2024-2025学年吉林省长春市宽城区八年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年吉林省长春市宽城区八年级下学期期末数学检测试卷，共41页。试卷主要包含了5 ，1，08)=216 ．等内容，欢迎下载使用。
试题
2025.7
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1 ．在平面直角坐标系中，一次函数y= x + b 的图象经过一、二、三象限，则b 的值可以是 ( )
A ．0 B ．1 C ．-1 D ．-2
2 ．下列函数中，自变量 x 的取值范围为x < 1的是( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．在平面直角坐标系中，若点P(a +1, 2 - 2a) 关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范 围在数轴上表示为( )
A ． B．
C ． D．
4 ．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
...
A ．四条边相等 B ．对角线相等 C ．对角线互相垂直 D ．是轴对称图形
5 ．为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的 时间分别为（单位：小时）：1 ，1.5 ，1.4 ，2 ，1.5，这组数据的中位数和众数分别是( )
A ．1.5 ，1.5 B ．1.4 ，1.5 C ．1.48 ，1.5 D ．1 ，2
6 ．用配方法解方程x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变形为( )
A ．(x + 1)2 = 6 B ．(x + 2)2 = 9
C ．(x -1)2 = 6 D ．(x - 2)2 = 9
7 ．一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相 等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：( )
A ．仅① B ．仅③ C ．①② D ．②③
8 ．已知点A(m -1, y1 ) 和点B(m, y2 ) 均在反比例函数 （k 是常数，k > 0 ）的图象上，下 列结论正确的是( )
A ．当m < 0 时，y1 < y2 < 0 B ．当0 < m < 1 时，y1 < 0 < y2
C ．当0 < m < 1 时，y2 < y1 < 0 D ．当m > 1时， 0 < y1 < y2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
9 ．若关于 x 的一元二次方程x2 - 3x + m = 0有两个相等的实数根，则 m 的值是 ．
10．学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按 百分制计，然后再按控球技能占 60%，投球技能占 40%计算选手的综合成绩，选手李林控 球技能得 90 分，投球技能得 80 分．李林综合成绩为 分．
11 ．如图，在。ABCD 中，AB = 10 ，AD = 6 ，AC 丄 BC ．则BD = ．
12 ．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点 O ，AE 垂直平分线段BO ，垂足为 点E ．若BD = 8 ，则 AB 的长为 ．
13．(2011 江西)将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形 中较小角为 x 度，平行四边形中较大角为 y 度，则 y 与 x 的关系式是________．
14．如图，在菱形ABCD 中，AB = 3 ，上ABC = 60° . 点E、F 分别在线段AB 、AC 上，且AE = CF ， BF 、CE 交于点G ，延长 BF 交边AD （或边CD ）于点 H ．给出下面四个结论：
① BF = CE ；② BG = FH ；③ 上BGE = 60° ; ④当AE = 2 时， △BCE 的面积是 上述 结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）
15 ．解方程：x2 - 7x + 1 = 0 ．
16．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时， 浸在液体中的高度h(cm) 是液体的密度r(g/cm3 ) 的反比例函数，其图象如图所示( r > 0) ．
(1)求h 与r 之间的函数关系式；
(2)当液体密度 r ≥ 1g/cm3 时，直接写出浸在液体中的高度h 的取值范围．
17 ．已知：在 △ABC 中，上BAC = 90° , D 是BC 的中点，过点 A 作AE Ⅱ BC ，且AE = BD ， 连接CE ．求证：四边形ADCE 是菱形．
18 ．图①、图②、图③均是5× 5 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方
形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中 按下列要求画图，所画图形不全等，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画面积为 4 的。ABCD ，且点 C、D 均在格点上；
(2)在图②中画面积为 4 的菱形ABEF ，且点 E、F 均在格点上；
(3)在图③中画面积为 4 的矩形ABMN ．
19．某超市今年“十一黄金周”期间开展促销活动，前六天的总营业额为 200 万元，第七天的 营业额是前六天总营业额的8% ．
(1)求该超市今年“十一黄金周”七天的总营业额．
(2)该超市今年 7 月份的营业额为 150 万元，8 、9 月份营业额的月增长率相同，9 月份的营 业额等于“十一黄金周”七天的总营业额．求该超市今年 8 、9 月份营业额的月增长率．
20 ．我国在《黄帝内经》和《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影 响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣 小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取 20 名 同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和 分析．（用x 表示心率，单位：次/分，数据分为 4 组：A. 60 ≤ x < 70 ，B. 70 ≤ x < 80 ，
