2024-2025学年湖南省郴州市汝城县八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年湖南省郴州市汝城县八年级下学期期末考试数学检测试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
汝城县 2025 年上学期期末学业质量抽测试卷
八年级数学
（时量：120 分钟 总分：120 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．轴对称图形和中心对称图形是我们生活中常见的几何图形，下列图形是中心对称图形， 但不是轴对称图形的是( )
A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形
2 ．在平面直角坐标系中，点P(2025, -2025) 所在的象限是( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3 ．函数是刻画变量之间对应关系的数学模型．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是( )
A ．y = -2x +1 B ． C ．y = 2x2 D ．
4 ．如图，在平行四边形ABCD 中，上A = 120° ,则 Ð C 的度数为( )
A ．60° B ．120° C ．20° D ．150°
5 ．如图是某景区一段索道示意图，点 A 、B 之间的距离为 30 米，上BAC = 30° ,则缆车从 点 A 到点 B 的过程中竖直上升的高度（BC 的长）为( )
A ．60 米 B ．45 米 C ．30 米 D ．15 米
6 ．已知直线y=-2x+3 和直线y=kx - 5 平行，则 k 的值为( )
A ．2 B ．-2 C ．3 D ．无法确定
7 ．已知一组数据的最大值为 46，最小值为 27，在绘制频数分布直方图时，取组距为 3，则 这组数据应分成( )
A ．5 组 B ．6 组 C ．7 组 D ．8 组
8 ．如图，在菱形ABCD 中，点A 在 x 轴上，点C 的坐标为（4 ，4），点 D 的坐标为（0， 2），则点 B 的坐标是( )
A ．（8 ，2） B ．（2 ，8） C ．（4 ，2） D ．（2 ，4）
9 ．甲、乙两位同学拿着容积相同的两个空水杯（如图所示）同时在饮水机接满水，下列函 数图象中，表示接满水过程中水杯内水的高度h （单位：cm ）随接水时间 t （单位：s ）变 化规律的是( ).
B．
A．
C．
D．
10．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉 祥，如图，将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿对角线BD 方向平移 2cm 得到正方形 A¢B ¢C ¢D ¢ , 形成一个“方胜”图案，则点 D ，B¢ 之间的距离为( )
A ．2cm B ．2 cm C ．(2 - 2)cm D ．( -1)cm
二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11 ．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是 ．
12 ．如图，若上B = 上D = 90° , BC = DC ，上1 = 50° ,则 上2 的度数是 ．
13 ．如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图若这个坐标系分别以正东、
正北方向为 x 轴、y 轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是(4,1) 和(5, 4) ，则教学楼的 坐标是 ．
14 ．若点A(1, m) ，B (3, n)在一次函数y = -2x + 7 的图象上，则 m n ．（填“ > ”，“ < ” 或“= ”）
15 ．已知菱形ABCD 的对角线AC = 10 ，BD = 4 ，则菱形 ABCD 的面积为 ．
16 ．如图，在 △ABC 中上C = 90° ,以点 B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BA ，BC 于点E ，D ，分别以D ，E 为圆心，以大于DE 长为半径作弧，两弧交于点O ；作射线BO 交AC 于点F ．CF = 2 ，点 P 是AB 上的动点，则FP 的最小值为 ．
17．DeepSeek 训练AI模型时，记录GPU 温度y(°C) 与运行时间x （小时）的关系如图所示， 当运行到第 10 小时，GPU 的温度是 °C ．
18 ．如图，在矩形ABCD 中，BC = 20cm ，AB = 8cm ，点P 从点B 出发，沿BC 边以3cm / s 的速度运动，点Q 从点D 出发，沿DA 边以2cm / s 的速度运动，点P 和点Q 同时出发，当点 P 运动到点C 时，两点同时停止运动，当点P 和Q 出发 s 时，四边形ABPQ 成为矩形．
三、解答题（共 8 小题，第 19-20 题每小题 6 分，第 21-22 题每小题 8 分，第 23-24 题每小题 9 分，第 25-26 题每小题 10 分，共 66 分）
19 ．如图， 在Rt△ABC 中， 上ACB = 90° , CD 为中线， 延长CB 至点E ， 使
BE = BC ， 连结DE ， 点F 为DE 的中点， 连结BF ． 若AB = 10 ， 求BF 的长:
20 ．一次函数y = kx + b 的图像经过A(2, 3) 、B (4, -1) 两点．
（1）求直线 AB 的函数表达式；
（2）y = 2x -1 与直线 AB 交于点 C，求点 C 的坐标．
21 ．如图，已知 △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A ，B ，C 均在格点上．
(1)作出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ；
(2)作出△ABC 向右平移 5 个单位长度后的△A2B2 C2 ；
(3)直接写出点B1 的坐标______，点 C2 的坐标_______．
22．盛夏来临，暑假生活就快开始了．某校组织 400 名学生进行“防溺水”安全知识测试．为 了更好地了解本次测试成绩的分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，并对成 绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
“防溺水”安全知识测试成绩情况频数分布直方图
“防溺水”安全知识测试成绩情况频数分布表
请根据以上信息，回答下列问题：
(1) a = ______ ，b = ______；
(2)请补全频数分布直方图空缺部分； ..
