2024-2025学年山东省济南市高新区七年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年山东省济南市高新区七年级下学期期末数学检测试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1 ．国产人工智能大模型 DeepSeek 横空出世，其以低成本、高性能的显著特点， 迅速吸引了 全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形 的是( )
A．
B．
C ． D．
2 ．下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是( )
A ．旭日东升 B ．瓜熟蒂落 C ．大海捞针 D ．十拿九稳
3 ．如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应 建在( )
A ．点A 处 B ．点B 处 C ．点C 处 D ．点D 处
4 ．下列运算结果等于a2n 的是( )
A ．a2 . an B ．(2a )n C ． —.—2a2.…—.—一2a D ． —.—a2.…—.a—一)2
n个2a n个a
5 ．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中， 他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是( )
A ．商品名称 B ．数量 C ．单价 D ．金额
6 ．下列能表示 △ABC 的边BC 上的高的是( )
A ． B．
C．
D．
7 ．一艘轮船以16nmile / h 的速度从港口A 出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以 12nmile / h 的速度从港口A 出发向东南方向航行．离开港口1h 后，两船相距( )
A ．12nmile B ．16nmile C ．20nmile D ．28nmile
8．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC 上修建一 个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在( )
A ． △ABC 三边中线的交点 B ． △ABC 三个角的平分线的交点
C ． △ABC 三边高线的交点 D ． △ABC 三边垂直平分线的交点
9 ．已知(a + b)2 = 25 ，ab = 6 ，则 a2 + b2 的值为( )
A ．13 B ．19 C ．26 D ．31
10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为上BAF 时，顶部边缘B 处离桌面的高度BC 为7cm ，此时底部边缘 A 处与C 处间的距离AC 为
24cm ，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为 上DAF 时（D 是B 的对应 点），顶部边缘D 处到桌面的距离DE 为20cm ，则底部 C 处与 E 处之间的距离CE 为( )
A ．9cm B ．18cm C ．21cm D ．24cm
11 ．如图，AB∥CD ，将一副直角三角板作如下摆放，上GEF = 60° , 上MNP = 45° . 下列结 论：① GE∥MP ；② 上EFN = 135° ; ③ Ð BEF = 75° ; ④ 上AEG = 上PMN ．其中正确的结 论有( )
A ．②③ B ．①② C ．①③④ D ．①②③④
12 ．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置 A 处， OA 与地面垂直， 两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1m 高的 B 处接住她后用力一推，爸爸在 C 处接住 她．若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.4m和1.8m ，上BOC = 90° . 爸爸在 C 处接住小丽时，小丽距离地面的高度是( )
A ．1m B ．1.6m C ．1.8m D ．1.4m
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
13．俞老师开在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么 他随机选择一条车道，选中左转车道的概率是 ．
14．某天早晨，王老师从家出发，驾车前往学校，途中在路旁一家饭店吃早餐，如图所示是 王老师从家到学校这一过程中行驶路程s ( km) 与时间t ( min ) 之间的关系．王老师吃早餐以 前的速度 吃完早餐以后的速度．（填“ > 、< 或= ”）
15 ．若等腰三角形的两边长分别为 2 和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
16 ．若x + y = 2 且xy = 1，则代数式(x - 2)(y - 2) = ．
17 ．如图1是山地车放在水平地面的实物图，图2 是其示意图，其中AB, CD 都与地面l 平行， 上BCD = 61° , 上BAC = 54° ,要使 AM 与CB 平行， ÐMAC 的度数应为 °
18 ．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条互相平的直线l1 ，l2 ，l3 ，l4 上，这四条直
线中，相邻两条之间的距离依次为h1 ，h2 ，h3 ．若h1 = 4 ，h2 = 2 ，则正方形ABCD 的面积S 等于 ．
三、计算题：本大题共 1 小题，共 4 分．
19 ．计算：a3 . a5 + (a2 )4 + (-2a4 )2
