2024-2025学年专题05一元二次方程及其应用[25题][上海专用]中考1年模拟数学真题试卷

这是一份2024-2025学年专题05一元二次方程及其应用[25题][上海专用]中考1年模拟数学真题试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题 05
一元二次方程及其应用（25 题）
（2024·上海·中考真题）
1 ．以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A ．x2 - 6x = 0 B ． x2 - 9 = 0
C ．x2 - 6x + 6 = 0 D ．x2 - 6x + 9 = 0 （2023·上海·中考真题）
2 ．在分式方程 中，设 ，可得到关于 y 的整式方程为( )
A ．y2 + 5y + 5 = 0 B ．y2 - 5y + 5 = 0 C ．y2 + 5y +1 = 0 D ．y2 - 5y +1 = 0
（2025·上海·中考真题）
3 ．已知关于x 的一元二次方程2x2 + x - m = 0没有实数根，则m 的取值范围是 ． （2023·上海·中考真题）
4 ．已知关于 x 的一元二次方程ax2 + 6x +1 = 0 没有实数根，那么 a 的取值范围是 ． （2022·上海·中考真题）
5 ．某公司 5 月份的营业额为 25 万，7 月份的营业额为 36 万，已知 6 、7 月的增长率相同， 则增长率为 ．
（2022·上海·中考真题）
6 ．已知 x2- 2 x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．
（2021·上海·中考真题）
7 ．若一元二次方程2x2 - 3x + c = 0 无解，则 c 的取值范围为 ． （2024·上海·中考真题）
8 ．解方程组
一、单选题
（2025·上海嘉定·二模）
9 ．下列关于x 的方程一定有实数解的是 ( ).
A ．x2 - x + 2 = 0 B ．x2 + 1 = 0
C ． D ．x2 - mx -1 = 0 （ m 为常数）
（2025·上海松江·二模）
10．某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的 400 元经过两次降价后 变为 225 元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x ，可列方程为 ( )
\l "bkmark1" A ．400 (1 - x2 ) = 225 B ．225 (1+ x )2 = 400
\l "bkmark2" C ．400 (1- x )2 = 225 D ．400 (1- 2x) = 225
二、填空题
（2025·上海青浦·二模）
11 ．一块矩形地的面积为864 平方步，已知长与宽的和为60 步，问长比宽多几 步？设矩形的长为x 步，则可列出方程为 ．
（2025·上海奉贤·三模）
12 ．如果一元二次方程x2 + 6x - m = 0 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围 是 ．
（2025·上海奉贤·二模）
13 ．如果关于x 的方程x2 - x + m = 0 有实数根，那么m 的取值范围是 ． （2025·上海闵行·二模）
14 ．已知关于x 的方程x2 - 3x - m = 0 有两个相等的实数根，那么m 的值是 ． （2025·上海青浦·二模）
15 ．某工厂今年三月份的产值是 90 万元，调整生产线后，计划五月份的产值要 达到 120 万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为x ，那么依题意可 列方程为 ．
（2025·上海宝山·二模）
16 ．如果x = 1 是一元二次方程x2 + x + a = 0 的解，那么a = ． （2025·上海浦东新·二模）
17 ．如果关于x 的方程x2 - 6x + m = 0 有实数根，那么实数m 的取值范围是 ． （2025·上海·二模）
18 ．如果关于 x 的方程x2 + 3x + a = 0 有两个相等的实数根，那么 a 的值是 ． （2025·上海徐汇·二模）
19．如果关于x 的方程x2 - x - m = 0 有两个实数根，那么m 的取值范围是 ． （2025·上海金山·二模）
20 ．利用根的判别式判断方程2x2 - mx - 2 = 0 （ m 为常数）的根的情况是 ． （2025·上海普陀·二模）
21．关于x 的一元二次方程(x -1)2 = a 有两个相等的实数根，那么a 的值等于 ．
（2025·上海·二模）
22 ．如果关于x 的方程x2 + 3x - m = 0 有实数根，那么m 的取值范围是 ． （2025·上海杨浦·二模）
23 ．已知关于 x 的方程x2 - ax - 2 = 0 ，判断该方程的根的情况是 ． （2025·上海青浦·一模）
24 ．某公司 10 月份产值是 120 万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均 为x (x > 0) ，如果 12 月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式为 ．
三、解答题
（2025·上海嘉定·二模）
25 ．已知分式方程 甲同学的解答过程如下：
(1)甲同学的解答过程是从第 步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：
_______
(2)请写出正确且完整的解答过程．
解：（第①步）去分母，得：x + 2 - 4 = 1， （第②步）解这个整式方程，得：x = 3 ， （第③步）检验：当x = 3 时，x2 - 4 ≠ 0 ， （第④步）所以，原方程的根是x = 3 ．
1 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二 次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 Δ = b2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等实数根；当