C. 80 ≤ x < 90 ，D.90 ≤ x ≤ 100 ）
【数据的收集与整理】20 名同学听音乐前频数分布表
20 名同学听音乐时心率扇形统计图
心率x （次/分）
60 ≤ x < 70
70 ≤ x < 80
80 ≤ x < 90
90 ≤ x ≤ 100
频数
5
6
5
4
各组平均心率（次/分）
64
75
86
95
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a = ___________；
(2)请你结合“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”这个课题中的统计量分析，心率波动小且心 率较为平缓的是___________ ；（填“听音乐前”或“听音乐时”）
(3)如果兴趣小组再选择本年级 200 名同学开展试验，请估计这 200 名同学听该舒缓音乐时 心率在A 组的人数．
21 ．某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7 : 00，部队官兵乘坐军车从营地出发，
同时学校师生乘坐大巴车从学校出发，沿公路（如图①) 到爱国主义教育基地进行研学．上 午8 : 00 ，军车在离营地60km 的地方追上大巴车并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领 取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和学校师生同时到达基地．军车和大巴车离营 地的路程y(km) 与所用时间x (h ) 之间的函数关系如图@所示．
平均 数
中位 数
方差
听音乐 前
a
78
124.5
听音乐 时
73
73.5
99
(1)军车的速度为________ km / h ，a 的值为________；
(2)求大巴车离营地的路程y 与所用时间x 之间的函数表达式；
(3)部队官兵在仓库领取物资期间，直接写出大巴车离仓库的路程s (km) 的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点．一次函数 的图象l1 分别与x 轴、y 轴相交于 A 、B 两点，正比例函数的图象l2 与l1 相交于点C(m, 4) ．
(1)求m 的值；
(2)求S△AOC - S△BOC 的值；
(3)一次函数y = kx +1 的图象为l3 ，且l1、l2、l3 不能围成三角形，直接写出k 的值．
23 ．【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①, 在等边 △ABC 中，AB = 3 ，点M 、 N 分别在边AC 、BC 上，且AM = CN ，试探究线段MN 长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运 动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图@，过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ．在【问题呈现】 的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM = MP ；
（2）上CAP 的大小为 度，线段MN 长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图@ ．小明收集了该房屋的相关 数据，并画出了示意图，如图④ , △ABC 是等腰三角形，四边形BCDE 是矩形，
AB = AC = CD = 2 米，上ACB = 30° . MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M 在AC 上，点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持 AM = DN ．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．
24 ．如图，在四边形 ABCD 中， AB = CD = 3, AD = BC = 4, 上A = 90° , 点E 是边 AD 的中点， 点P 是边AB 上的动点（点P 不与点A 重合），连接EP ，将线段EP 绕点E 逆时针旋转90° 得 到线段EQ，连接PQ、BQ ．
(1)判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；
(2)点Q 到边AD 的距离是否为定值，请说明理由；
(3)当点Q 到边CD 的距离是 时，线段BP 的长为____________；
(4)当△BPQ 的面积是 时，直接写出线段AP 的长．
1 ．B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是 解答的关键．
根据一次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：∵一次函数y= x + b 的图象经过一、二、三象限， : b > 0 ，
故只需写出b > 0 的任意一个数即可， 选项 B 符合题意；
故选：B．
2 ．D
【详解】A 项，因为 1-x 位于分母上，则 1-x≠0，则该函数自变量 x 的取值范围为 x≠1．故 A 项错误．
B 项，因为自变量在分母上，则该函数自变量的取值范围为 ．故 B 项错误．
C 项，根据二次根式的性质，，则自变量的取值范围为 ．故 C 项错误．
D 项，根据二次根式的性质，，又因为二次根式位于分母上，则 1-r丰0 ．所以自变量的取值范围为r 0
2 < 0
解得：-1 < a < 1
故选：C
4 ．B
【分析】根据菱形的性质判断即可．
【详解】解：A、菱形的四条边都相等，A 选项正确，不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B 选项错误，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C 选项正确，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D 选项正确，不符合题意； 故选：B．
