−2(x+1)ex=2ex(aex−x−1)，
由∀x∈R，f(x)+1a≤0，
因为 f(0)+1a=a+1a=a2+1a≤0，得aa−(a−1)−1=0，
又g(−1)=ae−10，f′(x)>0，
当x1∈(x0,+∞)时，g(x)0，当x∈(x0,+∞)时，g(x)