人教B版高中数学必修4 第九章《解三角形》综合测评卷 含答案

这是一份人教B版高中数学必修4 第九章《解三角形》综合测评卷 含答案，共15页。
《解三角形》综合测评 一、单项选择题 1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=，c=2，，则b= （ ） A. B. C.2 D.3 2.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3.已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦值是方程的根，则第三边长是（ ） A. B. C. D. 4.在一幢20 m高的楼的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么塔高是（ ） A. m B. m C. D. 5.在△ABC中，a=1，∠A=，∠B=，则c=（ ） A. B. C. D. 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a+b+10c=2（sin A+sin B+10sin C），A=，则a等于（ ） A. B. C.4 D.不确定 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若，则△ABC的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8.△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（ ） A. B. C. D. 9.如图，是同一平面内的三条平行直线，与之间的距离是1，与之间的距离是2，正角形ABC的三顶点分别在上，则△ABC的边长是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 10.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B=，，则（ ） A.2 B.3 C. D. 11.下列命题中，错误的是（ ） A.在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 B.在△ABC中，若 acos = bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形 C.在△ABC中，若，则△ABC必是等边三角形 D.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则△ABC为锐角三角形 12.下列三角形中，只有一个解的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，△ABC的周长为5，则b的长为_____. 14.若三角形一边长为14，它所对的角为，另两边之比为8：5，则此三角形的面积为_____. 15.如图，已知梯形ABCD中，CD=2，AC=，∠BAD=，则梯形的高为____. 16.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=6，4sin B=5sin C，有以下四个命题：①满足条件的△ABC不可能是直角三角形；②当A=2C时，△ABC的周长为15；③当A=2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为；④△ABC的面积的最大值为40.其中真命题有__________（填序号）. 四、解答题 17.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，且 （1）求角A的大小； （2）若b+c=5，且△ABC的面积为，求a的值. 18. 如图所示，缉私艇在A处发现一走私船在方位角且距离其12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角的方向逃窜，缉私艇立即以14海里/小时的速度追击，求缉私艇追上走私船所需要的时间. 19. 已知△ABC的三个顶点都在单位圆上，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos A=ccos B+bcos C. （1）求cos A的值； （2）若，求△ABC的面积. 20.已知函数f（x）= msin x+（m>0）的最大值为2. （1）求函数f（x）在上的单调递减区间； （2）若△ABC中, ，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且∠C=，c=3，求△ABC的面积. 21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a). （1）求B； （2）若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点， ，求的值. 22.某市发生水灾，国家抗震救灾指挥部紧急从A处调飞机去某地运救灾物资到受灾的B处.现有以下两个方案供选择：方案一：飞到位于A处正东方向上的C市调运救灾物资，再飞到B处；方案二：飞到位于A处正南方向上的D市调运救灾物资，再飞到B处. 已知AD=500 km，AB=800 km，∠C=2∠DAB=. 问：选择哪种方案，能使得飞行距离最短？（参考数据：） 参考答案 一、单项选择题 1. 答案：D 解析：△ABC中，根据余弦定理可得，整理得，解得b=3或（舍去），b=3. 2. 答案：D 解析：由题意，设底边长为a，则腰长为2a，设顶角为θ，则由余弦定理的变形得. 3. 答案：B 解析：设长为4，5的两边的夹角为θ，由方程得或（舍去），所以cos θ=.由余弦定理得第三边长为. 4. 答案：B 解析：如图所示，设塔高为h m，由已知，得四边形ABCD为正方形. =CD=20 m，.在△BDE中，∠BDE=，∠E=.由正弦定理，得，. 5. 答案：A 解析：易知.由正弦定理得. 6. 答案：A 解析：由正弦定理的变形，得a=2Rsin A，，（R为△ABC的外接圆的半径） 7. 答案：C 解析：在△ABC中，， .，，， 解得b=c. △ABC的形状是等边三角形. 8. 答案：D 解析：根据正弦定理，得， ，.△ABC的周长为 9. 答案：D 解析：设AB=a，AC与的交点为D，则由已知得AD=.在△ABD中，由余弦定理的变形知① 又，所以BD=，代人①式，得（负值舍 去）. 二、多项选择题 10. 答案：AC 解析：，① 由余弦定理，可得 ，② 联立①②，可得，即，，解得或.故选AC. 11. 答案：BD 解析：对于A，△ABC是锐角三角形，A+B，， ，即cos Bc，有两个解. 三、填空题 13. 答案：2 解析：由正弦定理及得c =2a，因为 ，所以b=2a.又a+b+c=5，所以a=1，所以b=2. 14. 答案： 解析：设另两边长分别为8x和5x（x>0）， 则根据余弦定理的变形，得，解得x=2，所以另 两边长分别为16和10，所以此三角形的面积S== 15. 答案： 解析：解法一：，.， ， .. .. 解法二：在△ACD中，，. 解得AD=3（AD=舍去）. . 16. 答案：②③ 解析：由4sin B=5sin C，得4b=5c，对于①，设b=5t，c=4t（t>0），由，可得t=2，满足条件的△ABC可能是直角三角形，故①是假命题. 对于②，由A=2C，可得B=，由4b=5c，可得b，由， sin C≠0，可得，解得cos C=（负值舍去），， ，利用可得c=4，b=5，则a+b+c=15，故②是真命题.对于③，由②得.设△ABC的内切圆半径为R，则，故③是真命题.对于④，， ，当且仅当， 即b=10，c=8时取等号，此时， ，的最大值为24.故④是假命题. 四、解答题 17. 答案：见解析 解析：（1）由正弦定理得，， 即. （2）由可得.，由余弦定理知，. 18. 答案：见解析 解析：设缉私艇追上走私船所需时间为t小时，且缉私艇在C处追上走私船，如图，则BC=10t，AC=14t， 在△ABC中，，根据余弦定理得 ，解得（舍去）.所以缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时. 19. 答案：见解析 解析：，， .， .，，. （2）由（1）知cos A=，， △ABC的三个顶点都在单位圆上，R=1（R为△ABC外接圆的半径）， .由余弦定理得， =1. . 20. 答案：见解析 解析: （1）因为f（x）的最大值为，所以=2，解得m或m. 又m>0，所以，所以f（x）=.令 ，得.所以f（x）在上的单调递减区间为. （2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得2R=，即R= 化简，得.由正弦定理，得，.① 由余弦定理，得，即② 将①式代入②，得=0，解得或（舍去），故 . 21. 答案：见解析 解析：（1）由正弦定理得， 又. （2）M，N是线段BC的两个三等分点，设BM=x，BN=2x，AN=.在△ABN中，由余弦定理得，解得x=2或x=（舍去），，在△ABM中，AM=. 22. 答案：见解析 解析：方案一：在△ABC中，易知∠CAB=-∠DAB=，∠C=，AB=800，所以△ABC为等腰三角形，由得，所以. 方案二：在△ADB中，∠DAB=，AD=500，AB=800，所以=，即BD=700，所以.因为1200 km>≈923.2 km，所以选择方案一能使得飞行距离最短.