【点睛】本题主要考查了对菱形的性质的理解，关键是根据菱形的性质解答．
5 ．A
【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1 ，1.4 ，1.5 ，1.5 ，2， 则中位数是 1.5，
1.5 出现次数最多，故众数是 1.5． 故选：A．
6 ．C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配 方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1 ，一次项的系数是 2 的倍数．配方 法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为 1 ；③等式两边同时 加上一次项系数一半的平方．
将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式． 【详解】解：由原方程移项，得 x2 - 2x = 5 ，
方程的两边同时加上一次项系数-2 的一半的平方，得x2 - 2x + 1 = 6 ，
即(x -1)2 = 6 ， 故选：C．
7 ．C
【分析】根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项．
【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得 该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是 矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b 都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
:正确的有①②;
故选 C．
【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
8 ．B
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
解 是常数，k > 0 ）
:双曲线过一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小，
∵点A(m -1, y1 ) 和点B(m, y2 ) 均在反比例函数 （k 是常数，k > 0 ）的图象上，且 m -1 < m ，
:当m -1 < m < 0 时，y2 < y1 < 0 ；故选项 A 错误； 当0 < m < 1 ，则：-1< m -1< 0 ，
: y1 < 0 < y2 ；故选项 B 正确，选项 C 错误；
当m > 1时，则： 0 < m -1< m ，0 < y2 < y1 ；故选项 D 错误；
故选 B．
9 ．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式及方程有两个 相等的实数根，即可求得．
【详解】解：∵一元二次方程x2 - 3x + m = 0有两个相等的实数根， : Δ = (-3)2 - 4m = 0 ，
解得： ．
故答案为：
10 ．86
【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用加权平均数的计算方法计算即可．
【详解】解：90 × 60% + 80 × 40% = 86 （分）， 故答案为：86 ．
11 ．4
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出
BC = AD = 6 ，AO = CO ，BO = DO ，根据勾股定理求出AC = 8 ，得出 再
根据勾股定理得出 再求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， : BC = AD = 6 ，AO = CO ，BO = DO ，
∵ AC 丄 BC ，
: 上ACB = 90° ,
:在Rt△ABC 中，由勾股定理得：
:在Rt△BCO 中，由勾股定理得：
: BD = 2BO = 4 ．
12 ．4
【分析】本题主要考查了矩形的性质， 线段垂直平分线的性质，熟知矩形的对角线相等且互 相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
根据垂直平分线的性质得到AB = AO ，再由矩形的性质得到 AO = 4 ，则 AB = AO = 4 ． 【详解】解：∵ AE 垂直且平分线段BO ，
: AB = AO ，
∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD = 8 ，
: AB = AO = 4 ， 故答案为：4．
【详解】如图，根据菱形的性质得出∠ADC ＝180°-x°,又∠CDB ＝y° , :∠ADC+∠CDB+∠ADB ＝360°
14 ．①③④
【分析】对于①, 证明△AEC≌△CFB 即可；对于②, 举反例，当点 E 、F 分别是线段AB 、 AC 的中点时，点 H 与点 D 重合，可得FH > BG ；对于③, 根据全等三角形的性质，可得
上ACE = 上CBF ，从而可证明 上BGE = 60° ；对于④,过点 E 作EM 丄 BC 于点 M，可求得
,再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：对于① , Q 四边形ABCD 是菱形， : AC = CB ，
Q 上ABC = 60° ,
:△ABC 是等边三角形， :上CAE = 上BCF = 60° , 又Q AE = CF ，
:△AEC≌△CFB(SAS) ， : CE = BF ，
即BF = CE ， 所以①正确； 对于② ,
举反例：当点 E、F 分别是线段AB 、AC 的中点时，点 H 与点 D 重合， Q 四边形ABCD 是菱形，
:BF = FH > BG ，
所以②错误；
对于③ ,
由①知△AEC≌△CFB ， :上ACE = 上CBF ，
Q 上ACE + 上BCE = 上ACB = 60° ,
:上CBF + 上BCE = 60° ,
:上BGE = 60° ,
所以③正确；
对于④,过点 E 作EM 丄 BC 于点 M， Q AE = 2 ，AB = 3 ，
:BE = 1 ，
Q△ABC 是等边三角形，
:上EBM = 60° , BC = AB = 3，
: 上BEM = 30° ,
所以④正确；
综上所述，正确结论的序号是①③④ .
