第14讲 幂函数-【暑假衔接】2025年新高一数学暑假提升讲义（含答案）（人教A版2019必修第一册）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
知识点2 5个常见幂函数的图象与性质
知识点3 一般幂函数的性质
所有的幂函数在 上都有定义，并且图象都过点（1，1）；
如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间 上单调递增；
如果α＜0，那么幂函数的图象在区间上单调递减，在第一象限内，当x从左边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
在（1，+∞）上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴。
考点一 判断函数是否是幂函数
1．下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1，
对比选项仅有B：符合要求.
故选：B.
2．下列函数是幂函数且是奇函数的是（ ）
A．y=2xB．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，易知不是幂函数，错误；
对于B，易知其为偶函数，错误；
对于C，由解析式可知为幂函数；，定义域为，
又，奇函数，正确；
对于D，易知其为偶函数，错误；
故选：C
（多选题）3．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上为减函数B．当时，函数不是幂函数
C．当时，函数是偶函数D．当时，函数与轴有且只有一个交点
【答案】CD
【详解】幂函数在和上是减函数，但是在定义域上不单调，故A错误；当时，函数是幂函数，故B错误；是偶函数，故C正确；当时，函数为，当时，只有唯一解，故D正确．
（多选题）4．已知函数，命题：，，则错误的有（ ）
A．为幂函数B．
C．是真命题D．的否定是，
【答案】ABD
【详解】对选项A：若为幂函数，则（为有理数），且系数为，而，不是幂函数，故A选项不正确；
对选项B:，，故B选项不正确；
对选项C: ,,，，是真命题, 故C选项正确；
对选项D: 命题：，,的否定是:，,故D选项不正确；
故选：ABD
考点二 求幂函数的定义域、值域和对应法则
（多选题）1．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上为减函数B．当时，函数不是幂函数
C．当时，函数是偶函数D．当时，函数与轴有且只有一个交点
【答案】CD
【详解】幂函数在和上是减函数，但是在定义域上不单调，故A错误；当时，函数是幂函数，故B错误；是偶函数，故C正确；当时，函数为，当时，只有唯一解，故D正确．
（多选题）2．已知函数，命题：，，则错误的有（ ）
A．为幂函数B．
C．是真命题D．的否定是，
【答案】ABD
【详解】对选项A：若为幂函数，则（为有理数），且系数为，而，不是幂函数，故A选项不正确；
对选项B:，，故B选项不正确；
对选项C: ,,，，是真命题, 故C选项正确；
对选项D: 命题：，,的否定是:，,故D选项不正确；
故选：ABD
3．已知幂函数的图像经过点.
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设，则有，解得，
故，其定义域为；
（2）由，则在上单调递减，
故有，即，即.
4．已知幂函数的定义域不为.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或，
若，则的定义域为，不符合题意，
若，则的定义域为，符合题意，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，
由可得，
因为在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或，
所以a的取值范围为．
5．已知函数，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
整理得，即或（舍去），
则，故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，，所以．
故在上的值域为．
考点三 幂函数图象的判断及应用
1．已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（ ）
A．－2B．1C．－2或1D．－1或2
【答案】A
【详解】因为为幂函数，所以，
即，解得或.
当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意；
当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.
综上，.
故选：A.
2．如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取四个值，则相对应的曲线的n值依次为（ ）
A．2，B．，2C．，2D．，2
【答案】A
【详解】可在直线的右侧作一条垂直于x轴的直线，如．观察直线与各图象的交点，交点越高，其幂函数的n值越大．
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，的图象如图所示，又知为偶函数，所以图象关于轴对称．
4．幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ）
A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤
【答案】D
【详解】取得，故在第⑤卦限；再取得，故在第①卦限．
5．若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．以上说法都不正确
【答案】D
【详解】
因为，由得；得；得.
则.
因为，所以是关于的减函数.
因为，所以，则.
故以上选项都不对.
故选：D.
考点四 幂函数的单调性
1．下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是；
对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是；
对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是；
对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是.