Δ = b2 - 4ac = 0时，方程的两个相等的实数根；当 Δ = b2 - 4ac < 0时，方程没有实数根．分 别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】解： A ．Δ = (-6)2 - 4× 1 × 0 = 36 > 0 ，该方程有两个不相等实数根，故 A 选项不符 合题意；
B ． Δ = 02 - 4× 1 × (-9) = 36 > 0 ，该方程有两个不相等实数根，故 B 选项不符合题意；
C ． Δ = (-6)2 - 4× 1 × 6 = 12 > 0 ，该方程有两个不相等实数根，故 C 选项不符合题意；
D ． Δ = (-6)2 - 4× 1 × 9 = 0 ，该方程有两个相等实数根，故 D 选项不符合题意； 故选：D．
2 ．D
设 则原方程可变形为 ，再化为整式方程即可得出答案.
解：设 则原方程可变形为 即y2 - 5y +1 = 0 ；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
3 ．
【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到 Δ < 0 ，进行求解即可．熟练掌 握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得： Δ = 12 - 4× 2 . (-m) < 0 ， 解得：
故答案为
4 ． a > 9
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程ax2 + 6x +1 = 0 没有实数根，
: Δ = b2 - 4ac = 36 - 4a < 0 ， 解得：a > 9 ；
故答案为：a > 9 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题 的关键．
5 ．20%
【分析】根据该公司 6、7 两个月营业额的月均增长率为 x，结合 5 月、7 月营业额即可得出 关于 x 的一元二次方程，解此方程即可得解．
【详解】解：设该公司 6 、7 两个月营业额的月均增长率为 x，根据题意得， 25(1+ x)2 = 36
解得，x1 = 0.2, x2 = -2.2 （舍去） 所以，增长率为 20%
故答案为：20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于 x 的一元二次 方程是解题的关键．
6 ．m0，即(-23 )2-4m>0，求解即可． 解 有两个不相等的实数根，
:Δ=(-2 )2-4m>0 解得：m ．
故答案为：c > ．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方 程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△ 0 ， :方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故选：D．
10 ．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以列出相 应的方程．
【详解】解：由题意可得，
400(1- x)2 = 225 ， 故选：C．
11 ．x (60 - x) = 864
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为 x 步，则宽为(60 - x)步，根 据矩形田地的面积为 864 平方步，即可得出关于 x 的一元二次方程．
【详解】解：设矩形田地的长为 x 步，则宽为(60 - x)步， 依题意得：x (60 - x) = 864 ，
故答案为：x (60 - x) = 864 ．
12 ．m > -9
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式
Δ = b2 - 4ac > 0，可得出62 - 4× 1 × (-m) > 0 ，解之即可得出m 的取值范围．解题的关键是掌 握：式子 Δ = b2 - 4ac 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的判别式， Δ > 0 Û 方程有两 个不等的实数根； Δ = 0 Û 方程有两个相等的实数根； Δ < 0 Û 方程无实数根．
【详解】解：∵一元二次方程x2 + 6x - m = 0 有两个不相等的实数根， :Δ = 62 - 4× 1 × (-m) > 0 ，
解得：m > -9 ，
: m 的取值范围是m > -9 ．
故答案为：m > -9 ．
13 ．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的
关键．根据方程有实根，可得 Δ = (-1)2 - 4× 1 × m ≥ 0 ，解不等式即可． 【详解】解：Q 关于x 的方程x2 - x + m = 0 有实数根，
:Δ = (-1)2 - 4× 1 × m ≥ 0 ，
解得 ．
故答案为：
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式 Δ = b2 - 4ac 的关系．若一元二次方程 有两等根，则根的判别式 Δ = b2 - 4ac = 0，建立关于 m 的方程，求出 m 的取值．
【详解】解：:关于 x 的方程x2 - 3x - m = 0 有两个相等的实数根， :Δ= Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4× (-m) = 0 ，
故答案为： ．
15 ．90 (1+ x)2 = 120
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设 这个增长率为x ，那么四月份产值为90(1+ x) ，五月份产值为90(1+ x)2 ，然后根据五月份的 产值要达到 120 万元，列出方程即可．
【详解】解：设这个增长率为x ，那么有
90 (1+ x)2 = 120
故答案为：90 (1+ x)2 = 120 ．
16 ．-2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把x =1 代入x2 + x + a = 0 ，进而可求出 a 的 值．
