2024-2025学年吉林省长春市公主岭市八年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年吉林省长春市公主岭市八年级下学期期末数学检测试卷，共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学试题
八年级数学试卷共 6 页，包括三道大题，共 24 道小题．全卷满分 120 分．考试 时间为 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1 ．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴 在条形码区域内．
2 ．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、 试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1 ．下列代数式是分式的是( )
A ．x +1 B ． C ． D ．
2 ．2025 年，国产AI 大模型DeepSeek 凭借卓越的推理能力引发全球关注．该模型采用国产
28 纳米制程芯片实现高效运算，展现了国产技术的综合实力．其中，28 纳米为0.000000028 米，0.000000028 这个数用科学记数法表示为( )
A ．2.8 × 10-9 B ．2.8 × 10-8 C ．28 × 10-9 D ．2.8 × 108
3 ．如图，如果直线y = kx + b 过图中的 E、F 两点，则以下结论正确的是( )
A ．k > 0 ，b > 0 B ．k > 0 ，b < 0 C ．k < 0 ，b < 0 D ．k < 0 ，b > 0
4．如图，在平行四边形ABCD 中，Ð ABC 的平分线BE 交AD 于点E, BC = 7, DE = 3 ，则AB 的长为( )
A ．4 B ．6 C ．10 D ．14
5 ．如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 4 ，BC = 6 ，将线段 AB 水平向右平移 a 个单位长 度得到线段EF ，若四边形 ECDF 为菱形时，则 a 的值为( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
6 ．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课 代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为10cm ，
上D¢ = 30° ,则四边形的面积减少了( )
A ．50cm2 B ． C ．100cm2 D ．
7 ．某校举办“汉字听写大赛” ，7 名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设 3 个 获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是( )
A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差
8 ．已知点A(-2, a + 2), B (-6, a ), C (6, a )在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( )
A ． B ．
C．
D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
9 ．计算：(3 - τ)0 - 3-1 = ．
10 ．在平面直角坐标系中，把直线y ＝2x -1 向上平移 3 个单位长度后，所得到的直线对应 的函数解析式是 ．
11 ．某校积极推进“阳光体育”工程，在男子 1000 米长跑训练中，老师根据训练成绩，计算 出甲、乙两名同学成绩的方差分别是 2 和3.5，则 （填“甲”或“乙”）成绩比较稳定．
12 ．如图．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连接OE ．若 AC = 6 ，BD = 8 ，则OE 的长度为 ．
13．如图，点A 在反比例函数 的图象上，点B 在反比例函数 的图象 上，AB ^ x 轴于点M ．且MB = 2AM ，则 k 的值为 ．
14 ．如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，且BC = EC，CF 丄 BE 交AB 于点 F，P 是EB 延长线上一点，下列结论：① BE 平分上CBF ；② FC 平分上BCE ；③点 E，F，B ，C 为顶 点的四边形的面积 ④△PFC 是等边三角形，其中正确的有 ．（填序 号）
三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）
15 ．先化简，再求值 其中x = 3 ．
16 ．列方程解应用题．
某工程队承担了 750 米长的道路改造任务，工程队在施工完 210 米道路后，引进了新设备， 每天的工作效率比原来提高了 20％，结果共用 22 天完成了任务．求引进新设备前工程队每 天改造道路多少米？
17 ．图①、图②、图③均是5× 5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正 方形的边长均为 1，点 A、B 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图， 所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以AB 为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD；
(2)在图②中以AB 为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD；
(3)在图③中以AB 为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD；
18 ．如图，一次函数y = kx + b 与反比例函数 的图象交于A(-2,1)、B (1, n)两点．
(1)求一次函数y = kx + b 的解析式：
(2)根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数值时x 的取值范围．
19 ．下表是某同学本学期体育素质历次测试成绩（百分制）如下表所示：
