第16讲 对数函数及其性质 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第16讲 对数函数及其性质 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共29页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；
2.初步掌握对数函数的图象与性质；
3.能够利用对数函数单调性比较大小，能够解简单的对数型不等式；
4.了解反函数的概念及其它们的图像特点.
1 对数函数
(1)对数函数的概念
函数y=lgax(a>0 , a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞).
(2)图像与性质
3 对数型函数模型
形如y=k·lgax(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数称为对数型函数．
4 反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0 , a ≠1)互为反函数.
它们的图象关于直线y=x对称，定义域与值域相反.
【题型一】 对数函数的概念
相关知识点讲解
函数y=lgax(a>0 , a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞).
解释
函数y=lgax中系数为1，底数是不为1正实数的常数，真数为变量x.
【例】判断下列函数是否为对数函数:
(1)y=lg2x+1 (2)y=lg3(x-2) (3)y=3lg5x (4)y=lg4x
解 (1)不是，对数式后加了2；(2)不是，真数不是x；(3)不是，系数不为1；(4)是.
【典题1】 对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg5xB．y＝lg15xC．y＝lg13xD．y＝lg3x
【答案】A
【分析】设对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解.
【详解】设函数解析式为y＝lgax(a>0，且a≠1)．
由于对数函数的图像过点M(125，3)，
所以3＝lga125，得a＝5.
所以对数函数的解析式为y＝lg5x.
故选：A.

变式练习
1. 已知函数①y=4x；②y=lgx2；③y=-lg3x；④y=lg0.2x；⑤y=lg3x+1；⑥y=lg2x+1.其中是对数函数的是( )
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
【答案】C
【分析】依据对数函数的定义即可判断.
【详解】根据对数函数的定义，只有符合y=lgax(a>0且a≠1)形式的函数才是对数函数，
其中x是自变量，a是常数，
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中y=-lg3x=lg13x，是对数函数；④中y=lg0.2x=lg0.04x，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
2.已知对数函数y=f(x)的图象过点(e,1)，则fe3=( )
A．-3B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】设f(x)=lgax后求出函数解析式，再求函数值．
【详解】设f(x)=lgax，因为函数图象过点(e,1)，所以f(e)=lgae=1，a=e，
所以f(x)=lnx，f(e3)=lne3=3．
故选：D．

【题型二】对数型函数的定义域
相关知识点讲解
对数函数y=lgax(a>0 , a ≠1)定义域是(0,+∞).
【典题1】 函数fx=2x+1lgx-1的定义域是( )
A．x|x≥-12B．x|x>1
C．x|x≥-12且x≠2D．x|x>1且x≠2
【答案】D
【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】要使fx有意义，则应有2x+1≥0x-1>0x-1≠1，
解得x>1且x≠2.
故选：D.

变式练习
1. 函数y=lg2(x+2)+3-x的定义域为( )
A．-2,3B．-2,3
C．-2,3D．-2,3
【答案】C
【分析】利用函数的定义域的求法求解.
【详解】由题可得，x+2>03-x≥0，解得-2a
【答案】B
【分析】判断出0