【详解】解：把 x =1 代入x2 + x + a = 0 ， 得：1+1 + a = 0 ，
解得：a = -2 ，
故答案为：-2
17 ．m ≤ 9
【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根据一元二次方程根的情况 求参数的方法．
方程x2 - 6x + m = 0 有实数根，即根的判别式 Δ =(-6)2 - 4m ≥ 0 ． 【详解】解：Q方程x2 - 6x + m = 0 有实数根，
:Δ = (-6)2 - 4m ≥ 0 ， :m ≤ 9 ．
故答案为：m ≤ 9 ．
18 ．
【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到 Δ = 0 ，列出 方程求解即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得： Δ = 32 - 4a = 0 ， 解得：
故答案为： ．
19 ．
【分析】本题考查了二次方程根的判别式， 解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解答本 题的关键．
根据判别式的意义得到 Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4× 1 × (-m) = 1+ 4m ≥ 0 ，然后解关于m 的不等式 即可．
【详解】解：Q 关于x 的方程x2 - x - m = 0 有两个实数根，
:Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4× 1 × (-m) = 1+ 4m ≥ 0 ，
解得：
故答案为 ．
20 ．有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：因为一元二次方程为2x2 - mx - 2 = 0 （ m 为常数）， 则 Δ = (-m)2 - 4× 2 × (-2) = m2 +16 > 0 ，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
21 ．0
【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确一元二 次方程有两个相等的实数根时判别式 △= b2 - 4ac = 0 ．
根据 △= b2 - 4ac = 0 ，计算求解即可．
【详解】解：原方程可化为，x2 - 2x +1- a = 0
由题意知 △= (-2)2 - 4× 1 × (1- a ) = 0
解得a = 0
故答案为：0 ．
22 ．
【分析】本题考查了一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，a，b，c 为常数)的根的判别式
Δ = b2 - 4ac ，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当 Δ > 0 时，方程有两个 不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根．对 于一元二次方程x2 + 3x - m = 0 有实数根，可得 Δ ≥ 0 ，得9 + 4m ≥ 0 ，即可求解．
【详解】解：在方程 x2 + 3x - m = 0 中，a = 1 ，b = 3 ，c = -m ， 则Δ = 32 - 4× 1 × (-m) = 9 + 4m ．
因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0 ， 即9 + 4m ≥ 0 ，
解不等式4m ≥ -9 ，
得 ．
故答案为 ．
23 ．有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 根的判别式 Δ=b2 - 4ac 与根的关系， 当 Δ > 0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，一元二次方程有两个相等的 实数根；当 Δ < 0 时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式判断即可．
【详解】解：∵ x2 - ax - 2 = 0 ，
: Δ = (-a )2 - 4× 1 × (-2) = a2 + 8 > 0 ， :方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
24 ．y = 120 (1+ x)2
【分析】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式， 解答本题的关键是明确题意，列出相 应的函数关系式，这是一道典型的增长率问题．根据某公司 10 月份的产值是 120 万元，如 果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x(x >0) ，12 月份的产值为y 万元，可以 得到y 与x 的函数关系式，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
y = 120(1 + x)2 ,
故答案为：y = 120(1 + x)2 ．
25 ．(1)①,理由见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤 是解题的关键．
（1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可；
（2）利用分式方程求解的步骤求解即可．
【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的 1 没有 乘x2 - 4 ；
（2）解：去分母，得：x + 2 - 4 = x2 - 4 ，
整理，得：x2 - x - 2 = 0 ， 解得：x1 = -1，x2 = 2 ，
检验：当x1 = -1 时，x2 - 4 ≠ 0 ；当 x2 = 2 时，x2 - 4 = 0 ，
可知x2 = 2 是增根，舍去.
所以，原方程的根是x = -1 ．