(1)该同学本学期五次测试成绩的众数为________，中位数为________；
(2)该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为________；
(3)如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按照
2 : 3 : 5 的比例计算所得，求该同学本学期体育素质的总评成绩．
20．如图，在四边形ABCD 中，点B 与点D 关于直线AC 对称，连结BD 交AC 于点 O，E 为 AC 上一点，OE = OC ，连结 BE 、DE ．
(1)求证：四边形EBCD 为菱形；
(2)若AE = DE ，上BAE = 15° , BD = 6 ，则 EC 的长为______．
21 ．通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时， 学生兴趣激增，10 分钟后保持平稳一段时间，20 分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0 ≤ x < 10 和10 ≤ x < a 时，图象是线段；当 a ≤ x ≤ 45 时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
(1) a = ______．
(2)当0 ≤ x < 10 时，求y 与 x 的函数关系式．
(3)数学老师讲一道函数综合题需要 25 分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目
测试类别
平时测试
期中测试
期末测试
第 1 次
第 2 次
第 3 次
成绩
82
86
87
82
90
的讲解时，专注度不低于 60？请说明理由．
22 ．【感知】如图①,在矩形 ABCD 中，AB = 4 ，BC = 5 ．P 为射线BC 上一点，将 △ABP 沿直线AP 翻折得到 △AB ¢P ，点 B 的对称点为点B¢ . 若点B¢ 在边AD 上，则PD 的长为 ．
【探究】如图②, 图①中的点B¢ 在矩形ABCD 的内部，点B¢ 在直线PD 上，其它条件不变．
（1）求证： △DCP ≌△AB ¢D ．
（2）BP 的长为________．
【应用】如图③,当图①中的点P 在BC 延长线上，且点B¢ 在直线PD 上时，其它条件不 变．直接写出四边形BPB¢A 的面积．
23 ．如图，在YABCD 中，上A = 60°, AB = 6cm ，连接 BD ，恰有ÐABD = 90。，过点 D 作 DE 丄 BC 于点 E．动点 P 从点 D 出发沿DA 以1cm / s 的速度向终点A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，以4cm / s 的速度沿射线BC 运动，当点 P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，设点P 运动的时间为ts ．
(1) BE = ；
连结PQ ，当 时，判断PQ 与AD 是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t 的值，使得以 P，Q，C，D 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求
出t 的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P 关于直线DQ 对称的点恰好落在直．线．CD 上，请直接写出t 的值．
24 ．在平面直角坐标系中，直线l : y= -x + b 经过点A(-2, 3) ，交y 轴于点B ．
(1)b = ______；
(2)若点C 是y 轴上一点，连接AC ．当 △ABC 的面积为 5 时，求点C 的坐标；
(3)已知线段MN 的端点坐标分别为M(m -1, 2)、N
①直线MN 与直线l 的交点坐标为______；
②当直线l 与线段MN 有交点时，求m 的取值范围．
1 ．C
【分析】本题考查了分式的判断； 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．需 逐一判断各选项分母是否含字母．
【详解】解：选项 A：x +1 是整式，无分母，不符合分式条件．
选项 B： 分母为常数 3，不含字母，属于整式．
选项 C： 分母为x -1，含字母x ，符合分式定义．
选项 D： xy 分母为常数 2，不含字母，属于整式．
综上，只有选项 C 是分式．
故选：C．
2 ．B
【分析】本题考查了科学记数法，将 0.000000028 用科学记数法表示，需将其转化为a ×10n 的形式，其中1≤a 0 ． 故选：D．
4 ．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质， 角平分线的定义及等角对等边，得到AB = AE 是解 决本题的关键．根据平行四边形的性质及角平分线的定义，即可证得AB = AE ，据此即可求 得AB 的长．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， : AD Ⅱ BC ，AD = BC = 7 ，
: 上AEB = 上CBE ，
又∵BE 平分 Ð ABC ，
: 上ABE = 上CBE ，
: 上AEB = 上ABE ，
: AB = AE = AD - DE = 7 - 3 = 4 ， 故选：A．
5 ．B
【分析】首先根据平行四边形的性质得到CD = AB = 4 ，然后根据菱形的性质得到 EC = CD = 4 ，然后求解即可．
【详解】:四边形ABCD 是平行四边形， : CD = AB = 4 ，
:四边形ECDF 为菱形， : EC = CD = 4 ，
: BC = 6 ，
: BE = BC - CE = 2 ， : a = 2 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质， 平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握 以上知识点．
6 ．A
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质．
过点D¢ 作D¢E 丄 BC 交BC 延长线于 E，先证明四边形 A¢BCD¢ 是菱形，得A¢D ¢ Ⅱ BC ，则
上ECD¢ = 上D¢ = 30° ,利用直角三角形的性质得求得 然后用正方形的面 积减去菱形的面积即可．
【详解】解：过点 D¢ 作D¢E 丄 BC 交BC 延长线于 E，如图，