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查了菱形的性质， 全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾
股定理等知识，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：Qa = 1, b = -7, c = 1 ，
:b2 - 4ac = (-7)2 - 4 × 1 × 1 = 45 ．
(2) 0 < h ≤ 20
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
设 ，把 r = 1，h = 20 求出k，即可得出解析式；
（2）根据反比例函数k > 0 时，在对应区间内函数值随自变量增大而减小的性质，结合
r ≥ 1，确定 h 的取值范围．
【详解】（1）解：设 h 与 r 的函数关系式为h = ( r > 0)， 因为图象过(1, 20) ，将 r = 1 ，h = 20 代入h = ，得
解得k = 20 ，
所以h 与 r 的函数关系式为
（2）解：由 h = 可知， k = 20 > 0 ， 在r > 0 时，h 随 r 的增大而减小，
当r = 1 时，h = 20 ；
当r 增大时，h 减小且h > 0 ；
所以当 r ≥ 1g / cm3 时，0 < h ≤ 20 ．
17 ．见解析
【分析】本题考查斜边上的中线，菱形的判定，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到 AD = BD = CD ，进而得到 AE = CD ，证明四边形 ADCE 是平行四边形，再根据一组邻边相
等的平行四边形为菱形，即可得证．
【详解】证明：∵ 上BAC = 90° , D 是BC 的中点， : AD = BD = CD ，
∵ AE = BD ， : AE = CD ， ∵ AE Ⅱ BC ，
:四边形ADCE 是平行四边形， 又∵AD = CD ，
:平行四边形ADCE 为菱形．
18 ．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-平行四边形，菱形，矩形等知识，解题的关键是理解题意并灵活运 用所学知识解决问题．
（1）画一个底边是 2，高为 2 的平行四边形即可， （2）画一个对角线分别为 4 ，2 的菱形即可；
以 为边作矩形，面积为 作一条线段等于 而且 AP 丄 AB ，利用平行线分线段成比例定理，构造相似三角形使相似比为1: 4 ，将分
成1: 4 两部分，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示
（2）如图所示
（3）如图所示
19 ．(1)216 万元
(2)20%
【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，掌握一元二次方程与 实际问题的运用方法是解题的关键．
（1）根据题意的计算得到第七天营业额，由此得到七天的总营业额；
（2）设该超市今年 8 、9 月份营业额的月增长率为x ，由此列方程求解即可．
【详解】（1）解：前六天的总营业额为 200 万元，第七天的营业额是前六天总营业额的 8% ，
:七天的总营业额为：200 × (1+ 0.08)=216 （万元）．
（2）解：设该超市今年 8 、9 月份营业额的月增长率为x ， 根据题意，得150(1+ x)2 = 216 ，
整理得，(1+ x)2 = 1.44 ．
解得x 1 = 0.2 = 20% ，x2 = -2.2 （不符合题意，舍去），
答：该超市今年 8 、9 月份营业额的月增长率为20% ．
20 ．(1)79
(2)听音乐时
(3)80 人
【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图， 平均数，中位数，用样本估计总量，熟知上 述概念是解题的关键．
（1）根据加权平均数的公式即可解答；
（2）根据方差做出判断即可；
（3）利用样本估计总量即可解答．
解 故答案为： 79 ；
（2）解：∵ 124.5 > 99
:从方差看，心率波动小且心率较为平缓的是听音乐时， 故答案为：听音乐时；
（3）解：200 × 40% = 80 人，
答：心率在 A 组的同学人数为80 人．
21 ．(1)60 ，2
(2) y = 40x + 20
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）结合函数图象可求出军车和大巴车的速度，再根据时间= 路程 ÷ 速度可求a 的值；
（2）根据大巴车的速度为40km / h ，结合函数图象可得大巴车离营地的路程y 与所用时间x 之间的函数表达式；
（3）分别求出部队官兵在仓库领取物资的开始时间和结束时间，进而得对应的s (km) 的取 值，再结合函数图象可得路程s (km) 的取值范围．
