2024-2025学年山东省济宁市七年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年山东省济宁市七年级下学期期末考试数学检测试卷，共36页。
2024—2025 学年度第二学期质量检测
七年级数学试题
本试卷共 8 页．满分 120 分．考试时长 120 分钟．考试结束后，将本试卷和答
题卡一并交回．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题 时，用 0.5 毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项符 合题目要求．
1 ．50 的算数平方根为( )
B ． D ．-5
2 ． “天宫课堂”第二课在 3“月 23 日开讲，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间 站再次为广大青少年带来一堂精彩的太空科普课，课程内容包括水油分离、太空“冰雪”实验、 液体搭桥、太空抛物等实验.某校有 3000 名学生在线观看了“天宫课堂“第二课，并参加了关 于“你最喜爱的 --项太空实验”的问卷调查，从中抽取500 名学生的调查情况进行统计分析， 以下说法错误的是( )
A ．3000 名学生的问卷调查情况是总体
B ．500 名学生的问卷调查情况是样本
C ．500 名学生是样本容量
D ．每一名学生的问卷调查情况是个体
3 ．下列四个说法：若a > b ，则a + c > b + c ；②若a > b ，则ac > bc ；③若a > b ，且c ≠ 0 ， 则 ；④若a < b < 0 < c ，则 a2c > b2c ．其中说法正确的个数是( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
4 ．二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清
受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为 196cm2 ，则其边长为( )
A ．13cm B ．14cm C ．15cm D ．16cm
5 ．如图，以点 A 为圆心，适当的长为半径画弧，交 Ð A 两边于点 M，N，再分别以 M、N 为圆心，AM 的长为半径画弧，两弧交于点 B，连接MB，NB ．若上A = 40° ,则 上MBN = ( )
A ．40° B ．50° C ．60° D ．140°
6 ．在平面直角坐标系中，将点(m, n)先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，最后所 得点的坐标是( )
A ．(m - 2, n -1) B ．(m - 2, n +1) C ．(m + 2, n -1) D ．(m + 2, n +1)
7 ．我市积极推进全国文明城市建设，对城内部分河道进行整治． 现有一段长 1200 米的河 道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成． 甲工程队每天整治 40 米，乙工程队每天整 治 50 米，共用时 28 天． 求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ 淇淇和嘉嘉所列的方程 组分别如图所示，下列判断正确的是( )
A ．只有淇淇列的方程组正确
B ．只有嘉嘉列的方程组正确
C ．淇淇和嘉嘉列的方程组都正确
D ．淇淇和嘉嘉列的方程组都不正确
8 ．下列说法中，正确的是( )
A ．x = 1 是不等式x < 2 的一个解 B ．x = 2 是不等式3x > 5 的解集
C ．不等式3x > 9 的解集是x = 4 D ．x < 5 是不等式x - 5 > 0 的解集
淇淇
解： 设甲工程队整治河道 x 米， 乙工程队整治河道y 米．
由题意，得 ，
嘉嘉
解： 设甲工程队工作了 m 天，乙工程队工作了 n 天． 由题意，得
9 ．如图，在。ABCD 中，上B = 60° , AB = 6cm ，BC = 12cm ．A 点 P 从点A 出发、以1cm/ s 的速度沿A → D 运动，同时点 Q 从点 C 出发，以3cm/ s 的速度沿C → B → C → ... 往复运动， 当点 P 到达端点 D 时，点 Q 随之停止运动．在此运动过程中，线段PQ = CD 出现的次数是 ( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
10．下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第 1 个 图形中小正方形的个数是 3 个，第 2 个图形中小正方形的个数是 8 个，第 3 个图形中小正方 形的个数是 15 个，第 9 个图形中小正方形的个数是( )
A ．100 B ．99 C ．98 D ．80
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11．对于同一平面内的三条直线 a,b,c,给出下列五个论断:①aⅡb;②bⅡc;③a⊥b;④aⅡc;⑤a⊥c.
以其中两个论断为条件,一个论断为结论,请你写出一个真命 题: .
12 ．已知二元一次方程，则x -y 的值是 ．
ìx - a > -1
lx - a ≤ 2 为： ．
13 ．不等式组 í 的解集中，任一个x 的值均在3 ≤ x < 7 的范围内，求a 的取值范围
14．如图，直线l1 Ⅱ l2 ，AB 丄 l1 ，垂足为 O，BC 与l2 相交于点 E，若上1 = 30° , 则上B = ．
15 ．如果 n 是一个自然数，那么 n 的“阶乘”记为n!，其表示从 1 到 n 的所有数的积，如果
4! = 1 × 2 × 3 × 4 ，那么1!+ 2!+ 3!+ 4!+ … + 2025! 的末尾数字为 ．
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．
l x + 9 < 4x② .