:正方形ABCD ，
: AB = BC = CD = AD = 10cm : A¢B = BC = CD¢ = A¢D¢ = 10cm
:四边形A¢BCD¢ 是菱形， : A¢D ¢ Ⅱ BC
: 上ECD¢ = 上D¢ = 30° : D¢E 丄 BC
: 上CED¢ = 90°
:四边形的面积减少了S正方形ABCD - S四边形A¢CBD¢ = BC2 - BC . D¢E = 102 -10× 5 = 50 (cm2 )， 故选：A．
7 ．B
【分析】由于比赛设置了 3 个获奖名额，共有 7 名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【详解】解：因为 3 位获奖者的分数肯定是 7 名参赛选手中最高的，
而且 7 个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有 3 个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选B ．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识， 主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反 映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等， 各有局限性，因此要对统计量 进行合理的选择和恰当的运用．
8 ．A
【分析】此题考查了函数的图象．由点B(-6, a ) ，C (6, a )关于 y 轴对称，可排除选项 B 、 C，再根据 A(-2, a + 2) ，B (-6, a ) ，可知在y 轴的左侧，随x 的增大而增大，从而排除选项 D．
【详解】解：由B(-6, a ) ，C (6, a )在同一个函数图象上，可知图象关于y 轴对称，故选项
B 、C 不符合题意；
由A(-2, a + 2)，B (-6, a ) ，可知在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，故选项 D 不符合题意， 选项 A 符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查了零次幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关 键．非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于 1．据此 计算即可．
解
故答案为： ．
10．y ＝2x+2
【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式．
【详解】解：把直线 y=2x-1 向上平移 3 个单位长度后，所得到的直线对应的函数解析式是
y=2x-1+3，即 y=2x+2． 故答案为：y=2x+2．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解题的 关键．
11 ．甲
【分析】本题考查了方差的意义．熟记方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大， 表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数 据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解答此题的关键．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：∵甲、乙两名同学成绩的方差分别是 2 和 3.5，甲的方差小于乙的方差，
:甲的成绩更稳定， 故答案为：甲．
12 ．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，根据菱形的性质得出
根据勾股定理求出AB ，最后根据三角 形中位线定理求解即可．
【详解】解:∵菱形ABCD 中， AC = 6 ，BD = 8 ，
∵ E 是BC 中点，AO = CO ，
故答案为: ．
13 ．-6
【分析】本题考查了反比例函数 k 的几何意义，熟练掌握知识点是解题的关键．由反比例函 数 k 的几何意义得到S△△ ,则S△AOM : S△BOM = : k = 3 : k ，而
S△AOM : S△BOM = AM : MB = 1: 2 ，故3 :k = 1: 2 ，再根据反比例函数y = (x > 0) 所在的象限即 可求解k ．
【详解】解：: MB = 2AM ， : AM : BM = 1: 2 ，
:点A 在反比例函数y = (x >0) 的图象上，点B 在反比例函数y = (x >0) 的图象上，AB ^ x 轴于点 M，
: S△AOM : S△BOM = AM : MB = 1: 2 ， : 3 : k = 1: 2 ，
: k = 6 ，
:反比例函数y = (x >0) 的图象在第四象限， : k < 0 ，
: k = -6 ．
故答案为：-6 ．
14 ．①@③
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质 等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．分别利用平行线的性质结合线段垂直平分 线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】解：①: BC = EC ， : 上CEB = 上CBE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， : DC∥AB ，
: 上CEB = 上EBF ，
: BE 平分上CBF ，故①正确； @∵ BC = EC ，CF 丄 BE ，
: 上CEB = 上EBF ，
: FC 平分上BCE ，故@正确；
③∵ DC∥AB ，
: 上DCF = 上CFB ， ∵ 上ECF = 上BCF ， : 上CFB = 上BCF ， : BF = BC ，
: BF = EC ， ∵ BF∥EC ，
:四边形BCEF 是平行四边形， ∵ BF = BC ，
:四边形BCEF 是菱形，
:菱形BCEF 的面积 故③正确；
④∵ FB = BC，CF 丄 BE ，
:B 点一定在CF 的垂直平分线上，即PB 垂直平分CF ， : PF = PC ，
:△PFC 是等腰三角形，故④错误．
:正确的有①@③ .
故答案为：①@③ .
