第15讲 对数及其运算 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第15讲 对数及其运算 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共18页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.了解对数的概念，会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值；
2.掌握积、商、幂的对数运算性质，并能正确利用对数运算的性质进行对数运算；
3.掌握换底公式及其推论；
4.掌握常用对数、自然对数的概念与记法.
1对数的概念
(1)概念
一般地，如果ax=N(a>0 , 且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN.
(a底数， N真数， lgaN对数)
(2) 两个重要对数
常用对数以10为底的对数，lg10 N记为lgN；
自然对数以无理数e为底的对数的对数，lgeN记为ln N．
(3) 对数式与指数式的互化
x=lgaN ⟺ ax=N
对数式 指数式
如 43=64⇔lg464=3；lg525=2⇔52=25.
(4) 结论
① 负数和零没有对数
② lgaa=1，lga1=0.
特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1，ln1=0.
2 对数的运算性质
如果a>0，a ≠ 1， M>0，N>0 , 有
① lga(MN)=lga M+lga N ② lgaMN=lga M-lga N
③ lgaMn =n lga Mn∈R ④ algaM=M
3 换底公式
(1)公式
lga b=lgc blgc a (a>0 , a≠ 1 , c>0 , c≠ 1 , b>0)
(2)推论
① lgab=1lgba ② lgab⋅ lgbc=lgac ③ lgam bn=nmlgab
【题型一】 对数式与指数式的互换
相关知识点讲解
1 对数的概念
一般地，如果ax=N(a>0 , 且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN.
(a底数， N真数， lgaN对数)
解释 对数lgaN中对底数a的限制与指数函数y=ax中对a的限制一样.
2 两个重要对数
常用对数以10为底的对数，lg10 N记为lgN；
自然对数以无理数e为底的对数的对数，lgeN记为ln N．
3 对数式与指数式的互化
x=lgaN ⟺ ax=N
对数式 指数式
如 43=64⇔lg464=3；lg525=2⇔52=25.
4 结论
① 负数和零没有对数
② lgaa=1，lga1=0.
特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1，ln1=0.
解释 ∵ax=N>0， ∴lgaN中N>0，如lg2(-3)没意义；
由对数式与指数式的互化得a1=a⇒lgaa=1， a0=1⇒lga1=0.
【典题1】 指数式与对数式互化.
(1)3a=27 (2)lg0.001=-3 .
【答案】 a=lg327 10-3=0.001
【分析】根据指数式和对数式互化的规定：底数不变，指数变对数，幂值变真数进行变换即得.
【详解】(1)由3a=27可得：a=lg327；由lg0.001=-3可得10-3=0.001.
故答案为：a=lg327；10-3=0.001
【典题2】已知函数fx=lg3x+1,x>1x,00，N>0 , 有
① lga(MN)=lga M+lga N ② lgaMN=lga M-lga N
③ lgaMn =n lga Mn∈R ④ algaM=M
(每条等式均可证明)
比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系
特别注意：lgaMN ≠ lgaM⋅ lgaN，lgaM ±N≠ lgaM± lgaN.
【例】证明lga(MN)=lga M+lga N.
证明 设x=lga M，y=lga N，则ax=M，ay=N，
∴MN=axay=ax+y，∴lgaMN=x+y=lga M+lga N.
【典题1】 (多选)下列等式成立的是( )
A．lg2+lg5-lg8lg50-lg40=1B．lg4+lg5-12lg0.5+lg8=2
C．lg14-2lg73+lg7-lg18=0D．lg22+lg2lg5+lg5=2
【答案】AC
【分析】
根据对数的运算性质计算逐项计算.
【详解】lg2+lg5-lg8lg50-lg40=lg108lg5040=1，A成立；
lg4+lg5-12lg0.5+lg8=lg20-1lg0.25+lg8=1+lg2-1lg2=1，B不成立；
lg14-2lg73+lg7-lg18=lg7+lg2-2lg7-2lg3+lg7-2lg3+lg2=0，C成立；
lg22+lg2lg5+lg5=lg2lg2+lg5+lg5=lg2+lg5=1，D不成立.
故选：AC
变式练习
1.化简下列各式：
(1)4lg2+3lg5-lg15；(2)2lg32-lg3329+lg38-5lg53.
【答案】(1)4，(2)-1
【分析】(1)、(2)利用对数的运算法则求解即可.
【详解】(1)原式=lg24×5315=lg24×54=lg2×54=4.
(2)原式=2lg32-(5lg32-2)+3lg32-3
=2lg32-5lg32+2+3lg32-3=-1.
