第19讲 函数模型的应用 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

这是一份第19讲 函数模型的应用 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版），共14页。试卷主要包含了30,lg3≈0等内容，欢迎下载使用。

1. 理解函数是描述客观世界中的变量关系和规律的重要数学语言和工具；
2. 养成画图、识图和用图的习惯，从图中观察出函数模型；
3. 了解数学模型的概念，知道数学建模的意义，能利用给定的函数模型解决实际问题，能选择适当的函数模型拟合实际问题.
1 各种函数的增速
(1)一次函数的增长速度
一次函数y＝kx+b(k>0)在区间(0,+∞)上是增函数，其增长的速度不变，k越大，其增长得越快．
当k0)在区间(0,+∞)上是增函数，其增长速度较快，指数n越大，增长速度越快．
如y=x3比y=x2的增长速度更快.当01)在区间(0,+∞)上是增函数，其增长的速度较慢，随着x的增大，y=lga⁡x的图象类似于与x轴“平行”一样．
其底数a越小，增长的速度越快．科网]
如y=lg2x比y=lg4x的增长速度更快.当01)在区间(0,+∞)上是增函数，其增长速度最快．
其底数a越大，增长的速度越快．
如y=4x比y=2x的增长速度更快。当x0时，y=4x的函数值比y=2x大，并且越来越大。

(5) 几类不同增长的函数模型的比较
(1)指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势比较
如y=2x,y=x2,y=lg2x，
三个函数在0,+∞上都是增函数，但它们的增速不一样，
我们列表看看，
在同一坐标系内，作出函数图象，如下图，
由图和表，易知对数函数y=lg2x增长得很慢，指数函数y=2x增长得很快，比幂函数y=x2更快.而当01),y=lga⁡x(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=lga⁡x(a>1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x>x0，就有lga⁡x0,a>0，且a≠1).已知第一个月该植物的生长面积为1m2，第三个月该植物的生长面积为4m2.
(1)求证：若St1·St3=St22，则t1+t3=2t2；
(2)若该植物的生长面积达到100 m2以上，则至少要经过多少个月？
5.某地区不同身高xcm未成年男性体重平均值ykg如下表：

根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重ykg与身高xcm的关系，现有以下三种模型提供选择：
①y=abx+c，②y=-x3+ax2+bx+c，③y=klgax+b
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由)？并利用80,10，120,20，160,50这三组数据求出此函数模型的解析式；
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？
(参考数据：lg3≈10lg1.1)
【题型四】 对数函数模型的应用
【典题1】 (2023·山东·模拟预测)我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级M与震源中心释放的能量E有关，二者满足关系式M=23lgE-3.2，则里氏6.2级地震释放的能量是里氏4.1级地震释放的能量的( )
A．2.1倍B．3.15倍C．103.15倍D．104.15倍
【典题2】生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量w进行监测. 第一次监测时的总量为w0(单位：吨)，此时开始计时，时间用t(单位：月)表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
为了研究该生物总量w与时间t的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达w与t的变化关系：
①w=ct+dw0；②w=blgat+1+w0a>0且a≠1.
(1)请根据表中提供的前2列数据确定第一个函数模型的解析式；
(2)根据第3,4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量w由w0翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量w再翻一番时还需要经过多少个月？(参考数据：lg3≈0.48，lg17≈1.23)
变式练习
1. 研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为E1,2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为E2，则比值E1E2的整数部分为( )
A．4B．5C．6D．7
2. 学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟，0≤x≤60)的函数关系式，要求如下：
(i)函数的图象接近图示；
(ii)每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
(iii)每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
(iiii)每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型供选择：
①y=kx+b(k>0)；②y=k⋅1.01x+b(k>0)；③y=3lg3kx+3+m(k>0).
(1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
(2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
(参考值：lg3163≈4.63)


【A组---基础题】
1.有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是( )
A．y=bx+cB．y=bx+c
C．y=blgax+cD．y=ax+c
2.设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k(k＞0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k•0.9x(x∈N*)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为( )(参考数据：1g3≈0.477)
A．9B．10C．11D．12
3.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则t min后该物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-t4求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过( )(取：ln2=0.69，ln3=1.10)
A．4.14minB．5.52minC．6.60minD．7.16min
4.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：kms与燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v=2000ln1+Mm．当燃料质量与火箭质量的比值为t0时，火箭的最大速度可达到v0km/s．若要使火箭的最大速度达到2v0km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为( )
A．2t02B．t02+2t0C．2t0D．2t02+t0
5.某商店销售A,B两款商品，利润(单位：元)分别为y1=-x2+23x和y2=4x，其中x为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 .
6.某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 次．(lg2≈0.3010)
7.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=k•ax(k＞0,a＞1)与y=px+q(p＞0)可供选择．
(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
(Ⅱ)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：2≈1.41,3≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48)
8.某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为2n2+10n万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)
(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出；
哪一种方案较为合算？请说明理由．
9.一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？

【B组---提高题】
1.从金山区走出去的陈驰博士，在《自然﹣可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年，t∈N*)满足如下的逻辑斯蒂函数：f(t)=61+e-0.5t+2，其中e为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为0．
(1)需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？(精确到个位)
(2)在第几年内，该树长高最快？
y=ax(a>1)
y=lgax(a>1)
y=xn(n>0)
在区间0,+∞的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象变化
随x的增大逐渐加快增大
随x的增大逐渐减慢增大
随n的不同而不同
x
14
12
1
2
3
4
5
6
7
y=2x
≈1.2
≈1.4
2
4
8
16
32
64
128
y=x2
≈0.06
≈0.25
1
4
9
16
25
36
49
y=lg2x
-2
-1
0
1
≈1.6
2
≈2.3
≈2.6
≈2.8
一次函数
y=ax+b (a≠0)
二次函数
y=ax2+bx+ c (a≠0)
指数函数
y=ax(a>0且a≠1)
指数型函数
y=k∙ax (a>0且a≠1)
对数函数
y=lgax (a>0且a≠1)
对数型函数
y=k∙lgax (a>0且a≠1)
幂函数
y=xn (n∈ N*)
幂函数型
y=k⋅xn (n∈ N*)
x
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
y
-2.0
-1.0
0
1.00
2.0
3.0
x
3
4
5.15
6.126
y
4.0418
7.5
12
18.01
身高xcm
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重ykg
10
12
15
17
20
27
31
45
50
67
t/月
0
2
8
16
w/吨
2.0
4.0
6.0
7.0
x
0
4
9
16
36
y
3
7
9
11
15