【分析】本题考查了分式的化简求值， 先通分计算括号里的减法，再将除法转化为乘法，约 分化为最简分式，再代值计算即可．
解
∵ x = 3 ，
:原式 ．
16 ．30 米
【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路x 米，则引进新设备后工程队每天改造
(1 + 20%)x 米，利用工作时间= 工作总量 ÷ 工作效率，结合共用 22 天完成了任务，即可得出 关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路x 米，则引进新设备后工程队每天改造 (1 + 20%)x 米，
依题意得
解得：x = 30 ，
经检验，x = 30 是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路 30 米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
17 ．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作等腰梯形即可；
（2）作平行四边形 ABCD 即可；
（3）作菱形 ABCD 即可；
【详解】（1）解：如图，取格点 C、D，连接四边形 ABCD ，四边形 ABCD 即为所求；
证明：由图可知 Ⅱ BC ， :四边形ABCD 是等腰梯形，
:等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形， :四边形ABCD 即为所求；
（2）解：如图，线段AB 向右移动两个格点得到线段DC ，连接四边形ABCD ，四边形ABCD 即为所求；
证明：由图可知AD = BC = 2 ，ADⅡBC :四边形ABCD 是平行四边形，
:平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， :四边形ABCD 即为所求；
（3）解：如图，取格点 C、D，连接四边形 ABCD ，四边形 ABCD 即为所求；
证明：由图可知 :四边形ABCD 是菱形，
:菱形是轴对称图形和中心对称图形， :四边形ABCD 即为所求．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，等腰梯形的判定和性质，平行四边形的判定和性质， 菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
18 ．(1) y= - -x 1
(2) -2 < x < 0 或x > 1
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数 法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点 B 的坐标，再用待定系数法求出 一次函数解析式即可；
（2）根据图象，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵反比例的图象过点A(-2,1) ，即 ， : m = -2 ，
:反比例函数的解析式为 ，
又∵点B(1, n)在函数 的图象上，
: B (1, -2) ，
又∵一次函数y = kx + b 过A(-2,1) 、B (1, -2) 两点， 即 ，
解之得 ．
:一次函数的解析式为y= - -x 1；
（2）解：由图像可知：当 -2 < x < 0 或x > 1 时，一次函数的值小于反比例函数值．
19 ．(1)82 分；86 分
(2)85 分
(3)86.6 分
【分析】（1）由出现次数最多的数据是 82 分，可得众数的答案；把数据从小到大排列后， 由最中间的数据是 86 分，可得中位数的答案；
（2）利用算术平均数公式直接计算即可；
（3）利用加权平均数公式直接计算即可．
【详解】（1）解：5 次测试成绩 82 出现了 2 次，出现的次数最多， :众数是 82 分，
把 5 次成绩按照从小到大的顺序排列如下：
82 ，82 ，86 ，87 ，90，
排在最中间的数据是 86， :中位数是 86．
故答案为：82 分；86 分
（2）本学期体育素质平时测试的平均成绩为 （分）
故答案为：85 分
（3）该同学上学期数学学科的总评成绩为：
（分）．
【点睛】本题考查的是众数， 中位数的含义，算术平均数与加权平均数的含义与计算，熟记 平均数公式进行计算是解本题的关键．
20 ．(1)证明见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质可得OD = OB ，OD 丄 AC ，进而证明四边形 EBCD 为平行 四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证；
（2）根据等边对等角得出 上EAD = 上EDA = 15° ,进而根据三角形的外角的性质即可得出
上DEO 的度数，进而根据等边三角形的性质以及含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理 求得EO ，即可求解．
【详解】（1）证明：:点B 与点D 关于直线AC 对称
: OD = OB ，OD 丄 AC ， 又: OE = OC ，
:四边形EBCD 为平行四边形， : OD 丄 AC ，
:四边形EBCD 为菱形；
（2）解：:点B 与点D 关于直线AC 对称， : 上EAD = 上EAB