17 ．已知关于 x 的不等式组 íì2 (x -□) < 4 + x①
(1)在“□”内填入数字 1，求不等式。的解集，并将解集在图中的数轴上表示出来； ... .
(2)甲：“当在“□”中填入的数字大于- 时，该不等式组无解．”请判断甲的说法是否正确， 并说明理由．
18 ．如图，BE 平分 上ABD ，DE 平分上BDC ，且上a + 上β = 90° ,求证： AB∥CD ．
19 ．如图，在平面直角坐标系中， △ABC 各顶点的坐标分别为A(-4,1) ，B (-5, -2) ，
C (-2, -3) ，将 △ABC 平移至 △A¢B ¢C ¢ 处，点 A，B ，C 的对应点分别为A¢ , B¢ , C¢ , 其中点 C¢ 的坐标为(3, 0)．
(1)请在图中画出 △A¢B ¢C ¢ ,并写出点 A¢ , B¢ 的坐标；
(2)点 M 在 x 轴上运动，当线段BM 最短时，求点 M 的坐标．
20．第四届全民阅读大会于 2025 年 4 月 23 日至 25 日在太原举办，大会主题是“培育读书风 尚 建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代 化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了 解全校 2000 名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A．人 文社科类” 、“B ．文学艺术类” 、“C．科普生活类” 、“D ．少儿类”和“E 其它”，并将调查情况 绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽查了________名学生，m 的值为_______；
(2)补全条形统计图；
(3)估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
21 ．根据以下素材，探索解决任务．
确定 10 元纸币、1 元硬币和 5 角硬币的质量
素材
1
小明与小聪为了测量 10 元纸币、1 元硬币和 5 角硬币的质量，准备了足够多的 10 元纸币、 1 元硬币和 5 角硬币（设同种类每张纸币的 质量 相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器 材有：一架天平和一个 10 克的砝码．
小明： 天平左边放5 枚 1 元硬币和 1 个 10 克的砝码，天平右边放 10 枚 5 角硬币，天 平 正好平衡．小聪：天平左边放 15 枚 1 元 硬币， 天平右边放 20 枚5 角硬币和 1 个 10 克的 砝码，天平正好平衡．
22 ．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被 9 整除，则这个整数能被 9 整除；
材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数 百位和十 位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双 倍数” m 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数” m¢ = dcba ，记
例如m = 2461 ，4 + 6 ≠ 2 × (1+ 2)，所以 2461 不是“双倍数”：m = 2685 ，6 + 8 = 2 × (2 + 5)， 所以 2685 是“双倍数
（1）判断 2997 ，6483 是否为“双倍数”，并说明理由；
（2）若s ，t 均为“双倍数” ，s 的千位数字是5，个位数字大于 2 ，t 的百位数字是 7，且s 能 被 9 整除，4F(s )+ F(t ) 是完全平方数，求t 的最大值．
素材
2
素材
3
小明与小聪共同探究发现：天平左边放80 张 10 元纸币和 1 个 10 克的砝码， 天平右边放7 枚1 元硬币和 10 枚5 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平 左边放入60 张 10 元纸币，天平 右边只放入若干枚 1 元和 5 角的两种硬币， 天平也能正好平衡．
问题解决
任务
1
确定硬币的质量
每枚 1 元硬币和每枚 5 角 硬币的质量是多少克？
任务
2
确定纸币的质量
每张 10 元纸币的质量是多 少克？
任务
3
问题解决的策略
天平左边放入 60 张 10 元 纸币，天右边只放入若 干枚 1 元和5 角的两种硬币，请 求出能使天平正 好平衡的天 平右边放法的所有方案．
23 ．已知A - B - E - C - D 是一条折线段，且AB∥CD ，E 为平行线间的一点．
(1)如图 1，若上ABE = 130°, 上ECD = 25° ,求 Ð BEC 的度数；
(2)如图 2，作 Ð ABC 的平分线交直线 CD 于点 F，若 BE 丄 CE, 上BFC = 60° , 上CBE = 30° , 求证：CE∥BF ；
(3)如图3，作 Ð ABE 的平分线交直线CD 于点 F，射线 BE 交直线CD 于点 M，且