四、解答题：本题共 11 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．
20 ．计算：(5x + y)(3x -y) ．
21 ．在图①中描涂 2 个小方块，在图②中描涂 3 个小方块，在图③中描涂 4 个小方块，在 图④中描涂 5 个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形
22 ．如图，DB 丄 BC 于点 B ，EF ^ BC 于点 F，上1 = 上2 ，试说明AB P DC ．请补充完整下 面的说理过程：
解：∵ DB 丄 BC ，EF ^ BC : 上DBC = 上EFB = 90°
: 上DBC + 上EFB = 180° : DB Ⅱ EF ( )
: 上2 = 上BDC ( ) ∵ 上1= 上2
: =
: AB P DC ( )
23 ．如图，在 △ABC 中，AB = BD = AC ，点 D 恰好落在线段AC 的垂直平分线上，求 ÐB 的度数．
Q 点 D 恰好落在线段AC 的垂直平分线上， :______ = ______，
:上C = 上DAC ，
Q 上BDA = 上C + 上DAC ，
:上BDA = 2上C ，
Q AB = BD = AC ，
:上BAD = 上 ______ ，上B = 上 ______，
:上BAD = 上BDA = 2上B ，
Q 上BAD + 上BDA + 上B = ______ ° ,
:5上B = 180° ,
∴ 上B = 36° .
24 ．先化简，再求值：(x -y )(x + y) + (y - 4)2 + x (y - x)，其中 ．
25 ．如图，点 B ，E，C，F 在同一条直线上，AB＝DE ，BE ＝CF，AB/ / DE ．求证：
△ABC≌△DEF．
26 ．一个不透明袋中有 5 个红球和7 个黄球，每个球除颜色外都相同．
(1)从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是多少？
(2)从袋中拿出 3 个黄球，将剩余的球搅拌均匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 多少？
27．生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中 添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾
水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为0% ，2% ，4% ，6% ，8% ，10% ， 每隔12h 测定一次水解率，部分实验结果如下：
a ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解48h 时，测得的实验数据如图所示：
为提高这类生活垃圾在水解48h 时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为 ______ % ；
b ．当菌剂添加量为p% 时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下：
通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为p% 时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y 和 时间 t 之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函 数图象可以推断，当水解132h 时，生活垃圾水解率______超过54%（填“能”或“不能”) ．根 据以上实验数据和结果，解决下列问题：
时间t (h )
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
水解率 y (%)
0
28.0
35.1
39.4
42.5
44.9
46.8
48.5
50.0
51.2
52.3
(1)请填出上文中的两个空，并画出上文中要求画出的函数图象．
(2)请直接写出p 的值，p = ______；
(3)当菌剂添加量为6% 时，生活垃圾水解率达到50% 所需的时间为t0 小时，当菌剂添加量为 p% 时，生活垃圾水解(t0 + 48) 小时的水解率______ 50% （填“大于”“小于”或“等于”) ．
28 ．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
29．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过 程，再解答下面的问题．
活动课 题
风筝离地面垂直高度探究
问题背 景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已 2000 多年．相传墨翟以 木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时 想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数
据抽象 模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC 的 长为 15 米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB 的长为 17 米，牵线放风 筝的手到地面的距离为1.5 米．
问题产 生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂 直高度．
（2）如果想要风筝沿DA 方向再上升 12 米，且BC 长度不变，则他应该再放出 多少米线？
问题解 决
……
