湖南省湘东教学联盟2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题（Word版附解析）

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总分：150 分 时量：120 分钟
由株洲市二中 浏阳市一中 醴陵市一中 攸县一中 株洲市八中 茶陵县一中 株洲市四
中 醴陵市四中 九方中学 株洲市二中枫溪学校 渌口区五 中株洲市南方中学联合命题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D. 8
2. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. 58 C. 70 D. 80
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
4. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 6 名运动员站在 6 条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，
则不同的排法共有（ ）
A. 48 种 B. 72 种 C. 96 种 D. 144 种
6. 直线 与圆 相交于 A，B 两点，当 面积最大时 m 的值为（
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）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
7. 已知正方体 的棱长为 1，点 E 为线段 上的动点（不含端点），则当三棱锥
外接球半径最小时，AE 的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ， ， ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知由样本数据 得到的回归直线方程为 ，且 ，剔除一个偏离回
归直线较远的异常点 后，得到的新回归直线经过点 ，则（ ）
A 变量 x，y 负相关
B. 剔除异常点后；样本相关系数的绝对值变大
C. 新回归直线经过点
D. 新回归直线 斜率是
10. 抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且与抛物线 交于 两点，
其中点 在第一象限，则（ ）
A.
B. 当 时，
C. 若点 的坐标为 ，则 周长的最小值为 8
D. 当 时，
11. 中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目
的．如图 1 所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后
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如图 2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点 A，大平轮上最高点为点 B，大、中、小平轮和立轮
的半径分别为 ．随着转动，以下说法正确的是（ ）
A 小平轮转 2 圈，大平轮转 1 圈
B. AB 两点距离最大为 18
C. AB 两点距离最小为 10
D. 若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 函数 的极大值点是________．
13. 已知数列 的前 n 项和为 ，则数列 的前 n 项和为________．
14. 一个材质均匀的抽奖转盘被等分为 10 个扇形区域，分别标有数字 1 至 10．玩家进行以下操作：
第一轮：转动转盘一次，记录数字 n（不考虑指针落在交界线的情况），若 n 为质数，则获得一个抽奖币，
否则获得一个普通币；
第二轮：若第一轮获得抽奖币，可从抽奖池随机抽取奖励（抽奖池中包含 1 个一等奖、3 个二等奖、6 个三
等奖）；若获得普通币，则从普通池中随机抽取奖励（普通池中包含 2 个安慰奖、8 个谢谢参与）．
第三轮：若第二轮抽到一等奖或二等奖，则可再次转动转盘，若此次数字与第一轮数字之和为偶数，则额
外获得终极大奖．
则玩家最终获得终极大奖的概率为________．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了 200 名学生进行问卷调查，得到如下
的 列联表：
性别 游泳 合计
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喜欢 不喜欢
男生 80
女生 20
合计
已知在这 200 名学生中随机抽取 1 人，抽到喜欢游泳的概率为 0.6．
（1）请完成上述列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关；
（2）从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取 8 名学生，再在这 8 人中抽取 3 人调查其喜欢
的运动，用 X 表示 3 人中女生的人数，求 X 的分布列及数学期望．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16. 在 中，内角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，且 ， ．
（1）若 的面积是 ，求 的周长；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围．
17. 如图，在正三棱柱 中，底面边长为 2，侧棱长为 ，D 是 BC 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角 正弦值；
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（3）在线段 上是否存在一点 E，使得点 到平面 ADE 的距离为 ?若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
18. 已知椭圆 的上、下顶点分别为 A，B，以 AB 为直径的圆 E 过椭圆 C 的两个
焦点 ， ，且 的面积为 1．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 A 的直线 l 分别交圆 E、椭圆 C 于 M，N 两点（异于点 A），若直线 l 的斜率存在．
（ⅰ）证明： 为定值；
（ⅱ）求 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的方程．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 对任意 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）若正项数列 满足 ， ，试比较 与 1 的大小关系，并说明理由．