上BMF = 60°, P 为射线MF 上一动点，连接EP, 上EPF 的平分线交直线BF 于点 Q ．设
上BEP = a, 上FQP = β ,请直接写出 a 与 β 的数量关系．
1 ．B
【解析】略
2 ．C
【分析】总体是指考查的对象的全体， 个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所 抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、 样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据 的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A ．3000 名学生的问卷调查情况是总体，原说法正确，故本选项不合题意；
B ．500 名学生的问卷调查情况是样本，原说法正确，故本选项不合题意；
C ．500 是样本容量，原说法错误，故本选项符合题意；
D ．每一名学生的问卷调查情况是个体，原说法正确，故本选项不合题意． 故选：C．
【点睛】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是正确记忆各自的概念．
3 ．C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减 去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于 0 的整式，不 等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，根 据不等式的基本性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：①若a > b，则a + c > b + c ，故①正确，符合题意；
②若a > b，且 c > 0 ，则ac > bc ，故②错误，不符合题意；
③若a > b ，且 c ≠ 0 ，则 ，故③正确，符合题意；
④若a < b < 0 < c ，则 a2 > b2 ，所以 a2c > b2c ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③④,共 3 个，
故选：C．
4 ．D
【解析】略
5 ．A
【分析】本题考查了菱形的判定和性质 ．证明四边形AMBN是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知 AM = AN = BM = BN ，
:四边形AMBN是菱形， : 上A = 40° ,
: 上MBN = 上A = 40° , 故选：A．
6 ．D
【分析】把(m, n)横坐标加 2，纵坐标加 1 即可得出结果．
【详解】解： 将点(m, n)先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，最后所得点的坐标是 (m + 2, n +1)．
故选：D．
【点睛】本题考查点的平移中坐标的变换，把 (a, b) 向上（或向下）平移 h 个单位，对应的 纵坐标加上（或减去）h，，把(a, b) 向右上（或向左）平移 n 个单位，对应的横坐标加上（或 减去）n ．掌握平移规律是解题的关键．
7 ．B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设甲工程队整治河道 x 米，乙工程队整治河 道y 米，结合时间与工作量建立方程组即可，设甲工程队工作了 m 天，乙工程队工作了 n 天．结合时间与工作量建立方程组即可．
【详解】解： 设甲工程队整治河道 x 米，乙工程队整治河道y 米．则
:淇淇列的方程组错误；
设甲工程队工作了 m 天，乙工程队工作了 n 天．则
:嘉嘉列的方程组正确； 故选：B
8 ．A
【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一 般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解
和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、因为1< 2，所以 x =1 是不等式x < 2 的一个解，则此项正确，符合题意；
B、因为 2× 3 > 5 ，所以 x =2 是不等式3x > 5 的一个解，则此项错误，不符合题意；
C、因为 3× 4 > 9 ，所以 x = 4 是不等式3x > 9 的一个解，则此项错误，不符合题意；
D、因为 4 - 5 < 0 ，所以 x < 5 不是不等式x - 5 > 0 的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A．