(3)若测试成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优秀”，请你估计全校 400 名学生中成绩“优 秀”的人数．
23 ．根据背景素材，探索完成任务．
成绩x /分
频数
频率
60 ≤ x < 70
4
0.1
70 ≤ x < 80
8
0.2
80 ≤ x < 90
16
b
90 ≤ x < 100
a
0.3
项 目 背 景
2025 年 4 月 23 日是第 30 个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境， 某校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，该校计划购买甲、乙两种型号的书架共 30 个用于摆放书籍．
项 目
素材
1
甲型号书架的单价比乙型号书架的单价低 100 元/个．
24 ．如图，在平行四边形ABCD 中，过点 D 作DE TAB 于点 E，CF = AE ，连接 AF ．
(1)求证：四边形BFDE 是矩形；
(2)若AF 平分 7DAB ，CF = 3 ，DF = 5 ，求四边形 BFDE 的周长．
25 ．如图，一次函数 的图像与 x 轴和y 轴分别交于点 A 和点 B，将△AOB 沿直 线 l 对折，使点A 与点 B 重合，直线 l 与 x 交于点 C，与 AB 交于点 D，连接 BC ．
(1)求△AOB 的面积；
(2)求 OC 的长度；
(3)在 x 轴上方是否存在点 P，使得以 A ，B ，C，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
26 ．【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含 60° 角的菱形的性质．
素 材
素材
2
购买 2 个甲型号书架和 3 个乙型号书架共需要 1300 元．
项 目 任 务
任务
1
（1）求出甲、乙两种型号书架的单价．
任务
2
（2）设购买a 个甲型号书架，购买这 30 个书架所需总费用为w 元，求w 与a 之间的函数表达式．
如图 1，菱形 ABCD 的边长为 2 ，上ABC = 60° ,则 上ABD = __________ ° , BD = __________；
【操作发现】（2）如图 2，在图 1 的基础上，小贤在菱形ABCD 的对角线BD 上任取一点 P （点 P 不与点 B 重合）， 以AP 为边向右侧作菱形APEF ，且上APE = 60° , 连接DF ．求证：
△ABP≌△ADF ；
【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点 P 位置的改变，上BDF 的度数是否发生变化？若不变， 求出上BDF 的度数；若变化，请说明理由．
1 ．A
【分析】此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形和轴对称图形 的定义是解决此题的关键．根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】A.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．
B.菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C. 矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选择：A
2 ．D
【分析】本题考查了判断点所在的象限.直接根据所在的象限点的特点判断即可.
【详解】解：点P(2025, -2025) 所在的象限是第四象限.
故选：D
3 ．B
【分析】根据正比例函数的定义：一般地，两个变量 x，y 之间的关系式可以表示成形如y = kx （k 为常数，且k ≠ 0 ）的函数，那么 y 就叫做 x 的正比例函数．
【详解】解：根据正比例函数的定义可知， 符合正比例函数的定义．
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数的定义：一般地，两个变量 x，y 之间的关系式可以表示成形 如y = kx （k 为常数，且k ≠ 0 ）的函数，那么 y 就叫做 x 的正比例函数．
4 ．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质， 熟记平行四边形的对角相等是解题的关键．由平行 四边形的对角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
:∠C = ∠A = 120° , 故选：B．
5 ．D
【分析】本题考查了含 30 度角的直角三角形，根据 30 度角所对的直角边等于斜边一半求 解即可．
【详解】解：在 Rt△ABC 中，上BAC = 30° , AB = 30 米，
则 米， 故选：D．
6 ．B
【分析】根据两直线平行，k 相等即可得出答案.