【详解】（1）解：军车的速度为60÷1 = 60 (km / h ) ， 大巴车的速度为(60 - 20) ÷1 = 40 (km / h ) ，
: a = (100 - 20) ÷ 40 = 2 (h ) ， 故答案为：60 ，2；
（2）解：由（1）知大巴车的速度为 40km / h ，
结合图象，得大巴车离营地的路程y 与所用时间x 之间的函数表达式y = 40x + 20 ；
（3）解：部队官兵在仓库领取物资的开始时间为：
此时
∵部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地， :60(2 - x)+ 80 = 100 ，
解得 ，
即部队官兵在仓库领取物资的结束时间为 ， 此时
结合图象可知 ．
22 ．(1) m = 2
(2)15
(3) k 的值为- 或 或 2
【分析】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．恰当利用待定系数法求出 一次函数与坐标轴的交点坐标，巧用图象信息进行分析是解本题的关键．
（1）利用待定系数法将点C 代入l1 的解析式中即可求解；
（2）由（1）求出点C 的坐标值（纵坐标即为△AOC 三角形的高），将点 A 代入l1 的解析式 中求出具体坐标值（横坐标即为△AOC 三角形的底），利用三角形的面积公式即可求解，同 理求出 △BOC 的面积，再求解差值；
（3）根据l2 为正比例函数图象且过点C 得出具体解析式，再由l3 的解析式得其恒过点D(0,1) ，
后根据l3 图象移动变化可知当与l1 ，l2 平行或经过点C 时符合题意，最后得出结论． 【详解】（1）解：把点C(m, 4) 代入5 得，
:m = 2 ．
（2）解：由（1）已知交点C(2, 4) ，作CH 丄 OA 于点H ，CF 丄 OB 于点F ，
: CH = 4 ，CF = 2
Q 点A 在解析式 上， : y = 0 时
解得x = 10 ．
: 点A(10,0) ，OA = 10 ． 当x = 0, y = 5 ，
: OB = 5 ，
: S△AOC = OA . CH = × 10 × 4 = 20 ，S△ : S△AOC - S△BOC = 20 - 5 = 15 ；
（3）解：如图，由题意得，
Ql1 的解析式为 l1 与l2 相交于点C(2, 4) ，l2 为正比例函数图象， : 设l2 的解析式为y = k1x ．
Q4 = 2k1 ，解得k1 = 2 ．
: l2 的解析式为y = 2x ．
Ql3 的解析式为y = kx +1，当 x = 0 时，y = 1， :l3 恒过点D(0,1) ．
Q l1 、l2 、l3 不能围成三角形，
: 当l3 与l1 平行时，l1 、l2 、l3 不能围成三角形， 当l3 与l2 平行时，l1 、l2 、l3 不能围成三角形，k = 2 ；
当l3 经过点C 时，l1 、l2 、l3 不能围成三角形，
将C(2, 4) 代入y = kx +1， 则2k +1 = 4
: k = ．
: 当k = - ，2 或 时，l1 、l2 、l3 不能围成三角形．
23 ．问题解决：（1）见解析（2）30 ， ；方法应用：线段MN 长度的最小值为·、i6 米
【分析】（1）过点 C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线 AP ，根据平行 四边形性质证明结论即可；
（2）先证明ÐCAP = ÐMPA= 30° ,根据垂线段最短求出最小值；
（3）过点 D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线 AH ，连接 AD ，求出 ÐMAH = 15°,进而得 上DAH = 45° ,利用垂线段最短求出即可．
【详解】解：问题解决：（1）证明：过点 C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ， 作射线AP ，
: 四边形MNCP 是平行四边形，
: NC = MP，MN = PC Q AM = NC
: AM = MP ；
（2）在等边 △ABC 中，上ACB = 60° , Q MP ⅡCN
:ÐPMC = ÐACB = 60°
Q AM = MP
:ÐCAP = ÐMPA= 30°;
当CP 丄 AP 时，CP 最小，此时MN 最小，
在Rt△ACP 中，AC = 3,ÐCAP = 30O
:线段MN 长度的最小值为 ；
方法应用：过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线 AH ，连接 AD ，
: 四边形MNDH是平行四边形，
: ND = MH，MN = DH, MH Ⅱ ED Q AM = ND
:AM = MH ，
Q 四边形BCDE 是矩形， : BC Ⅱ ED,ÐBCD = 90O : BC ⅡMH
:ÐACB = ÐCMH = 30O
Q AM = MH
:ÐMAH = 15O