: AE = DE， Ð BAE = 15° , : 上EAD = 上EDA = 15° ,
: 上DEO = 上EAD + 上EDA = 30° , :四边形EBCD 为菱形；
: DE = EB ，上BEO = 上DEO = 30° , EO = OC ，
: 上DEB = 60° ,
: △DEB 是等边三角形， : BD = 6 ，
: BO = OD = 3 ，
: EO = = = 3 ，
: EC = 2EO = 6 ．
故答案为：6 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，含 30 度角的直角三角 形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
21 ．(1)20
(3)能，理由见解析
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、不等式组的实际应用：
（1）根据描述可直接得出答案；
（2）设双曲线解析式为 y = ) ，将 C 点坐标代入求出 k 值，进而求出点 D、点 A 坐 标，再利用待定系数法求y 与 x 的函数关系式；
（3）根据一次函数、反比例函数解析式列出不等式组，求出不等式组的解集，即可判断． 【详解】（1）解：Q20 分钟后注意力开始分散，
: a = 20 ，
故答案为：20；
（2）解：由（1）可知，点 C 的坐标为(20, 90) ， 设双曲线解析式为 ，
将(20, 90) 代入，得 解得k = 1800 ， 将x = 40 代入 得y = = 45 ，
: 点 A 的坐标为(0, 45) ，
由图可得点 B 的坐标为(10, 90)，
设0 ≤ x < 10 时，求y 与 x 的函数关系式为y = mx + n ，
将(0, 45) ，(10, 90)代入，得 ín = 90 ，
解得
: y 与 x 的函数关系式为y = x + 45 ；
（3）解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于 60．
理由如下：
x + 45 ≥ 60(0 ≤ x < 10)
由题意得： íï90 > 60 (10 ≤ x < 20) ，
ïl ≥ 60(20 ≤ x ≤ 45)
10
解得 ≤ x ≤ 30 ，
3
:经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于 60．
22 ．感知： 、 ；探究：（1）见解析；（2）2；应用：32
【分析】感知：由矩形的性质和折叠的性质可得 AB = AB ¢ , 上PAB = 上PAB¢ = 45° , AB = B ¢A = 4 ，从而得到 AB¢ = B ¢P = 4 ，DB ¢ = 1，由勾股定理即可求解；
探究：（1）由矩形的性质可得 ADⅡBC ，AB = DC ，上B = 上C = 90° ,由折叠的性质可得
上B = 上AB¢D = 90° , AB = AB ¢ ,得到 DC = AB ¢ , 上C = 上AB¢D = 90° ,即可证明
△DCP≌△AB ¢D(AAS) ；（2）由全等三角形的性质可得 AD = DP = 5 ，由勾股定理可求 CP = 3，即可求解；
应用：由勾股定理可求B ¢D ，PC ，推出 PB ，从而得到△APB 的面积即可求解． 【详解】感知：解：Q 四边形ABCD 是矩形
:上B¢AB = 上B = 90° , AD = BC = 5
Q将 △ABP 沿直线AP 翻折得到 △AB ¢P 且AB = 4
: AB = AB ¢ = 4 ，上PAB = 上PAB¢ , 上AB¢P = 上B = 90°
1 1
:上PAB = 上PAB¢ = 上B¢AB = × 90° = 45°
2 2
:上B¢PA = 180° - 上AB¢P - 上PAB ¢ = 180° - 90° - 45° = 45° = 上B¢AP :△AB ¢P 是等腰直角三角形
: AB ¢ = B ¢P = 4
:B¢D = AD - AB ¢ = 5 - 4 = 1
故答案为： 、/17 ．
探究：（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形
: ADⅡBC ，AB = DC ，上B = 上C = 90°
:上ADB¢ = 上DPC
由折叠可得：上B = 上AB¢D = 90° , AB = AB ¢
:DC = AB ¢ , 上C = 上AB¢D = 90° 在 △DCP 和△AB¢D 中
ï
ì上DPC = 上ADB¢
í上C = 上AB¢D
ïlDC = AB ¢
:△DCP≌△AB ¢D(AAS)
（2）Q△DCP≌△AB ¢D ，AD = BC = 5 ，AB = CD = 4
:AD = DP = 5
QDP2 = CP2 + CD2
: CP = = = 3
:BP = BC - PC = 5 - 3 = 2
故答案为：2．
应用：Q将 △ABP 沿直线AP 翻折得到 △AB ¢P 且AB = 4
:BP = B¢P ，AB = AB¢ = 4 ，上AB¢P = 上B = 90°
:B¢D = = = 3
:DP = B ¢P - B ¢D = BC + CP - B ¢D = 5 + CP - 3 = 2 + CP
QDP2 = CP2 + CD2
:(2 + CP)2 = 16 + CP2 解得：CP = 3
:PB = BC + CP = 5 + 3 = 8