9 ．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质， 一元一次方程的应用，全等三角形的判定与 性质，分四种情况：当0 < t ≤ 4 时，当4 < t ≤ 8 时，当8 < t ≤ 12 时，四边形CDPQ 为平行四 边形；当0 < t ≤ 4 时，四边形CDPQ 为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关 键．
【详解】解：在。ABCD 中， AB = 6cm ，BC = 12cm ， : CD = AB = 6cm AD = BC = 12 cm ，AD Ⅱ BC ，
:点 P 从点A 出发、以1cm/ s 的速度沿A → D 运动， :点 P 从点A 出发到达 D 点的时间为：12 ÷1 = 12 (s)，
:点 Q 从点 C 出发，以3cm/ s 的速度沿C → B → C → ... 往复运动， :点 Q 从点 C 出发到 B 点的时间为：12 ÷3 = 4 ，
: AD Ⅱ BC ， : DP ⅡCQ ，
当DP = CQ 时，四边形CDPQ 为平行四边形， : PQ = CD ，
当PQ = AB 时，四边形CDPQ 为等腰梯形， :PQ = AB = CD ，
设P、Q 同时运动的时间为t (s) ， 当0 < t ≤ 4 时，12 - t = 3t ，
: t = 3 ，
此时DP = CQ ，四边形CDPQ 为平行四边形，PQ = CD ，
如图：过点A、P 分别作BC 的垂线，分别交BC 于点M、N ，
:四边形AMNP 是矩形，
: MN = AP = t ，AM = PN ， :四边形ABQP 是等腰梯形， :PQ = AB ，上PQN = 上B ，
: 上BAM = 90° - 上B ，上QPN = 90° - 上PQN ， :上BAM = 上QPN ，
: △ABM≌△PQN (SAS) ， : BM = QN ，
在Rt△ABM 中，上B = 60° , AB = 6cm ， : 上BAM = 90° - 上B = 30° ,
: BM = QN = 3cm ， : t = 12 - 3t - 3 - 3 ，
此时ABQP 是等腰梯形，PQ = AB = CD ， 当4 < t ≤ 8 时，12 - t = 12 - 3 (t - 4) ，
: t = 6 ，
此时DP = CQ ，四边形CDPQ 为平行四边形，PQ = CD ， 当8 < t ≤ 12 时，12 - t = 3 (t - 8)，
: t = 9 ，
此时DP = CQ ，四边形CDPQ 为平行四边形，PQ = CD ，
综上，当t = 或t = 3 或t = 6 或t = 9 时，PQ = CD ，共 4 次，
故选：B．
10 ．B
【分析】根据图形间变化可得第 n 个图中小正方形的个数是(n +1)2 -1，再代入n = 9 进行计 算即可．
【详解】解：Q第 1 个图中小正方形的个数是3 = 22 -1，
第 2 个图中小正方形的个数是8 = 32 -1 ， 第 3 个图中小正方形的个数是15 = 42 -1 ， 第 4 个图中小正方形的个数是24 = 52 -1 ，
…
:第n 个图中小正方形的个数是(n +1)2 -1，
:第 9 个图中小正方形的个数是(9 + 1)2 - 1 = 100 - 1 = 99 ． 故选：B．
【点睛】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、 验证而得到此题蕴含的规律．
11 ．若 aⅡb ，bⅡc，则 aⅡc ，（答案不唯一）
【分析】根据平行线的性质与判定，写出符合要求的正确的命题即可.
【详解】可以写出如下真命题：
①如果 aⅡb ，bⅡc，那么 aⅡc；
②如果 aⅡb ，aⅡc，那么 bⅡc；
③如果 bⅡc ，aⅡc，那么 aⅡb；
④如果 bⅡc ，a⊥b，那么 a⊥c；
⑤如果 bⅡc ，a⊥c，那么 a⊥b；
⑥如果 a⊥b ，a⊥c，那么 bⅡc，
故答案为：若 aⅡb ，bⅡc，则 aⅡc ，（答案不唯一）
【点睛】本题考查了命题与定理， 用到的知识点是平行线的性质与判定，关键是熟练掌握有 关性质．
【解析】略
13 ．4 ≤ a < 5
【分析】表示出不等式组中两不等式的解集， 根据任一个x 的值均在3 ≤ x < 7 的范围中，求 出a 的范围即可．
ìx - a > -1 ìx
lx - a ≤ 2 lx
【详解】解： í 变形为 í
> a -1
≤ a + 2
由于任一个x 的值均在3 ≤ x < 7 的范围中，
ìa -1≥ 3
所以有 í
la + 2 < 7 解得：4 ≤ a < 5 ．
故答案为：4 ≤ a < 5 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14 ．120°
【分析】本题考查平行线的性质和判定， 解题的关键是学会构造平行线解决问题．两直线平 行，同位角、内错角相等，据此即可解答．
【详解】解：过点 B 作BD Ⅱ l1 ，则BD∥l2 ，
Q AB 丄 l1 ，
:上AOM = 90° ,
:上ABD = 上AOM = 90° , 上1= 上2 = 上DBE = 30° , :上ABE = 上ABD + 上DBE = 90° + 30° = 120° .
故答案为：120° .
