第10讲 幂函数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第10讲 幂函数

       【学习目标】

通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．

        【基础知识】

一、幂函数的概念

1.一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，α是常数．

2．幂函数的特征

(1)xα的系数是1；

(2)xα的底数x是自变量；

(3)xα的指数α为常数．

只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．

二、一些常用幂函数的图象

同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)．

三、幂函数的性质

1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

2.如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

3.如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；

4.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

【考点剖析】

考点一：幂函数的定义

例1．（2021-2022学年河北省沧州市高一上学期期末）下列函数是幂函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选C.

考点二：幂函数的图象及应用

例2．（2021-2022学年河北省博野中学高一上学期开学考试）函数和的图象如图所示，有下列四个说法：

①如果，那么；

②如果，那么；

③如果，那么；

④如果时，那么.

其中正确的是（          ）.

A．①④ B．① C．①② D．①③④

【答案】A

【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，

所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，所以，若，可得，所以②错误；

由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；

当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，

所以，若时，可得，所以④正确.故选A．

考点三：利用幂函数单调性比较大小

例3．比较下列各题中两个值的大小：

（1）和       （2）和.

【解析】（1）考察幂函数，因为其在区间上是增函数，而且，所以.

（2）考察幂函数，因为其在区间上是减函数，而且，所以.

考点四：幂函数图象与性质的综合应用

例4．（多选）（2021-2022学年广东省普宁市高一上学期期末）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（       ）

A．为偶函数 B．为增函数

C．若，则 D．若，则

【答案】BCD

【解析】将点代入函数得：，则，

所以，

∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；

函数在定义域上为增函数，所以B正确；

当时，，即，所以C正确；

若时，

=

=.

即成立，所以D正确.

故选BCD.

        【真题演练】

1.（2021-2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期素质检测）幂函数在上单调递减，则实数m的值为（       ）

A． B．3 C．或3 D．

2.（2021-2022学年四川省南充高级中学高一上学期期中）已知幂函数（a是常数），则（       ）

A．的定义域是R B．在单调递增

C．过定点 D．可能过定点

3.（2020-2021学年上海市晋元高级中学高一上学期期中）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

4. （多选）（2021-2022学年广东省深圳市光明区高一上学期期末）已知幂函数，则（       ）

A． B．定义域为

C． D．

5.（多选）（2021-2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高一上学期期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有（       ）

A． B．

C． D．

6. （2021-2022学年甘肃省庆阳市宁县高一上学期期末）已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．

7.（2021-2022学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一下学期期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．

8.（2021-2022学年广西十八校高一10月联考）已知幂函数的图象经过点．

(1)求函数的解析式；

(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．

       【过关检测】

1. （2021-2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中）已知点（a，2）在幂函数的图象上，则函数f（x）的解析式是（       ）

A． B．

C． D．

2.下列命题中正确的是（       ）

A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）

B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增

C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限

D．幂函数的图象不可能是直线

3.（2021-2022学年】河北省石家庄市藁城区第一中学高一上学期月考）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（       ）

A．奇函数 B．偶函数

C．在单调递减 D．定义域为

4.（2021-2022学年河南省郑州市中牟县高一上学期期中）若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（       ）

A．为奇函数

B．若，则

C．为偶函数

D．若，则

5.（多选）下列关于幂函数的性质说法正确的有（       ）

A．当时，函数在其定义域上递减

B．当时，函数图象是一条直线

C．当时，函数是偶函数

D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为

6. （2021-2022学年福建省漳州市高一上学期期末教学质量检测）已知幕函数的图象经过点，则（       ）

A．函数是偶函数

B．函数是增函数

C．函数的图象一定经过点

D．函数的最小值为0

7. （2021-2022学年四川省德阳市什邡市什邡中学高一下学期月考）已知点在幂函数的图象上，则=_______．

8. （2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．

①；②；③任取，，且．

9.已知幂函数为偶函数．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．

10.已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.

（1）求m值.

（2）若满足，求a的取值范围.