: 四边形BPB¢A 的面积= 2S△ABP = 2 × 1 AB . PB = 2 × 1 × 4 × 8 = 32
2 2
故答案为：32．
【点睛】本题考查了折叠的性质， 矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判 定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23 ．(1) 9cm ；
(2)PQ 丄 AD ，理由见详解；
(3)存在，t 的值为 或 4；
t 为 或 ．
【分析】（1）根据含30° 直角三角形性质和勾股定理求出BD 长，再求DE 长，最后用勾股 定理即可求解；
由 ，得出QE = PD ，再证四边形DEQP 是矩形即可得出结论；
（3）分情况讨论，CD 为边或对角线时，分别列方程求解即可；
（4）过 P 点作PH丄 BC 于 H，连接DQ ，PQ，分情况讨论，点 P 的对称点在线段CD 上 或在线段CD 的延长线上，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， ÐABD = 90。，上A = 60°, AB = 6cm ，
: AD ⅡBC ，上ADB = 30° ,
: AD = 2AB = 12cm ，上DBC = 上ADB = 30° ,
又Q DE 丄 BC
:上DEB = 90° ,
故答案为：9cm ；
（2）解：PQ 丄 AD ，理由如下：如图 1，
由题意得，当t = 时， ，
36 9
:QE = BE - BQ = 9 - = = PD ，
5 5
Q AD Ⅱ BC ，
: 四边形DEQP 是平行四边形， Q上DEQ = 90° ,
: 四边形DEQP 是矩形， :PQ 丄 AD ；
（3）解：存在，理由如下： 当CD 为边时，
Q 四边形PQCD 是平行四边形，
:PD = CQ ，
:t = 12 - 4t ，解得 ； 当CD 为对角线时，
Q 四边形PCQD 是平行四边形，
:t = 4t -12 ，解得 t = 4 ， 综上，t 的值为 或 4；
（4）解：t 为 或 ．
如图 2，当点 P 的对称点在线段CD 上时，过 P 点作PH丄 BC 于 H，连接DQ ，PQ ，
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB ∥CD ，AD ⅡBC ，
:上ADC = 180° - 上A = 120° , 上BCD = 60° , 由对称性质得上ADQ = 上QDC = 60° ,
:上QDC = 上BCD = 60° , :△CDQ 是等边三角形， : CD = CQ ，
: 6 = 12 - 4t ，解得 ，
如图 3，当点 P 的对称点在线段CD 的延长线上时，过 P 点作PH丄 BC 于 H，连接 DQ，PQ ，
Q 上CDA = 120° ,
:上PDP¢ = 60° ,
Q 点 P 的对称点在线段CD 的延长线上，
Q上BCD = 上CDQ + 上CQD ，
:上CDQ = 上CQD = 30° , : CD = CQ = 6 ，
:BQ = 12 + 6 = 18 ，
:4t = 18 ，解得 综上 或 ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形性质、对称性质、勾股定理、直角三角形性质， 等边三 角形判定、矩形判定和性质等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
24 ．(1)1
(2) (0, -4) 或(0, 6)
(3)①(-1, 2) ；@ -8 ≤ m ≤ 0
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知 识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
1
2 A
（2）先求出点 B 坐标，再根据题意可得 BC . x = 5 ，据此求出 BC 的长即可得到答案；
（3）①根据题意可得MN ∥ x 轴，在y= -x +1 中，当y = -x + 1 = 2 时，x = -1 ，则直线MN 与直线l 的交点坐标为(-1, 2) ；
@由①可得当直线l 与线段MN 有交点时，点(-1, 2) 在线段MN 上，则m -1≤ -1≤ m + 3 或
m + 3 ≤ -1 ≤ m -1，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：:直线l : y = -x + b 经过点A(-2, 3) ，
:3 = - (-2) + b ， : b = 1；
（2）解：由（1）可得直线 l 的解析式为y = -x +1， 在y = -x +1 中，当x = 0 时，y = 1，
: B (0,1)，
: △ABC 的面积为 5，
: BC = 5 ，
:点 C 的纵坐标为1+ 5 = 6 或1- 5 = -4 ， :点 C 的坐标为(0, -4) 或(0, 6) ；
: MN ∥ x 轴，
在y = -x +1 中，当y = -x + 1 = 2 时，x = -1 ， :直线MN 与直线l 的交点坐标为(-1, 2) ；
②:直线MN 与直线l 的交点坐标为(-1, 2) ，
:当直线l 与线段MN 有交点时，点(-1, 2) 在线段MN 上，
解不等式组 得-8 ≤ m ≤ 0 ， 不等式组 m + 3 ≤ -1 ≤ m -1 无解，
:-8 ≤ m ≤ 0 ．