湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效.
3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若向量 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. 45 C. D.
3. 已知直线 是双曲线 的一条渐近线，则 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
4. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为（
）
A B. C. D.
5. 已知函数 ，且 ，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在圆锥 中， 是底面圆的直径， 在底面圆周上， 是 的中点，
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与圆锥底面所成角的大小为 ，则圆锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 曲线 和曲线 组合围成“心形图”（如下图所示），记
“心形图”为曲线 ，曲线 所围成的“心形”区域的面积等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如果对于正整数集 ，将集合 拆分成 16 个三元子集（子集有三
个元素），且拆分的 16 个集合两两交集为空集，则称集合 是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集
合 是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则 的最大值为（ ）
A. 12 B. 9 C. 7 D. 6
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分.
9. 早在 1733 年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式
为 ，其中 为参数.若随机变量 的概率分布密度函数为 ，
则称随机变量 服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：若随机变量 ，则
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A. 曲线 关于直线 对称
B. 曲线 在 处达到峰值
C. 当 较小时，正态曲线“矮胖”，当 较大时，正态曲线“瘦高”
D. 若 ，则
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 若 在区间 恰有两个零点，则 的取值范围为
C. 若 ，且 ，则
D. 若 在区间 恰有两个最值点，则 的取值范围为
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 处取得极小值，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则曲线 关于点 中心对称
D. 若 ，则 有 3 个零点
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 的展开式中，只有第 7 项的二项式系数最大，则 的值为__________.
13. 设 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点， 为坐标原点， ，则
__________.
14. 已知函数 .若当 时，存在过坐标原点 的直线 与曲线 相切，
则实数 的取值范围为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
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15. 如图，在直三棱柱 中， 是 的中点， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
16 已知等差数列 满足 ，等比数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
17. 2025 年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧 BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一
流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自 2018 年至 2024 年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，
取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人 ，对其进行两次智能模仿成年人活
动检测.
（1）若 型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为 ；若第一次检测
不成功，则第二次检测成功的概率为 .已知 型服务机器人第一次检测成功的概率为 ，求 型服务机
器人第二次检测成功的概率；
（2）试产 型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时， 型合
格的概率分别为 ，第二次检测时， 型合格的概率分别为 .两次检测相互独立，设
经过两次检测后， 型服务机器人合格的种类数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
18. 已知函数 .
（1）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；
（2）当 时，证明： ；
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（3）若 ，求实数 的取值范围.
19. 已知椭圆 左，右焦点分别 为椭圆 上任意一点，
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为圆 上任意一点，求 最小值；
（3）已知直线 与 轴交于点 ，且与椭圆 交于 两点， 为坐标平面内不在直
线 上的动点，若直线 斜率的倒数成等差数列，证明：动点 在定直线 上，并求直线 的方
程.
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