2.lg222+lg28=( )
A．4B．92C．5D．112
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则求解即可.
【详解】lg222+lg28=lg22-lg22+lg2(2)6=12-1+6=112.
故选：D.
3.(2024·山东聊城·二模)已知函数fx为R上的偶函数，且当x>0时，fx=lg4x-1，则f-223=( )
A．-23B．-13C．13D．23
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义可得f(-223)=f(223)，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.
【详解】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，
则f(-223)=f(223)=lg4223-1=lg22223-1=lg2213-1=13-1=-23.
故选：A
4.已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771，则lg412的值大约为( )
A．1.79B．1.81C．1.87D．1.89
【答案】A
【分析】借助对数运算法则计算即可得.
【详解】lg412=lg2222×3=12×2lg22+12lg23=1+lg32lg2≈1+0.47712×0.3010≈1.79.
故选：A.
5.已知实数x，y满足lg2x+lg2y+1=1，则S=x2+12y2的最小值是( )
A．32B．2C．72-2D．2+2
【答案】A
【分析】由对数运算得xy+1=2，利用换元思想结合二次函数求最值.
【详解】由lg2x+lg2y+1=1得x>0，y>-1且xy+1=2，
∴y=2x-1x>0.
∴S=x2+122x-12 =x2+2x2-2x+12
=x-1x2+1x-12+32≥32，
当且仅当x=1x，1x=1，且x>0，即x=1时，等号成立，
故S的最小值是32，
故选：A.

【题型三】换底公式的运用条件求值问题
相关知识点讲解
(1)公式
lga b=lgc blgc a (a>0 , a≠ 1 , c>0 , c≠ 1 , b>0)
(2)公式推导
设lgcblgca=x，则lgc⁡b=xlgc⁡a=lgc⁡ax，
∴b=ax，∴x=lga⁡b，∴lgcblgca=lgab.
(3)推论
① lgab=1lgba ② lgab⋅ lgbc=lgac ③ lgam bn=nmlgab
证明 ① lga⁡b=lgbblgba=1lgba；
② lga⁡b⋅lgb⁡c=lgblga⋅lgclgb=lgclga=lgac；
③ lgambn=lgabnlgaam=nlgabm=nmlgab.
【典题1】 已知lg⁡2=a,lg⁡3=b，则lg3⁡6= ( )
A．a+ba B．a+bb C．aa+b D．ba+b
【答案】C
【详解】由换底公式得lg3⁡6=lg6lg3=lg⁡(2×3)lg3=lg⁡2+lg⁡3lg3=a+bb．

【典题2】已知a=lg3⁡5，b=lg4⁡5，c=1a+1b，则5c= (
A．12B．112C．7D．17
【答案】A
【详解】c=1a+1b=lg5⁡3+lg5⁡4=lg5⁡12，
∴5c=5lg512=12，故选：A．
变式练习
1. lg23⋅lg34-10lg3=( )
A．2B．1C．-1D．0
【答案】C
【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.
【详解】lg23⋅lg34-10lg3=lg3lg2⋅lg4lg3-3=2lg2lg2-3=2-3=-1，
故选：C．
2.lg225×lg34×lg59=( )
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【分析】根据对数换底公式及运算知识即可求解.
【详解】lg225×lg34×lg59=lg25lg2×lg4lg3×lg9lg5=2lg5lg2×2lg2lg3×2lg3lg5=8，故A正确.
故选：A.
3.已知a=lg⁡2，b=lg⁡3，用a,b表示lg36⁡5，则lg365= ( )
A．2a+2b1-aB．1-a2a+bC．2-2aa+bD．1-a2a+2b
【答案】D
【详解】lg36⁡5=lg5lg36=1-lg⁡22lg⁡6=1-lg⁡22(lg⁡2+lg⁡3)=1-a2(a+b)，故选：D．
【题型四】 条件求值问题
【典题1】 设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么下列关系正确的是( )
A．a+2b=cB．ac+bc=2abC．1a+12b=1cD．1a+1b=2c
【答案】C
【分析】首先根据指对互化，利用对数表示a,b,c，再结合对数运算判断选项.
【详解】由3a=4b=6c=k，得a=lg3k，b=lg4k，c=lg6k，
1a=lgk3，1b=lgk4，1c=lgk6，则12b=12lgk4=lgk2，
根据lgk3+lgk2=lgk6可知，1a+12b=1c.
故选：C
【典题2】已知2m=6n=10，则3，m⋅n，m+n的大小关系是( )
A．m⋅n