第13讲 指数及其运算 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第13讲 指数及其运算 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共15页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义并掌握幂的运算；
2.能准确掌握根式的运算性质及分数指数幂与根式的互化，熟练掌握幂的运算性质进行幂的运算.
1 n次方根
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
注意：(1) (na)n=a
(2)当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，nan=a=a,a≥0-a,a0,m,n∈N*,且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
(2)正数的负分数指数幂的意义：a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1)
(3) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂ax(a>0，x为无理数)是一个确定的实数.
4 实数指数幂的运算性质
① as∙ar=ar+s (a>0,r,s∈R)；
② asr=ars (a>0,r,s∈R)；
③ (ab)r=arbr (a>0,r∈R).
【题型一】根式的概念和性质
相关知识点讲解
n次方根
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
(1) (na)n=a (2)当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，nan=a=a,a≥0-a,a1)
Eg：x-23=13x2.
③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
【典题1】(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．3aa=a12a>0B．x-34=-4x3x>0
C．x-12y23=3y2xx>0,y>0D．3-x234=x12x>0
【答案】ACD
【分析】利用根数与指数幂的运算可判断各选项的正确.
【详解】对于A选项，3aa=3a⋅a12=3a32=a3213=a12a>0，故A正确；
对于B选项，x-34=1x34=14x3x>0，故B错误；
对于C，x-12y23=1x12⋅3y2=3y2xx>0,y>0，故C正确；
对于D，3-x234=3x234=x2334=x12x>0，故D正确．
故选：ACD．

变式练习
1. 481的运算结果是( )
A．3B．-3C．±3D．以上都不对
【答案】A
【分析】直接根据指数的运算即可得结果.
【详解】481=3414=3，
故选：A.
2.将17a4写成分数指数幂的形式为( )
A．a47B．a-47C．a74D．a-74
【答案】B
【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.
【详解】将17a4写成分数指数幂的形式为a-47.
故选：B.
3.若m-2n=1，则4n38m=( )
A．1B．22C．12D．2
【答案】C
【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.
【详解】因为m-2n=1，则2n-m=-1，
所以4n38m=22n323m=22n2m=22n-m=2-1=12.
故选：C.
4.已知a>0，b>0，则a85⋅b-65-12⋅5a4÷5b3= .
【答案】1
【分析】借助指数幂的运算性质，计算即可.
【详解】a85⋅b-65-12⋅5a4÷5b3=a85×-12⋅b-65×-12⋅a45÷b35=a-45+45⋅b35-35=a0⋅b0=1
故答案为：1.
【题型三】利用指数幂的性质化简
相关知识点讲解
实数指数幂的运算性质
① as∙ar=ar+s (a>0,r,s∈R)；
② asr=ars (a>0,r,s∈R)；
③ (ab)r=arbr (a>0,r∈R).
【典题1】 (1)27912-23-π0-21027-23+0.25-32；
(2)已知00)，由条件用t表示2⋅2x⋅2y，结合基本不等式求t的取值范围即可.
【详解】因为4x+4y=22x+2y，又4x+4y=2x+2y2-2×2x×2y，
所以2x+2y2-2×2x×2y=22x+2y，
设2x+2y=t(t>0)，则t2-2×2x×2y=2t，即2×2x×2y=t2-2t.
因为00，∴x-1=0，即x=1，∴32+5+32-5=1．