【详解】∵直线y=-2x+3 和直线y=kx - 5 平行
:k = -2
故选：B.
【点睛】本题主要考查两直线平行，掌握两直线平行时，k 相等是解题的关键.
7 ．C
【分析】用最大值减去最小值，再除以组距即可得到组数，利用公式计算即可 【详解】解：Q 数据的最大值为 46，最小值为 27，
:这组数据的差是46 - 27 = 19 ， Q 组距为 3，
:这组数据应分成 则分成 7 组． 故选：C．
【点睛】此题考查了组数的计算公式，掌握计算方法是解题的关键．
8 ．A
【分析】连接 AC 、BD 交于点E ，由菱形的性质得出 AC 丄 BD ， ，
,由点C 的坐标和点D 的坐标得出DE = 4 ，求出 DB = 8 ，即可得出点 B 的 坐标．
【详解】解：连接 AC 、BD 交于点E ，如图所示：
Q 四边形ABCD 是菱形，
: AC 丄 ， Q 点C 的坐标为(4, 4) ，点 D 的坐标为(0, 2) ，
: OD = 2 ，BD = 8 ，
: 点B 的坐标为：(8, 2) ； 故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
9 ．B
【分析】本题考查了正比例函数的图象， 根据甲同学水杯的底面积小，乙同学水杯的底面积 大，可知甲同学水杯内水的高度h 上升的更快，又根据两个水杯的容积相同可知同一时间到 达水杯的最大高度h ，结合图象即可判断求解，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】解： 由题意可得，甲同学水杯的底面积小，乙同学水杯的底面积大，甲同学水杯的 高度大于乙同学水杯的高度，
:甲同学水杯内水的高度h 上升的更快， :两个水杯的容积相同，
:甲乙同学水杯同时接满水，即同一时间到达水杯的最大高度h ， 故选：B ．
10 ．C
【分析】本题考查平移性质， 正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质 是解答的关键，由题意得BB¢ = 2cm ，根据正方形的性质和勾股定理，求出 BD ，进而求出 答案即可；
【详解】解：由题意得 BB¢ = 2cm ， Q 四边形ABCD 是正方形，
: AB = AD = 2cm,上A = 90° ,
:DB¢ = BD - BB ¢ = (2 - 2)cm ，
: 点 D ，B¢ 之间的距离为 ， 故选：C．
11 ．540°
【分析】根据多边形内角和公式(n-2)×180°即可求出结果.
【详解】黑色正五边形的内角和为:
(5- 2)×180° = 540° , 故答案为：540° .
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式. 12 ．40° ## 40 度
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABC≌Rt△ADC (HL) 得到
上2 = 上ACB ，再利用三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵ 上B = 上D = 90° , BC = DC ，AC = AC ， : Rt △ABC≌Rt△ADC (HL)，
: 上2 = 上ACB ， ∵ 上1 = 50° ,
: 上2 = 上ACB = 90° - 上1 = 40° , 故答案为：40° .
13 ．(2, 2)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中根据点的坐标求点的位置，和根据点的位置求点的坐 标，确定原点的位置是解决本题的关键．
先根据已知点的坐标确定原点的位置，再得出教学楼的位置． 【详解】解：∵综合楼和食堂的坐标分别是(4,1) 和(5, 4) ，
:确定原点为点O 的位置．
:教学楼的坐标是(2, 2) ， 故答案为：(2, 2) ．
14 ．>
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题的关键. 根据k= -2 < 0 可得一次函数y= -2x + 7 的y 随 x 的增大而减小，进而求解． 【详解】解：∵ k = -2 < 0 ，
:一次函数y= -2x + 7 的y 随 x 的增大而减小， ∵1 < 3 ，
: m > n .
