第10讲 从算式到方程 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）（原卷版）

这是一份第10讲 从算式到方程 2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）（原卷版），共9页。
1.了解方程、一元一次方程、方程的解；
2.会将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决问题；
3.理解等式的概念，掌握等式的性质，并会熟练运用其性质解决相关问题.
1 方程的概念
含有未知数的等式是方程.
2 一元一次方程的概念
只含有一个未知数且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程.
一般形式：ax+b=0(a≠0).
3 一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
4 等式的性质
(1)等式两边都加上或减去同一数或整式，所得结果仍是等式；
(2)等式两边都乘或除以同一数不等于0的数，所得结果仍是等式.
【题型一】 方程和一元一次方程的概念
相关知识点讲解
1 方程的概念
含有未知数的等式是方程.
注意：方程必须满足：①等式，②化简后含有未知数；
Eg：1x=2，x2-x+1=0，x+2y=2是方程，2+5=7，x+2y不是方程。
2 一元一次方程的概念
只含有一个未知数且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程.
一般形式：ax+b=0(a≠0).
注意：
一元一次方程要满足：①等式两边都是整式，②只含有一个未知数，③未知数的次数是1.
Eg：1x+3=x，x+2y=2，x2-x+1=0不是一元一次方程.
2x-1=3是一元一次方程.
【典题1】 下列四个式子中，是方程的是( )
A．3+2=5B．x-1=2C．2x-10B．3+5=8C．x2+2x+1D．x+3=12
2.下列是一元一次方程的是( )
A．x-3=0B．x2-2x=0
C．x+y=1D．x-2
3.下列方程：2x=3y，7x+5=6x-1，x2+12x-1=1，1x-2=x，x3=2x-1，3y+2=2y中，是一元一次方程有( )个
A．1B．2C．3D．4
4.已知3x2m-3-1=0是关于x的一元一次方程，那么m的值为( )
A．0B．1C．2D．12
【题型二】 一元一次方程的解
相关知识点讲解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
Eg：x=1是方程2x-1=1的解，x=0不是方程2x-1=1的解.
【典题1】 下列方程中，解为x=2的方程是( )
A．-x+6=2xB．4-2x-1=1C．3x-2=3D．12x+1=0
变式练习
1. 下列方程中，解是x=2的方程是( )
A．3x+6=0B．2x-4=0C．12x=-4D．2x+4=0
2.下列方程中，解为x=4的是( )
A．x-1=4B．4x=1
C．4x-1=3x+3D．2x-1=1
3.整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式mx+2n对应的值，则关于x的方程-2mx-4n=4的解为( )
A．x=-3B．x=-2C．x=0D．x=1
4.若x=2是方程ax2-bx-1=0的解，则代数式2a-b+1的值为( )
A．-12B．0C．12D．32
5.关于x的一元一次方程2xa+2+m=4的解为x=1，则am的值为 ．
【题型三】 等式的性质
相关知识点讲解
(1)等式两边都加上或减去同一数或整式，所得结果仍是等式；
即如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
Eg：x+1=3⇒x+1-1=3-1⇒x=2；
(2)等式两边都乘或除以同一数不等于0的数，所得结果仍是等式.
即如果a=b，那么ac=bc，ac=bc(c≠0).
Eg：2x=4⇒2x2=42⇒x=2；x3=2⇒3×x3=3×2⇒x=6.