例：若x = 6789 × 6786 ，y = 6788 × 6787 ，试比较 x ，y 的大小．
解：设6788 = a ，
则x = (a +1)(a - 2) = a2 - a - 2 ，y = a (a -1) = a2 - a ， Qx - y = (a2 - a - 2)- (a2 - a ) = -2 < 0 ，
:x < y ．
请利用上面的方法解答下列问题：
(1)若x = 3987 × 3991 ，y = 3988 × 3986 ．试比较x ，y 的大小；
(2)若x = 2024 × 2028 - 2025 × 2027 ，y = 2025 × 2029 - 2026 × 2028 ．试比较x ，y 的大小．
30 ．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图 1，在 △ABC 中， AB = 6, AC = 8 ，D 是BC 的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE = AD，请补充完 整证明．
“ △ADC≌△EDB”的推理过程．
（1）求证： △ADC≌△EDB
证明：Q延长AD 到点E ，使 DE = AD 在 △ADC 和△EDB 中AD = ED （已作）， 上ADC = 上EDB （_________ ）
CD = BD （中点定义）
: △ADC≌△EDB （_________ ），
（2）探究得出 AD 的取值范围是_____；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“ 中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图 2 ， △ABC 中，上B = 90°, AB = 2, AD 是△ABC 的中线，CE 丄 BC, CE = 4 ，且
上ADE = 90° ,求 AE 的长．
1 ．C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念， 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称 图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解： 选项 A 、B 、D 均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合 的图形，所以不是轴对称图形；
选项 C 能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图 形；
故选：C．
2 ．C
【分析】本题考查了可能性大小的判断， 一般的必然事件的可能性大小为1，不可能发生的 可能性大小为0 ，随机事件发生的可能性大小在 0 至1之间．旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉 鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小．
【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落是必然事件，
十拿九稳是随机事件，但发生的可能性比较大，不符合题意；
大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：C．
3 ．C
【分析】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短性质是解答本题的关键． 根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点C 处， 故选：C．
4 ．D
【分析】本题考查了幂的运算， 涉及有理数幂的概念，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘 方等知识，根据这些运算进行即可．
解
n个a
故选：D．
5 ．C
【分析】本题考查了常量与变量， 根据常量是固定不变的量即可得解，熟练掌握常量的定义 是解此题的关键．
【详解】解：∵付款金额随购物数量的变换而变化，
:单价是常量， 故选：C．
6 ．B
【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键． 从BC 所对的顶点A 向BC 或BC 的延长线作垂线段即可．
【详解】解：A ．BE 不是任何边上的高，故不符合题意；
B ．AE 是△ABC 的边BC 上的高，故符合题意；
C ．BE 是 △ABC 的边AC 上的高，故不符合题意；
D ．AB 不是任何边上的高，故不符合题意； 故选 B．
7 ．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用， 设两个小时后两船的位置分别为B 、C ，由方向角 得出上BAC = 90° ；再由时间与速度之间的关系得出 AB = 16nmile, AC = 12nmile ，然后运用 勾股定理求BC 的长，即可完成解答．
【详解】解：如图所示，设1h 后两船的位置分别为B 、C ，
则上BAC = 90°, AB = 16 × 1 = 16nmile, AC = 12 × 1 = 12nmile ，
即1h 后，两船相距20nmile ． 故选：C．
8 ．B
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC 和∠CAB 的角平分线的交点处．
【详解】要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC 内角平分线的 交点，
故选 B．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
9 ．A
【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解．
