人教B版高中数学必修4 第九章《解三角形》单元测试题（无答案）

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《解三角形》单元测试（一）一、选择题1.在△ABC中,已知a=4,b=6,B=60°,则sinA的值为( )A.B.C.D.2.在△ABC中,若B=120°,则a2+ac+c2-b2的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定3.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )A.B.8-4C.1D.4.若将直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定5.在△ABC中,若sinA>sinB,则A与B的大小关系为( )A.ABD.A,B的大小关系不能确定6.已知两座灯塔A,B与C地的距离都是10km,灯塔A在C的北偏西20°方向,灯塔B在C的南偏西25°方向,则灯塔A与灯塔B之间的距离为( )A.10kmB.10kmC.15kmD.10km7.一船自西向东匀速航行,上午7时到达灯塔A的南偏西75°方向且距灯塔80nmile的M处,若这只船的航行速度为10nmile/h,则到达这座灯塔东南方向的N处时是上午( )A.8时B.9时C.10时D.11时8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其面积S=a2-(b-c)2,则tan=( )A.B.C.D.9.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,a=2,b=2,且1+2cos(B+C)=0,则BC边上的高等于( )A.2(+1)B.2(-1)C.+1D.-110.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinAcosC+csinAcosA=c,D为AC边上一点.若c=2b=4,S△BCD=,则DC的长为( )A.B.C.D.二、填空题11.已知在△ABC中,==,则C的度数为____________.12.如下图所示,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为_______.13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为a,则当+取得最大值时,角A的值为____________.三、解答题14.解答下列各题:(1)在△ABC中,已知C=45°,A=60°,b=2,求此三角形最小边的长及a与B的值;(2)在△ABC中,已知A=30°,B=120°,b=5,求C及a与c的值.15.某小区设计的四边形花圃如图所示,由于A,C之间有水池,花圃边缘点P设计在△ABC内,已知AB=CP=2m,BC=3m,∠P与∠B互补,记∠B=α.(1)试写出AP关于α的解析式;(2)求花圃面积的最大值,并写出此时α的值.答案解析1.答案:A解析:本题考查正弦定理的应用,因为=,所以=,解得sinA=.2.答案:C解析:本题考查余弦定理的应用,根据余弦定理得cos120°==-,即a2+c2-b2=-ac.故a2+ac+c2-b2=0.3.答案:A解析:本题考查余弦定理的综合应用,首先由已知条件构建出边之间的关系,再与余弦定理公式相结合,得出ab的值,由(a+b)2-c2=4得(a2+b2-c2)+2ab=4.①∵a2+b2-c2=2abcosC,∴方程①可化为2ab(1+cosC)=4,因此,ab=.又∵C=60°,∴ab=.4.答案:A解析:本题考查余弦定理,首先设增加的长度为x,原三角形的三边长分别为a,b,c,且c2=a2+b2,a+b>c,此时c+x为最大边,其对应的角最大,由余弦定理知,通过判断角的余弦的正负,从而知角的大小,设三边增加的长度均为x,原三角形的三边长分别为a,b,c,且c2=a2+b2,a+b>c,新的三角形的三边长分别为a+x,b+x,c+x,显然c+x为最大边,其对应的角最大,而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0,则这个角为锐角,那么新的三角形为锐角三角形.5.答案:C解析:本题考查正弦定理的应用.由正弦定理及sinA>sinB⇒a>b⇒A>B.6.答案:D解析:本题考查余弦定理的应用,因为灯塔A在C的北偏西20°方向,灯塔B在C的南偏西25°方向,所以∠ACB=135°,由余弦定理得AB2=102+102-2×10×10×cos135°=100(2+),解得AB=10.7.答案:D解析:本题考查正弦定理的应用,由正弦定理算出MN的长度,再计算时间,如图,画出灯塔A与船航行的位置,则∠MAN=75°+45°=120°,MA=80,∠AMN=90°-75°=15°,∠ANM=45°.由正弦定理,得=,则MN==40,∴船从M处到N处需要的时间是=4(h),即到达这座灯塔东南方向的N处时是上午11时.8.答案:C解析:通过整体代换得出关于角A的式子,由恒等变换得出结论,∵b2+c2-a2=2bccosA,S=bcsinA,论S=a2-(b-c)2=-(b2+c2-a2)+2bc,∴bcsinA=2bc(1-cosA)即有=，则==tan=.9.答案:C解析:本题考查正弦定理和余弦定理的应用,由已知条件得出角A,根据余弦定理算出c边,利用等面积法算出BC边上高的大小,因为1+2cos(B+C)=0,所以cosA=,即A=60°,所以由余弦定理可求得a2=b2+c2-2bc·cosA,即12=8+c2-2×2×c×,c=+.设BC边上的高为h,则△ABC的面积S=bcsinA=ah,所以h=+1.10.答案:B解析:本题考查正弦定理的应用,由正弦定理将已知条件变形,得出sinA的大小,代入三角形面积公式算出AC的长度,对于△ABC,△BCD,它们分别是以AC,CD为底,而点B分别到两三角形底边的高相同,通过两个三角形的面积比与对应的边AC,CD的比相同,得出结论.∵asinAcosC+csinAcosA=c,∴sinAsinAcosC+sinCsinAcosA=sinC,即sinAsinB=sinC.∵c=2b,∴sinC=2sinB,∴sinA=,∴S△ABC=bcsinA=.∵AC=2,S△BCD=,=,∴CD=.11.答案:120°解析:本题考查正弦定理和余弦定理的应用,由==及==,得a:b:c=7:8:13.设a=7k,b=8k,c=13k(k>0),则有cosC==-.又∵0°