Q AC = CD = 3m,ÐACD = ÐACB +ÐBCD = 120O
:上DAC = 30°
:上DAH = 45°
: 当DH 丄 AH 时，DH 最小，此时MN 最小， 作CR 丄 AD 于点 R，
在Rt△ACR 中，AC = 2, 上CAR = 30°
: AR = /3
: AD = 2AR = 2
在Rt△ADH 中 上DAH = 45°
:线段MN 长度的最小值为米．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性 质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
24 ．(1)四边形ABCD 是矩形，理由见解析
(2)是，点Q 到边AD 的距离为定值 2，理由见解析
(4) AP 的长为 或
【分析】（1）先证明 ABCD 为平行四边形，再证明ABCD 为矩形；
（2）过点 Q 作QF 丄 AD 于点 F，证明 △AEP≌△FQE ，得出FQ = AE = 2 ，即可得出答案；
（3）分两种情况：当点 Q 在CD 左侧时，当点 Q 在CD 的右侧时，分别画出图形，求出结 果即可；
（4）过点 Q 作QH 丄 AB 于点 H，QG 丄 AD 于点 G，设AP = m (m > 0) ，则PH = 2 - m ，求 出 根据 △BPQ 的面积是 得 出 求出 或 即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形 ABCD 为矩形，理由：
∵ AB = CD = 3, AD = BC = 4 ， :四边形ABCD 为平行四边形， ∵ 上A = 90° ,
:四边形ABCD 为矩形；
（2）解：点Q 到边AD 的距离是定值，且这个定值为2；理由如下：
过点 Q 作QF 丄 AD 于点F，如图所示：
则上EFQ = 90° ,
∵E 为AD 的中点，
根据旋转可知：PE = EQ ，上PEQ = 90° , :上AEP + 上FEQ = 上FEQ + 上EQF = 90° , :上AEP = 上EQF ，
∵ 上A = 上EFQ = 90° , EP = EQ ，
: △AEP≌△FQE (AAS ) ， :FQ = AE = 2 ，
:点Q 到边AD 的距离为定值2；
（3）解：当点 Q 在CD 左侧时，过点 Q 作QH ^ CD 于点 H，延长HQ 交AB 于点 F，如图
所示：
则上DHQ = 90° ,
∵在矩形ABCD 中上A = 上D = 90° , :四边形ADHF 为矩形，
: DH = AF = 2 ，FH = AD = 4 ， ∵点Q 到边CD 的距离是 ，
设PF = x ，则 AP = (2 - x)，
在Rt△AEP 中，EP2 = AP2 + AE2 = (2 - x )2 + 22 = x2 - 4x + 8 ， ∵ EP = EQ ，上PEQ = 90° ,
:PQ2 = EQ2 + EP2 = 2EP2 = 2 (x2 - 4x + 8) = 2x2 - 8x +16 ，
在Rt△PFQ 中，根据勾股定理得
解得： 或 : BF = AB - AF = 3 - 2 = 1，
当点 Q 在CD 的右侧时，过点 Q 作QH丄 AB 于点 H，QG 丄 AD ，交 AD 延长线于点 G，如 图所示：
:上A = 上AHQ = 上AGQ = 90° , :四边形AHQG 为矩形，
: BH = AB - AH = 1，
设BP = x ，则 PH = 1 - x ，AP = 3 - x ，
在Rt△PHQ 中，根据勾股定理得 在Rt△AEP 中，EP2 = AP2 + AE2 = (3 - x )2 + 22 = x2 - 6x +13，
: EP = EQ ，上PEQ = 90° ,
:PQ2 = EQ2 + EP2 = 2EP2 = 2 (x2 - 6x +13) = 2x2 -12x + 26 ，
解得： 或
综上分析可知 或
（4）解：过点 Q 作QH丄 AB 于点 H，QG 丄 AD 于点 G，如图所示：
则上AHQ = 上AGQ = 上A = 90° , :四边形AGQH为矩形，
: AH = OG = 2 ，
设AP = m (m > 0) ，则 PH = 2 - m ， 在Rt△AEP 中，根据勾股定理得：
PE2 = AP2 + AE2 = m2 + 22 = m2 + 4 ， : EP = EQ ，上PEQ = 90° ,
:PQ2 = EQ2 + EP2 = 2EP2 = 2 (m2 + 4) = 2m2 + 8 ， 在Rt△PQH中，根据勾股定理得：
: △BPQ 的面积是 ，
整理得：8m2 - 8m + 1 = 0 ，
解得： 或
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质， 勾股定理，三角形面积计算，三角形全等的判 定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论．