故选：A
2．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】对于A：令，定义域关于原点对称，，即为偶函数，
当时，在上单调递减，故A正确；
对于B：令，定义域关于原点对称，，即为奇函数，故B错误；
对于C：的对称轴为在上单调递增，故C错误；
对于D：在上单调递增，故D错误，
故选:A．
3．已知，，，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数在R上单调递减，当时，，
则当时，恒成立，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
4．已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对于，函数在上为常数1，
在处连续，且在上为增函数，
因此等价于，对任意恒成立，
由①可知，，结合②可得，
而，
当时，即时，等号成立，
结合，可知在,上为增函数，可得，
所以，即实数的取值范围是．
故选：C．
5．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，可得，解得或，
所以函数的定义域为，
又，所以在上单调递减，在上单调递增，
又在上单调递增，
所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
6．已知函数，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为1
C．的最小值为1D．的最小值为0
【答案】B
【详解】因为，所以定义域为，
由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以当时，，
当时，.
故选：B.
考点五 幂函数的奇偶性
1．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以，
则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则.
故选：A.
2．若幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【详解】由幂函数的定义，得，解得或.
若，则，为奇函数，其图象关于原点对称，符合题意；
若，则，定义域为，且，
所以为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，舍去.
故选：D
3．已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ．
【答案】
【详解】由题设，可得，则或，
当，则为奇函数，满足题设；
当，则为偶函数，不满足题设.
所以.
故答案为：
4．已知幂函数是偶函数.
(1)求的解析式；
(2)设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为为幂函数，所以，
解得或，
当时，为非奇非偶函数，不符合题意；
当时，为偶函数，符合题意；
综上可得；
（2）由（1）可知当时，，
设，则，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，，
综上可得.
5．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围．
【答案】或
【详解】因为函数在上单调递减，所以，解得，又，所以．
因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数，故，
则原不等式可化为，
因为在，上单调递减，
所以或或，
解得或．
知识导图记忆
知识目标复核
1．幂函数的定义
2．五种常见幂函数的图象与性质
3．幂函数恒过定点
1．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】复合函数的单调性
【分析】由复合函数的单调性判断方法可得结果.
【详解】令，得或.
因为函数在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则的单调递减区间为.
故选：B.
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由幂函数的单调性比较大小
【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】由幂函数为上的增函数，
且，
所以，即，
故选：A
3．已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、函数对称性的应用
【分析】根据函数解析式确定求得函数的对称中心，由此得到，化简，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由，
可得，
，
所以，
即，所以函数的对称中心为，
又因为在直线上，所以，所以，
所以，
因为，所以，，
根据基本不等式有：，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
4．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】充要条件的证明、幂函数的单调性的其他应用
【分析】由幂函数性质分析充分性和必要性即可得解.
【详解】当时，幂函数单调递增，充分性成立；
幂函数在区间上单调递增，则，必要性成立.
综上，“”是“函数在区间上单调递增”的充要条件.
故选：C.
5．函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】函数图像的识别
【分析】借助幂函数的性质判断A，B，利用函数的定义域排除C，利用函数的奇偶性排除D即可.
【详解】因为，所以令，
易得的定义域为，故C错误，
而，故是偶函数，故D错误，
又，由幂函数性质得在第一象限内，图象的增长幅度越来越快，故A正确，B错误.
故选：A.
6．函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数图像的识别
【详解】因为，所以将函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度就可以得到的图象，所以D正确．
7．设幂函数的图象经过点．若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求幂函数的解析式、比较函数值的大小关系
【详解】解法1 设幂函数为，将代入得，所以在上为增函数，又，所以，即，故．
解法2（特殊值法） 同解法1知幂函数为，不妨设，，则有，，，，从而可得C正确．
8．若函数是幂函数，则实数的值是（ ）
A．1或B．C．2D．或2
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】根据函数是幂函数求参数值
【详解】由幂函数的定义知，解得或．
9．已知函数则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】分，，三种情况求解即可.
【详解】当，即，又可得，
当时，在上单调递增，
由，可得，解得，
当，即时，
由，可得，所以，
解得，
当，即，
由，得，所以，
因为，所以不等式无解，
综上所述：不等式的解集为.
故选：C.
10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由幂函数的单调性求参数
【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可.
【详解】因为在上单调递增，所以只需要
解得．
故选：D．
11．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性比较大小、函数奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值
【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果.