【典题1】 下列说法不正确的是( )
A．若m=n，则m-3p=n-3pB．若m=n，则m2=n2
C．若mp=np，则m=nD．若mp=np，则m=n
【典题2】下列等式的变形正确的是( )
A．由7+m=2得m=2+7B．由7x=-2得x=-72
C．由2n+5=-3得2n+5=-3D．由3a=9b得a=3b
【典题3】已知等式3y+4=2x-2，依据等式的性质进行变形，可以得到的是( )
A．2x=3y-6B．3y=2x+6C．x=3y2+3D．y=23x-3
【典题4】在将等式3a-2b=2a-2b变形时，小明的变形过程如下：
因为3a-2b=2a-2b，所以3a=2a，(第一步)
所以3=2．(第二步)
(1)上述过程中，第一步的依据是什么？
(2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正．
变式练习
1. 根据等式的性质，下列变形错误的是( )
A．若a=b，则ac=bcB．若a=b，则ac=bc
C．若a=b，则a+3=b+3D．若a=b，则a-3=b-3
2. 下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是( )
A．若m=n，则m+n=2nB．若m=n，则mn=n2
C．若m=n，则mn=1D．若m=n，则mn2+1=nn2+1
3.已知3m=9n，则m，n满足的关系是( )
A． m=2nB． m=3n C．2m=n D．3m=n
4.在下列方程的变形中，正确的是( )
A．由3+x=-4，得x=-4-3
B．由13x=4，得 x=43
C．由3x+4=2x-1，得3x-2x=-1+4
D．由15x=0得x=5
5.下列利用等式的性质变形正确的是( )
A．如果ma=mb，那么a=b
B．如果a-x=b-x，那么a-b=0
C．如果a2=6，那么a=3
D．如果a+b-c=0，那么a=b-c
6. 若x=y，根据等式的性质，下列变形正确的是( )
A．15x=-15yB．-x3=-y3C．xy=1D．x-3=y+3
7.已知12a+b=1，下列变形正确的是( )
A．a+2b=2B．2a-b=2C．2a+b=1D．a-2b=1
8.若实数m，n满足2m-3n=0，且mn≠0，则mn-nm的值为( )
A．-136B．-56C．136D．56
9.把方程3x-2y-1=0改写成用含x的式子表示y的形式为( )
A．x=13(1+2y)B．x=3(1+2y)C．y=12(1+3x)D．y=12(3x-1)
10.小明学习了“等式的基本性质”后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程4x-2=3x-2，等式的两边同时加上2，得4x=3x，然后等式的两边再同时除以x，得4=3.”
(1)请你想一想，小明的说法对吗？为什么？
(2)你能用等式的性质求出方程4x-2=3x-2的解吗？


【A组---基础题】
1.下列方程中，一元一次方程的是( )
A．x+1x=2B．x=0C．x+1=x2D．2y+1=x
2.x=3是下列哪个方程的解( )
A．-x=2-3xB．12x=-x+3C．13x+1=-2x+8D．-4x+2=3x
3.下列等式变形正确的是( )
A．若a=b，则a-3=3-bB．若x=y，则xa=ya
C．若ba=da，则b=dD．若a=b，则ac=bc
4.运用等式的性质将等式x+2=y-3变形，可得y-x=( )
A．-5B．1C．5D．-1
5.若关于x的方程2xn+1+3=0是一元一次方程，则n的值是 ．
6.如果x=-2是关于x的方程ax+b=5-2x的解，那么3-4a+2b= ．
7.将等式5a-3b=4a-3b变形，过程如下：因为5a-3b=4a-3b，
所以5a=4a，(第一步)
所以5=4.(第二步)
上述过程中，第一步的依据是什么？第二步得出的结论是错误的，其原因是什么？
8.已知k-2xk-1+5k+3m=0是关于x的一元一次方程．
(1)求k的值；(2)若方程的解为x=-12，求此时m的值．
9.认真思考，回答下列问题：
(1)由2a+3=2b-3能不能得到a=b？为什么？
(2)由10a=12能不能得到5a=6？为什么？
(3)由5ab=6b能不能得到5a=6？为什么？
(4)由(a-2)x=b+2能不能得到x=b+2a-2？为什么？反之，能不能由x=b+2a-2得到(a-2)x=b+2？为什么？
(5)由(a2+1)y=-3，能不能得到y=-3a2+1？为什么？
【B组---提高题】
1.如果a，b为定值，关于x的一次方程2kx+a3-x-bk6=1，无论k为何值时，它的解总是1，则4a+b= ．
2.已知方程(a＋1)x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为 .
3.已知a，b为定值，x的方程kx-a3=1-2x+bk2，无论k为何值，它的解总是2．则ab= ．x
-3
-2
-1
0
1
2
mx+2n
4
2
0
-2
-4
-6