湖南省长沙市第一中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列数中，无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．长沙地铁6号线的轨道铺设中，工程师利用了平行线的性质来确保轨道的安全性．下列选项中，能判定两条直线平行的是（ ）
A．同位角相等B．内错角互补
C．同旁内角相等D．对顶角相等
3．“天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程．下列哪组解是这个二元一次方程的解（ ）
A．B．C．D．
4．计算的结果是（ ）
A．3B．C．D．
5．如图，将含角的直角三角板按照图示放置，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足方程，其中表示华氏度（），表示摄氏度（），那么将转换为华氏度为（ ）
A．B．C．D．
7．长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．长沙市一中为提倡校园垃圾分类，需制作宣传海报．已知制作2张类海报和3张类海报共需130元，制作4张类海报和1张类海报共需110元．设类海报单价为元，类海报单价为元，则可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
9．点在第二象限，且到轴的距离是7个单位长度，到轴的距离是4个单位长度，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．若为二元一次方程，则 ．
12．若点在轴上，则 ．
13．的平方根是 ．
14．如图，已知，若，，则 °．
15．设n为正整数，且，则n的值为 ．
16．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解下列方程组
(1)
(2)
19．已知为的整数部分，一个数的平方根分别为，，的立方根为．
(1)求，，的值；
(2)求的算术平方根．
20．我国“风云七号”气象卫星在太空中调整观测位置．原观测点构成的顶点坐标分别为，，．为优化气象监测，卫星将这三个点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到．
(1)在平面直角坐标系中画出平移后的；并直接写出平移后点，的坐标： ， ；
(2)计算的面积．
21．已知：如图，，，．求证：．
证明：∵，（已知），
∴________（垂直的定义），
∴________（同位角相等，两直线平行），
∴（________），
∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（________）．
22．如图，已知，．

(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
23．今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票．
(1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？
(2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？
24．在平面直角坐标系中，我们能把二元一次方程的一个解用一个点表示出来，标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解，这条直线也被称为二元一次方程的“图象”．
规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象．
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，然后作出直线．
(1)请你判断在方程的图象上的点有________（填序号）；
①；②；③；④．
(2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象；观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________；
(3)已知以关于，的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简．
25．已知直线，点，是直线上的两个定点，点，是直线上的两个动点，射线，交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在直线上，满足．与交于点，与交于点，若，且．求的度数；
(3)在（2）的条件下，射线绕点以3度/秒的速度逆时针转动，射线绕点以2度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为秒．
（i）当________秒时，；
（ii）设直线与直线的夹角为度（），直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间的值．
《湖南省长沙市一中教育集团联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题》参考答案
1．B
解：A、是有理数，不是无理数，则A不符合题意；
B、是无限不循环小数，它是无理数，则B符合题意；
C、是分数，它是有理数，不是无理数，则C不符合题意；
D、是循环小数，它是有理数，不是无理数，则D不符合题意；
故选：B．
2．A
解：A、同位角相等，可以判定两条直线平行，符合题意；
B、内错角互补，不可以判定两条直线平行，符合题意；
C、同旁内角相等，不可以判定两条直线平行，符合题意；
D、对顶角相等，不可以判定两条直线平行，符合题意；
故选：A．
3．C
解：A．当时，，此选项不符合题意；
B．当时， ，此选项不符合题意；
C．当时，，此选项符合题意；
D．当时，，此选项不符合题意；
故选：C.
4．D
解：，
故选：D．
5．B
解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
6．A
解：当时，，
所以将转换为华氏度为
故选：A．
7．A
解：∵，且，
∴，
∴，，
∴
∴帛画的面积为，
故选：A．
8．B
解：设类海报单价为元，类海报单价为元，根据题意得，
，
故选：B．
9．C
解：点在第二象限，且到轴的距离是7个单位长度，到轴的距离是4个单位长度，
点的横坐标是，纵坐标是7，即，
点P的坐标是．
故选：C．
10．D
解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则，
∴，
∴，
根据题意得，
，，
∴
∴，
故选：D．
11．2
解：∵方程是二元一次方程，
，
，
故答案为：2．
12．6
解：点在轴上，
，
解得；
故答案为：6．
13．±2
解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
14．40
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：40．
15．3
因为 ， ， ，所以 ，即.
故答案为3.
16．5
解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：，
∴③，，
∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：，
∴④，
∴，
解得：
∴，
故答案为：5．
17．
解：
．
18．(1)
(2)
（1）解：得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
∴原方程组的解为
19．(1)，，
(2)2
（1）解：∵，
∴，
∵为的整数部分，
∴；
∵一个数的平方根分别为，，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴；
（2）解：由（1）知：，，，
∴，
∴的算术平方根为．
20．(1)见解析，，
(2)
（1）解：如图所示；
；，；
故答案为：，；
（2）解：．
21．；；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行
证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行．
22．(1)见解析
(2)120°
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)普通电影票的单价为元，电影票的单价为元
(2)元
（1）解：设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：普通电影票的单价为元，电影票的单价为元．
（2）解：由题意得：
总价，
答：该企业需要支付元．
24．(1)②④
(2)；
(3)
（1）解：在中，
令，则，故①不在方程的图象上；
令，则，故②在方程的图象上；
令，则，故③不在方程的图象上；
令，则，故④不在方程的图象上；
故答案为：②，④；
（2）解：如图所示，取点，作出的图象，
取点，作出的图象；
观察图象，两条直线的交点坐标为，由此得出这个二元一次方程组的解是，
故答案为：；．
（3）解：将中两方程相加得：，
∴，
由题知：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
．
25．(1)见解析
(2)，
(3)（i）26.4；(ii) 转动时间的值为或或或．
（1）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：类比（1）同理可得：，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴①，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴②，
联立①②解得：，；
（3）解：（i）如图3所示：
由题意得：，，
，
，
即：，
，
解得：，
故答案为：；
（ii）当与平行时，，解得，
当与平行时，，解得，
如图所示，当两个交点都在上方时，即，
由（2）得，，
则，
，
，
解得：或；
如图所示，当一个交点在上方，一个交点在下方时，即，
，
则，
，
解得：或；
综上，转动时间的值为或或或．