【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或，
∵对任意的且，满足，
∴在上为增函数，故，即，
∵，∴为上单调递增的奇函数，
∵，∴，
∴，故.
故选：B.
二、多选题
12．已知是定义在上且不恒为0的图象连续的函数，若，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．4是的一个周期D．
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的值域
【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断；对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断.
【详解】对于A，令，得，
因为不恒为0，所以，故A错误；
对于B，令，得，
得，则为偶函数，故B正确；
对于C，令，得，
则，
则，周期为4，故C正确；
对于D，令，得，，即，
令，得，即关于中心对称，
所以，即，所以，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略：
（1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题；
（2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期；
（3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解.
13．已知定义在上的函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【难度】0.4
【知识点】求函数值、函数周期性的应用
【分析】根据题意将全部转为，可得，再结合题意分析可得，进而可得，，，即可判断AC；结合周期性分析可得，即可判断B；根据题意分析可得，，结合周期性判断D.
【详解】因为，即，
又因为，则，
可得，即，则，又因为，则，
可得，则，可知4为的周期，
由，可得，
则，故A正确；
由，可得，且，
可得，则，即，故C正确；
因为，则，
且，则，
所以，可知2为的周期，故B正确；
由，可得，，即，
由，可得，即，
则，结合周期可得，
又因为，，
可得，结合周期可得，
所以，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三、填空题
14．“点在幂函数图象上”的充要条件是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】探求命题为真的充要条件、根据函数是幂函数求参数值
【分析】利用幂函数的定义确定，即得，由点在幂函数图象上即可推得等价条件.
【详解】是幂函数等价于，即．则得.
则点在幂函数图象上,当且仅当点满足方程，即．
故答案为：.
15．若幂函数，在上是严格减函数，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由幂函数的单调性求参数
【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.
【详解】由幂函数的性质可知：
当时，可知在上是严格增函数，
当时，可知在上是严格增函数，
当时，可知在上是严格减函数，
故答案为：
16．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幂函数求参数值
【详解】由条件得，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得．
17．已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数
【分析】利用幂函数的单调性得到，再利用奇函数和偶函数的定义逐个检验即可.
【详解】因为是幂函数且在区间上单调递增，所以，
当时，，其定义域为，关于原点对称，
且，此时是偶函数，符合题意，
当时，，定义域为，与题意不符，故排除，
当时，，其定义域为，关于原点对称，
且，此时是奇函数，不符合题意，故排除.
故答案为：.
18．已知幂函数，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值
【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案.
【详解】由幂函数定义可得，则，
则.
故答案为：
19．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式
【详解】因为幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，所以为正偶数，所以，则不等式，即．因为函数在上单调递减，所以或或解得或，所以满足的a的取值范围是．
四、解答题
20．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，且的最小值为0，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由幂函数的单调性求参数、求幂函数的解析式
【分析】（1）根据题意，得到，且，求得，即可得到的解析式；
（2）由（1）可得，令，的，结合二次函数的性质，分类讨论，求得，即可求解.
【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得，即，解得，
因为，可得，即，所以，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）可得，
令，因为，可得，则，
当时，即时，此时在区间上单调递增，
所以，解得；
当时，即时，在上单调递减，在单调递增，
所以，解得（舍去）；
当时，即时，此时在区间上单调递减，
所以，解得（舍去），
综上可得，实数的值为.
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
教材习题01
函数可以看作两个幂函数与的差，请通过函数图象讨论这个函数的函数值符号的变化情况和单调性．
解题方法
由题意可知，两个幂函数与的图象如图，

对于函数，定义域为，
当时，，当时，，当时，，
时，函数是增函数；
当时，，当时，，当时，，
时，函数是增函数；
【答案】见解析
教材习题02
比较和在上增长的快慢．
解题方法
解：如图所示，令，解得或，
即两个函数的图象交点为，
开始一路领先，但越来越慢；匀速前进；在处两者相等．
当时，可得，即一直有，而且前者与后者之比越来越大，
所以增长得更快．
【答案】见解析
教材习题03
设是幂函数，已知，求，．
解题方法
设幂函数．
由已知条件得．
故，，
于是，．
【答案】，