15 ．3
【分析】本题考查了数字类规律的探索，关键在找到规律． 由于1! = 1 ，2! = 2 × 1 = 2 ，
3! = 3 × 2 × 1 = 6 ，4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 ，再往后的结果个位数都是 0， 依此可求1!+ 2!+ 3!+ 4!+ … + 2025! 的个位数字．
【详解】解：:1! = 1， 2! = 2 × 1 = 2 ，
3! = 3 × 2 × 1 = 6 ，
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ，
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 ，
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 ，
再往后的结果个位数都是 0， ∵ 1 + 2 + 6 + 4 = 13 ，
: 1!+ 2!+ 3!+ 4!+ … + 2025! 的个位数是3 ；
故答案为：3 ．
16 ．
【分析】通过计算零指数幂、负指数幂、化简二次根式、化简绝对值即可得解； 原式
【点睛】本题主要考查了实数的计算， 结合绝对值的性质、零指数幂、负指数幂和二次根式 的性质计算是解题的关键．
17 ．(1) x < 6 ，见解析
(2)甲的说法不正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集情况求参数，在数轴上表 示不等式得解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式2(x -1) < 4 + x 的解集，再在数轴上 表示出该不等式得解集即可；
（2）设“□”中的数字为 m，分别求出不等式组中两个不等式得解集，再求出不等式组无解时 m 的取值范围即可得到结论．
【详解】（1）解：2 (x -1) < 4 + x ， 去括号得：2x - 2 < 4 + x ，
移项得：2x - x < 4 + 2 ，
合并同类项得：x < 6 ， 数轴表示如下所示：
（2）解：甲的说法不正确，理由如下： 设“□”中的数字为 m，
í9-x+ x①
解不等式①得x < 2m + 4 ， 解不等式②得：x > 3 ，
当原不等式组无解时，则2m + 4 ≤ 3，
:“当在“□”中填入的数字小于等于 时，该不等式组无解， :甲的说法不正确；
18 ．见解析
【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义，结合已知条件，推出
上ABD + 上BDC = 180° ,即可得证．
【详解】证明：: BE 平分 Ð ABD ，DE 平分上BDC ， : 上ABD = 2a, 上BDC = 2 β ,
: 上a + 上 β = 90° ,
: 上ABD + 上BDC = 2a + 2 β = 180° , : AB∥CD ．
19 ．(1)见解析，A¢ (1, 4) ，B ¢ (0,1)
(2)M (-5, 0)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，垂线段最短，熟知相关知识 是解题的关键．
（1）根据点 C 和点C¢ 的坐标可得平移方式为向右平移 5 个单位长度，向上平移 3 个单位长 度，据此得到A¢ , B¢ 的坐标的坐标，描出A¢、B ¢、C ¢ ,并顺次连接 A¢、B ¢、C ¢ 即可；
（2）由垂线段最短可知，当 BM 丄 x 轴，BM 有最小值，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示， △A¢B ¢C ¢ 即为所求，则A¢ (1, 4) ，B ¢ (0,1) ；
（2）解：由垂线段最短可知，当 BM 丄 x 轴，BM 有最小值，
∵ B (-5, -2) ， : M (-5, 0)．
20 ．(1)50；30
(2)见解析
(3)400 名
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用， 读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
（1）用 A 类的人数和所占的百分比求出总人数；用 D 类的人数除以总人数，即可得出 m 的 值；
（2）根据（1）中所求 D 类的人数，即可补全条形统计图；
（3）用学校总人数乘以样本中喜欢 B 文学艺术类的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：这次调查的学生人数为 5 ÷10% = 50 （人）；
D 类的人数为50 - (5 +10 +15 + 5) = 15 （人）．
15 ÷ 50 = 0.3 = 30% ， : m = 30 ，
故答案为：50；30；
（2）解:补图如下:
;
解 （名）
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有 400 名．
21 ．任务1：每枚1元硬币的质量是6 克，每枚5 角硬币的质量是4 克；
任务2 ：每张10 元纸币的质量是0.9 克；
任务3 ：天平的右边可以放7 枚1元硬币和3 枚5 角硬币，或者放5 枚1元硬币和6 枚5 角硬币， 或者放3 枚1元硬币和9 枚5 角硬币，或者放1枚1元硬币和12 枚5 角硬币．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解．
任务1：设1枚1元硬币x 克，1枚5 角硬币y 克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列 二元一次方程组求解即可；
