2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点N与点M(1,−2,3)关于x轴对称，则点N的坐标为( )
A. (1,2,−3)B. (−1,−2,3)C. (−1,−2,−3)D. (1,−2,−3)
2.已知空间直角坐标系O−xyz中有一点A(−1,−1,2)，点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A，B两点的最短距离是
( )
A. 6B. 342C. 3D. 172
3.若圆C：(x−1)2+(y−3)2=8上存在两个点到直线l：x+y+m=0的距离为 2，则实数m的取值范围是( )
A. −60)和两个半圆C2：(x+1)2+y2=1(y≥0)、C3：(x−1)2+y2=1(y≥0)组成曲线C：F(x,y)=0，其中点A1、A2依次为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1、F2依次为C1的左、右焦点.点F1、F2分别为曲线C2、C3的圆心．
(1)求C1的方程；
(2)若点P、Q分别在C2、C3上运动，点T(0,−1)，求|TP|+|TQ|的最大值，并求出此时点P、Q的坐标．
16.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y=x−1，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y=3x+1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
17.(本小题15分)
设F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A( 3,12)在椭圆C上，点A关于原点的对称点为B，四边形AF1BF2的面积为 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F2的直线l交椭圆C于M，N两点，求证：1|F2M|+1|F2N|为定值．
18.(本小题17分)
已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3．
(Ⅰ)求E的方程；
(Ⅱ)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为kAM和kBN，求kAM2+23kBN的最小值．
19.(本小题17分)
已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足FA+FB+FC=0，则称该三角形为“核心三角形”．
(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
(2)已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.B
5.B
6.D
7.D
8.B
9.ABC
10.AB
11.ABD
12.[2,2 2)
13.415
14.(5,9)
15.解：(1)依题意，F1(−1,0)、F2(1,0)，
所以b2=4−1=3，
所以C1的方程为x24+y23=1(y≤0)；
(2)|TP|+|TQ|≤(|TF1|+|F1P|)+(|TF2|+|F2Q|)
=( 2+1)+( 2+1)
=2 2+2，
当T、F1、P三点共线，同时T、F2、Q三点共线，有(|TP|+|TQ|)max=2 2+2，
由T(0,−1)，F1(−1,0)、F2(1,0)，则此时∠OF1P=∠OF2Q=3π4，
所以xP=−1+1×cs3π4=−1− 22，yP=1×sin3π4= 22，
则P(−1− 22, 22)，同理可得Q(1+ 22, 22)．
16.解：(1)根据题意，圆心C在直线l：y=x−1上，也在直线y=3x+1上，
解得x=−1，y=−2，所以C(−1,−2)，所以圆C：(x+1)2+(y+2)2=1，
当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为y=kx+3，即kx−y+3=0，
则|−k+2+3| 1+k2=1⇒k=125，
所以切线方程y=125x+3，
当斜率不存在时，直线x=0也与圆相切，
综上：所求切线直线方程为y=125x+3或x=0；
(2)设点C(a,a−1)，M(x0,y0)，因为|MA|=2|MO|，则x02+(y0−3)2=4(x02+y02)，
即点M的轨迹方程为x2+(y+1)2=4，
又点M在圆C上，所以(x0−a)2+(y0−a+1)2=1，
若存在这样的点M，则x02+(y0+1)2=4与(x0−a)2+(y0−a+1)2=1有交点，
即两圆的圆心距d满足1≤d≤3，
即1≤ 2a2≤3，
解得 22≤a≤3 22或−3 22≤a≤− 22．
故a的取值范围是[ 22,3 22]∪[−3 22,− 22]．
17.解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0)，四边形AF1BF2为平行四边形，其面积设为S，
则S=2c⋅12= 3，所以c= 3，
所以a2−b2=c2=3，
又3a2+14b2=1，
解得a2=4，b2=1，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(2)证明：F2( 3,0)，当直线l与x轴重合时，l的方程为y=0，
此时不妨令|F2M|=a+c=2+ 3,|F2N|=a−c=2− 3，则1|F2M|+1|F2N|=4；
当直线l与x轴不重合时，l的方程可设为x=my+ 3，
由x=my+ 3x2+4y2=4，
得(m2+4)y2+2 3my−1=0，Δ=(2 3m)2+4(m2+4)=16(m2+1)>0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则y1+y2=−2 3mm2+4，y1y2=−1m2+40)，
因为△PF1F2的面积为3，
所以S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=3，
解得|PF1|⋅|PF2|=6，
易知|PF1|−|PF2|=2a，
对等式两边同时平方得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|=4a2，
又|PF1|2+|PF2|2=4c2，
即4c2−12=4a2，
因为b2=c2−a2，
解得b2=3，
因为双曲线E的离心率为2，
所以ca=2，
解得a2=1，
则双曲线E的方程为x2−y23=1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F2(2,0)，A(−1,0)，B(1,0)，
因为直线MN的斜率不为0，
不妨设直线MN的方程为x=ty+2(− 33