2024-2025学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（含解析），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}为等差数列，a2+a8=6，则a3+a5+a7=( )
A. 9B. 12C. 15D. 16
2.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
3.在等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3=21，则公比q的值等于( )
A. 1B. −12C. 1或−12D. −1或12
4.函数f(x)=lnx−2x2的单调递增区间是( )
A. (−12,12)B. (0,12)
C. (−∞,−12),(12,+∞)D. (12,+∞)
5.若函数f(x)=ex(x2+a)在[−2,2]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. (−∞,−8)C. (−∞,−8]D. [0,+∞)
6.已知数列{an}满足a1=13，an−an+1anan+1=2，则a10=( )
A. 121B. 112C. 12D. 21
7.已知数列{an}、{bn}的通项公式分别为an=3n−1和bn=4n−3(n∈N∗)，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2025,n∈N∗}元素的个数为( )
A. 166B. 168C. 169D. 170
8.数列{cn}为等比数列，其中c1=2，c8=4，f(x)=x(x−c1)(x−c2)…(x−c8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)= ( )
A. 0B. 26C. 29D. 212
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. y=ln2，则y′=12B. f(x)=1x2，则f′(3)=−227
C. y=2x，则y′=2xln2D. y=lg2x，则y′=1xln2
10.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)=f′(x0)，则是称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A. f(x)=x2B. f(x)=1xC. f(x)=lnxD. f(x)=(1e)x
11.已知数列{an}满足：a1=2，当n≥2时，an=( an−1+2+1)2−2，则关于数列{an}的说法正确的是( )
A. a2=7B. 数列{an}为递增数列
C. an=n2+2n−1D. 数列{an}为周期数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设f(x)=(x−1)ex，则f′(ln2)= ______．
13.已知等差数列{an}的前n项和是Sn，S18>0，S192．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+1(n∈N∗).
(1)求证：数列{an+1−2an}是等比数列；
(2)求证：数列{an2n}是等差数列；
(3)求数列{n+1n⋅an}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知f(x)=ae2x−2xex(其中e=2.71828⋯为自然对数的底数)．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a=12时，判断f(x)是否存在极值，并说明理由；
(3)∀x∈R,f(x)+1a≤0，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}为等差数列，
∴a2+a8=2a5=6，
∴a5=3，
故a3+a5+a7=3a5=9，
故选：A．
利用等差中项得a5=3，从而解得．
本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由图可以看出函数y=f′(x)的图象是一个二次函数的图象，
在(−∞,0)，f′(x)>0，f(x)递增，
在(0,x1)，f′(x)0，f(x)递增，
f(0)是极大值，f(x1)是极小值，
故选：C．
首先观察函数的图象，y=f′(x)与x轴的交点即为f(x)的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断．
会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式与前n项和，属于基础题．
根据题意，利用等比数列的通项公式，列出方程组，求出公比q的值．
【解答】
解：∵在等比数列{an}中，a3=7，S3=21，
∴a1q2=7a1+a1q+a1q2=21，化简得2q2−q−1=0，
解得q=1或−12，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=lnx−2x2的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x−4x=1−4x2x，
令f′(x)>0，可得00，S19−a10>0，
∴|a9|>|a10|，
∴{|an|}最小的项是第10项．
故答案为：10．
由S19=19a100，a9>−a10>0，由此能求出{|an|}最小的项．
本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】(−12)n−4(答案不唯一)
【解析】解：由题意可设an=a4⋅qn−4=qn−4，
因为数列{|an|}单调递减，数列{an}不具有单调性，
所以q0，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(x1,x2)时，F(x)0，f(x)单调递增；
所以a=12时，f(x)有一个极大值，一个极小值；
(3)f′(x)=2ae2x−2(x+1)ex=2ex(aex−x−1)，
由∀x∈R，f(x)+1a≤0，
因为 f(0)+1a=a+1a=a2+1a≤0，得aa−(a−1)−1=0，
又g(−1)=ae−10，f′(x)>0，
当x1∈(x0,+∞)时，g(x)0，当x∈(x0,+∞)时，g(x)