【详解】解：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ， : a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 25 - 2 × 6 = 13 ， 故选：A ．
10 ．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用 ．利用勾股定理先求出AB = 25cm ，再得出 AE = 15cm ，进一步计算即可解答．
【详解】解：在 Rt△BCA 中，AB2 = AC2 + BC2 = 242 + 72 = 625 ， : AB = 25cm ，
在Rt△DEA 中，AE2 = AD2 - DE2 = 252 - 202 = 225 ，
: AE = 15cm ，
: CE = AC - AE = 24 -15 = 9 (cm) ， 故选：A．
11 ．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 还有“拐点”模型，解题的关键是熟练掌握平 行线的性质和构造辅助线．
利用平行线的性质逐项判定即可得出答案．
【详解】解：①由题意可知，Q 上G = 上MPN = 90° , : 上MPG = 90° ,
: 上G = 上MPG ， : GE ∥MP ，
故①正确；
②根据三角板的度数可知，上EFG = 30° ,
:上EFN = 180° - 上EFG = 180° - 30° = 150° , 故②错误；
③
如图，过点F 作FH∥CD ， 又Q AB Ⅱ CD ，
: AB Ⅱ FH Ⅱ CD ，
:上NFH = 上PNM = 45° , 上BEF = 180° - 上EFH ， 又Q 上EFH = 上EFN- 上NFH = 150° - 45° = 105° ,
:上BEF = 180° - 上EFH = 75° ,
故③正确；
④由③得 Ð BEF = 75° ,
:上AEG = 180° - 上BEF - 上GEF = 180° - 75° - 60° = 45° ,
:上AEG = 上PMN = 45° , 故④正确；
故选：C．
12 ．D
【分析】利用全等三角形判定(AAS ) ，证得 △OBD 与 △COE 全等，根据全等三角形性质可求 出OE 和OD 的值，进而求出OA 的值，最后根据OA - OE = AE ，即可求出问题答案．
【详解】解：Q 上BOC = 90° ,
:上BOD + 上COE = 90° ,
Q 上BDO = 90° , 上CEO = 90° ,
:上BOD + 上OBD = 90° , 上COE + 上OCE = 90° ,
:上COE = 上OBD ，上BOD = 上OCE ， 又Q OB = CO ，
:△OBD @△COE (AAS ) ，
: OE = BD = 1.4m ，OD = CE = 1.8m ，
: AE = OA - OE = OD + DA - OE = 1.8m +1m -1.4m = 1.4m ．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是 解题关键．
13 ．
【分析】本题考查了概率公式，根据车道共5 条，左转车道只有1条，结合概率公式进行列 式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，俞老师开在一条五车道上，左转车道只有1条， ∴选中左转车道的概率是 ，
故答案为： ．
14 ． 0 ，
:x > y ．
（2）根据题意设2024 = a ，2028 = a + 4 ，2025 = a +1，2029 = a + 5 ，2026 = a + 2 ，2027 = a + 3 ， 2028 = a + 4 ，
则x = a (a + 4) - (a +1)(a + 3)
= a2 + 4a - (a2 + 3a + a + 3)
= a2 + 4a - a2 - 3a - a - 3
= -3 ，
y = (a +1)(a + 5) - (a + 2)(a + 4)
= (a2 + 5a + a + 5)- (a2 + 4a + 2a + 8)
= a2 + 5a + a + 5 - a2 - 4a - 2a - 8
= -3 ，
:x = y ．
30 ．（1）对顶角相等，SAS ；（2）1 < AD < 7 ；（3）6
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性 质，解题的关键是作辅助线．
（1）根据题干已知可得；
（2）根据全等三角形性质得 BE = AC ，利用三角形三边关系即可求得答案；
（3）延长AD 交EC 于点F ，证明 △ABD ≌ △FCD ，根据全等性质得CF = BA ，AD = DF ， 利用上ADE = 90° 得DE 垂直平分AF ，即可求得答案．
【详解】证明：（1）Q延长AD 到点E ，使 DE = AD 在 △ADC 和△EDB 中，AD = ED （已作）
上ADC = 上EDB （对顶角相等）
CD = BD （中点定义） :△ADC≌△EDB (SAS)，
故答案为：对顶角相等，SAS ；
（2）∵ △ADC≌△EDB ， : BE = AC = 8 ，
:8 - 6 < AE < 8 + 6 ，则 2 < AE < 14 ， 故 即1< AD < 7 ，
故答案为：1 < AD < 7 ；
（3）延长 AD 交EC 的延长线于点F ，如图
∵ÐB = 90° , CE 丄 BC ， : 上ABD = 上DCF = 90。 ∵ AD 是△ABC 的中线， : BD = CD ，
在△ABD 和△FCD 中
:△ABD ≌ △FCD (ASA ) : CF = BA = 2 ，AD = DF ， 又∵上ADE = 90。，
: DE 垂直平分AF ，
: AE = FE = CE + CF = 4 + 2 = 6 ．