第12讲 幂函数 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第12讲 幂函数 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共24页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.理解幂函数的概念；
2.会画常见幂函数的图象，并理解它们的图象变化规律和性质；
3.能解决与幂函数有关的复合函数问题.
1 幂函数的定义
一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
注 (1)注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α是常数；
2正数的分数指数幂的意义
(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
(2)正数的负分数指数幂的意义：a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1)
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3幂函数图像及其性质
(1) 幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图象．
(2) 幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的性质
(3)性质
① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．
特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当00,m,n∈N*,且n>1)
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
【典题1】 下列函数中定义域为R的是( )
A．y=x12 B．y=x54 C．y=x23 D．y=x-13
【答案】C
【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.
【详解】y=x12=x，定义域为[0,+∞)，故A错误；
y=x54=4x5，定义域为[0,+∞)，故B错误；
y=x23=3x2，定义域为R，故C正确；
y=x-13=13x，定义域为{x∣x≠0}，故D错误，
故选：C.
变式练习
1. 函数fx=x-1+x12的定义域为( )
A．-∞,+∞B．-∞,0∪0,+∞
C．0,+∞D．0,+∞
【答案】D
【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】因为fx=x-1+x12=1x+x，则x≠0x≥0，可得x>0，
故函数fx的定义域为0,+∞.
故选：D.
2.给出5个幂函数：①y=x-2；②y=x45；③y=x14；④y=x23；⑤y=x-45，其中定义域为R的是( )
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案.
【详解】①y=x-2=1x2的定义域为x|x≠0，不符合.
②y=x45=5x4的定义域为R，符合.
③y=x14=4x的定义域为x|x≥0，不符合.
④y=x23=3x2的定义域为R，符合.
⑤y=x-45=15x4的定义域为x|x≠0，不符合.
所以符合的是②④.
故选：C

【题型三】幂函数的图象的判断
相关知识点讲解
幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图象．
【典题1】 已知函数fx=x-2,x