任务2 ：设每张10 元纸币z 克，根据素材3 中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解 即可；
任务3 ：设天平右边放入a 枚1元和b 枚5 角硬币，可列二元一次方程6a + 4b = 60 × 0.9 ，又因 为a 、b 均为正整数，求出a 、b 的正整数解即可．
【详解】任务1：解：设1枚1元硬币x 克，1枚5 角硬币y 克， 由素材2 可得
② - ① ×2 得：5x = 30 ， 解得：x = 6 ，
把x = 6 代入 ① 得：y = 4 ， 解方程组可得
答：每枚1元硬币的质量是6 克，每枚5 角硬币的质量是4 克； 任务2 ：设每张10 元纸币z 克，
由素材3 可得：80z +10 = 7 × 6 +10 × 4 ，
解得：x = 0.9 ，
答：每张10 元纸币的质量是0.9 克；
任务3 ：设天平右边放入a 枚1元和b 枚5 角硬币，
根据题意可得：6a + 4b = 60 × 0.9 ，
整理得 ，
Qa 、b 均为正整数， : 当 b = 3 时， a = 7 ， 当 b = 6 时， a = 5 ，
当 b = 9 时， a = 3 ， 当b = 12 时，a = 1，
答：天平的右边可以放7 枚1元硬币和3 枚5 角硬币，或者放5 枚1元硬币和6 枚5 角硬币，或 者放3 枚1元硬币和9 枚5 角硬币，或者放1枚1元硬币和12 枚5 角硬币．
22 ．（1）2997 是“双倍数” ，6483 不是“双倍数”；理由见解析；（2）t 的最大值 7791． 【分析】（1）利用题干中“双倍数”定义计算即可求解；
（2）设 s 的个位数字是 d，十位数字是 c，则百位数字是 10+2d-c（d＞2），可得 s=5000+100 （10+2d-c）+10c+d 且 5+10+2d-c+d+c=15+3d 能被 9 整除，依此可得 d=4 或 d=7，利用“双 倍数”的定义和 F（m ）的公式，分类讨论计算出 F（s）和 F（t），依据已知和数位上数字的 特征计算后，比较大小，取最大值即可．
【详解】解：（1）∵9 + 9 = 2 × (2 + 7) ，
:2997 是“双倍数” ， ∵4 + 8 ≠ 2× (3 + 6)， :6483 不是“双倍数”；
（2）设 s 的个位数字是 d，十位数字是 c，则百位数字是 10+2d-c（d＞2）， :s=5000+100（10+2d-c）+10c+d 且 5+10+2d-c+d+c=15+3d 能被 9 整除，
∵d＞2，
:d=4 或 d=7，
①d=4 时，有 10+2d=2×（5+4）=18， :此时十位数，百位数均为 9，
:s=5994 ，s′=4995，
F（s）=（s+s′）÷111=99，
则 ,是完全平方数，且 b 是整数，
:b=9，
:t 的十位数字是 9， 则 7+9=16，
:千位和个位上的数字之和是 8， :t 的最大值是 7791；
②d=7 时，有 10+2d=2×（5+7）=24 ， ∵百位和十位上的数字之和最大为 18， :不符合题意．
综上所述，t 的最大值是 7791．
【点睛】本题主要考查了完全平方数， 因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题意 并能熟练应用题干中的定义和公式是解题的关键．
23 ．(1) 75°
(2)见解析
(3) a = 180° - 2β 或a = 2 β
【分析】本题考查了利用平行线的性质和角平分线的定义判断角度的关系，三角形内角和和 外角的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．
（1）过点 E 作AB 的平行线EH ，利用平行线的判定和性质即可解答；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得 上FGC = 60° ,根据三角形内角和求得
上BCE = 60° ,即可解答；
（3）分类讨论：分点 P 在点F 左边或右边，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点 E 作AB 的平行线EF ，
Q AB Ⅱ CD ，ABⅡEF ，
:上BEF = 180° - 上ABE = 50° , CD∥EF ，
:上FEC = 上ECD = 25° ,
:上BEC = 上BEF + 上FEC = 75° ;
（2）解：Q AB ∥FD ，
:上ABF = 上BFC = 60° ,
Q BF 是Ð ABC 的平分线， :上ABF = 上FBC = 60° ,
QBE 丄 CE ，上CBE = 30° , :上BCF = 60° = 上FBC ，
:EC∥BF ；
（3）解：当点 P 在点F左边时，如图，
, Q 上BMF = 60° , BF 平分上ABM ，
:上ABM = 120° ,
Q BF 平分上ABM ，
:上ABF = 上FBE = 60° ,
:上BFM = 60° ,
:上QPF = 60° - β ,
∵ PQ 平分上EPF ，
:上EPM = 2上QPF = 120° - 2β ,
:上BEP = 上EPM + 上EMP ，即 a = 120° - 2β + 60° = 180° - 2β ; 当点P 在点F 右边时，如图，
, :上QPF = 180° - 上QFP - 上FQP = 120° - β ,
∵ PQ 平分上EPF ，
:上EPF = 2上QPF = 240° - 2β ,
:上EPM = 180° - 上EPF = 2 β - 60° ,
:上BEP = 上EPM + 上EMP ，即 a = 2 β - 60° + 60° = 2 β , 综上，a = 180° - 2β 或a = 2 β .