2024-2025学年湖南省湘东教学联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省湘东教学联盟高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知4z=1−i(i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 2B. 2 2C. 4D. 8
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=64，a4+a6+a8=6，则S7=( )
A. −2B. 58C. 70D. 80
3.已知向量a，b满足|a|=2，cs=13，且|a+2b|=4 3，则|b|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
4.已知a，b∈R，则“3a>3b”是“ a> b”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有( )
A. 48种B. 72种C. 96种D. 144种
6.直线x−y+m=0(m>0)与圆O：x2+y2=16相交于A，B两点，当△ABO面积最大时m的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 2 3
7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E为线段CC1上的动点(不含端点)，则当三棱锥D−AEC外接球半径最小时，AE的长为( )
A. 23B. 32C. 193D. 223
8.已知函数f(x)=(ex−4x)(x2−ax+b)，∀x∈R，f(x)≥0，则eab=( )
A. e2B. e32C. 4D. 16
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)得到的回归直线方程为y=−2x+1，且x−=2，剔除一个偏离回归直线较远的异常点(2,6)后，得到的新回归直线经过点(1,−3)，则( )
A. 变量x，y负相关
B. 剔除异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C. 新回归直线经过点(2,4)
D. 新回归直线的斜率是−1
10.抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l：y=k(x−2)过点F且与抛物线E交于A，B两点，其中点A在第一象限，则( )
A. p=4
B. 当k=2 2时，|AB|=92
C. 若点P的坐标为(3,2 2)，则△APF周长的最小值为8
D. 当|AF|=3|BF|时，k= 3
11.中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的.如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动.忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为4，3，2，1.随着转动，以下说法正确的是( )
A. 小平轮转2圈，大平轮转1圈
B. AB两点距离最大为18
C. AB两点距离最小为10
D. 若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为2 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=x2ex−2的极大值点是______．
13.已知数列{3n−1an}的前n项和为n⋅3n，则数列{1anan+1}的前n项和为______．
14.一个材质均匀的抽奖转盘被等分为10个扇形区域，分别标有数字1至10.玩家进行以下操作：
第一轮：转动转盘一次，记录数字n(不考虑指针落在交界线的情况)，若n为质数，则获得一个抽奖币，否则获得一个普通币．
第二轮：若第一轮获得抽奖币，可从抽奖池随机抽取奖励(抽奖池中包含1个一等奖、3个二等奖、6个三等奖)；若获得普通币，则从普通池中随机抽取奖励(普通池中包含2个安慰奖、8个谢谢参与)．
第三轮：若第二轮抽到一等奖或二等奖，则可再次转动转盘，若此次数字与第一轮数字之和为偶数，则额外获得终极大奖.则玩家最终获得终极大奖的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表：
已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6．
(1)请完成上述列联表，并根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关；
(2)从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且a= 3，bcsC+ccsB=2acsA．
(1)若△ABC的面积是3 34，求△ABC的周长；
(2)若△ABC为锐角三角形，求b+c的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为 3，D是BC的中点．
(1)证明：A1B//平面ADC1；
(2)求直线A1B1与平面ADC1所成角的正弦值；
(3)在线段A1C1上是否存在一点E，使得点B1到平面ADE的距离为2 217？若存在，请求出A1EA1C1的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上E顶点分别为A，B，以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点F1，F2，且△F1AF2的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A的直线l分别交圆E、椭圆C于M，N两点(异于点A)，若直线l的斜率存在．
(i)证明：kBMkBN为定值；
(ii)求|MN||BM|的最大值，并求取得最大值时直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−axex2−1．
(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若正项数列{an}满足a1=12，an+1=lnean−1an，试比较2nan与1的大小关系，并说明理由．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知，z=41−i=4(1+i)(1−i)(1+i)=2+2i，
所以|z|= 22+22=2 2．
故选：B．
根据复数的运算法则，化简得到z=2+2i，进而求得|z|，得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设公差为d，因为S8=64，a4+a6+a8=6，
所以8a1+28d=64，a1+3d+a1+5d+a1+7d=6，解得a1=22，d=−4．
所以S7=7×22+7×62×(−4)=70．
故选：C．
利用等差数列{an}的前n项和公式以及通项公式即可求出首项与公差，即可求得结果．
本题主要考查等差数列{an}的前n项和公式以及通项公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：已知向量a，b满足|a|=2，cs=13，且|a+2b|=4 3，
则|a|2+4a⋅b+4|b|2=48，
即4+4×2×|b|×13+4|b|2=48，
整理得3|b|2+2|b|−33=0，
解得|b|=3或|b|=−113(舍去)．
故选：D．
将|a+2b|=4 3两边平方，结合的向量数量积的定义求解方程即得．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属中档题．
4.【答案】A
【解析】解：取a=−1，b=−2，满足3a>3b，但得不出 a> b，即充分性不成立，
由 a> b，可得a>b，又因为y=3x在R上单调递增，
所以3a>3b，所以“3a>3b”是“ a> b”的必要条件，
所以“3a>3b”是“ a> b”的必要不充分条件．
故选：A．
举出反例得到充分性不成立，再由指数函数单调性得到必要性成立，得到答案．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，
当乙在第五道，甲有3种站法，其余4人进行全排列，有A44种站法，则共有3A44=72种；
当乙在第六道，甲有3种站法，其余4人进行全排列，有A44种站法，则共有3A44=72种，
所以共有72+72=144种不同排法．
故选：D．
分乙在第五道和在第六道两种情况，再考虑甲，结合排列知识进行求解，相加得到答案．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意直线x−y+m=0(m>0)与圆O：x2+y2=16相交于A，B两点，
可知，圆O：x2+y2=16的圆心为O(0,0)，半径r=4，
因为△ABO面积S△ABO=12|OA||OB|sin∠AOB=8sin∠AOB≤8，
当且仅当∠AOB=π2，即△ABO为等腰直角三角形时，等号成立，
此时圆心O(0,0)到直线x−y+m=0(m>0)的距离d=m 2=2 2，所以m=4．
故选：C．
利用三角形面积公式，以及正弦函数的性质即可求得结果．
本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E为线段CC1上的动点(不含端点)，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
DB1=(1,1,1),AC=(−1,1,0),AD1=(−1,0,1)，
∴DB1⋅AC=−1+1=0，
DB1⋅AD1=−1+1=0，
∴DB1⊥AC,DB1⊥AD1，∴B1D⊥AC，B1D⊥AD1，
又AC∩AD1=A，AC，AD1⊂平面ACD1，
∴B1D⊥平面ACD1，∴三棱锥D1−AEC的外接球球心在B1D上，
设B1D∩平面AD1C=O1，设三棱锥D1−AEC的外接球球心为O，半径为r，
则r2=OA2=O1A2+OO12≥O1A2，即点O与O1重合时，r有最小值，
最小值为△ACD1的外接圆半径，
在等边△ACD1中，边长为 2，∴AO=r= 22sin60°= 63，
设E(0,1,a)(01．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．性别
游泳
合计
喜欢
不喜欢
男生
80
女生
20
合计
α
0.10
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
性别
游泳
合计
喜欢
不喜欢
男生
80
60
140
女生
40
20
60
合计
120
80
200
X
0
1
2
P
514
1528
328