故答案为：> ．
15 ．20
【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC = 10 ，BD = 4 ，
:菱形ABCD 的面积为 故答案为：20．
16 ．2
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质， 垂线段最短，由作图可得BO 是Ð ABC 的角平 分线，由垂线段最短可知当FP 丄 BA 时，FP 取最小值，进而根据角平分线的性质即可求解， 掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ 上C = 90° , : FC 丄 BC ，
由作图知，BO 是Ð ABC 的角平分线， 当FP 丄 BA 时，FP 取最小值，如图，
∵ BO 是Ð ABC 的角平分线，FC 丄 BC ，FP 丄 BA ， : FP = FC = 2 ，
: FP 的最小值为2 ，
故答案为：2 ．
17 ．45
【分析】本题主要考查一次函数的应用．先利用待定系数法求得0 ≤ x ≤ 20 时函数的解析式， 再求x =10 的函数值即可．
【详解】解：设函数的解析式为 y = kx + b (0 ≤ x ≤ 20)，由图象过点 (0,25) ，(20, 65) ， 则
解得：
所以函数的解析式为y = 2x + 25 ，
当x =10 时，y = 2 × 10 + 25 = 45 ，即此时GPU 的温度是45°C ．
故答案为：45．
18 ．4
【分析】本题考查了矩形的性质和解一元一次方程，能根据矩形的性质得出方程是解此题的 关键．根据矩形的性质得出AD = BC ，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：由题意得：QD = (20 - 2t)cm,BP = 3t ， Q 四边形ABCD 是矩形，BC = 20cm ，
: AD = BC = 20cm ，
要使四边形ABPQ 是矩形，必须AQ = BP ，即 20 - 2t = 3t ， 解得；t = 4 ，
当点P 和Q 出发4s 时，四边形ABPQ 成为矩形．
故答案为：4．
19 ．BF = 2.5
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理， 直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求
得CD 的长度，结合题意知线段BF 是 △CDE 的中位线，则 ．
【详解】解：在 Rt△ABC 中，上ACB = 90° , AB = 10 ， : CD 为中线，
: F 为DE 中点，BE = BC ， :点B 是EC 的中点，
: BF 是 △CDE 的中位线，
20 ．（1）y = -2x + 7 ；（2）(2,3) ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）联立两个函数，它们的交点的 x 和 y 值对应的就是 C 点的横、纵坐标． 【详解】解：（1）将 A(2, 3) 、B (4, -1) 分别代入y = kx + b 得，
解得 即y = -2x + 7 ；
联立 ， 解得 ，
故 C 点的坐标为：(2,3) ．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组．理解一次函数交点与二 元一次方程组的解之间的关系是解题关键．
21 ．(1)见解析
(2)见解析
(3)(-5, -2) ，(4,1)
【分析】本题主要考查坐标与图形， 轴对称和平移，写出点到坐标等内容，掌握轴对称和平 移的性质是关键．
（1）把△ABC 各个顶点关于x 轴对称，再把对应点顺次连接即可；
（2）把△ABC 各个顶点向右平移 5 个单位长度后，再把对应点顺次连接即可；
（3）根据点的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求；
（2）解：如图所示， △A2B2 C2 即为所求；
（3）解：根据点所在的位置可得，
点B1 的坐标(-5, -2) ，点 C2 的坐标(4,1) ， 故答案为：(-5, -2) ，(4,1) ．
22 ．(1)12；0.4
(2)见解析
(3)全校 400 名学生中成绩“优秀”的人数为 120 人
【分析】（1）根据频数分布表，先求出抽查的学生总人数，然后分别求出 a 、b 的值即可；
（2）根据 a=12 画出频数分布直方图即可；
（3）根据样本的频率求出总体的数量即可．
【详解】（1）解：抽取的学生总数为：4 ÷0.1 = 40 （人）， a = 40 × 0.3 = 12 （人），
故答案为：12；0.4．
（2）解：补全频数分布直方图，如图所示：
（3）解：400 × 0.3 = 120 （人），
答：全校 400 名学生中成绩“优秀”的人数为 120 人．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，解题的关键是根据频数分布表求出 调查学生的总人数．
23 ．（1）甲型号书架的单价是 200 元/个，乙型号书架的单价是300 元/个（2）
w = -100a + 9000(0 ≤ a ≤ 30，且a为整数)
【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列出函数表达式等知识点，解题的 关键是准确找出等量关系．
（1）设甲型号书架的单价是x 元/个，则乙型号书架的单价是(x +100) 元/个，根据花费的总 钱数列出方程求解即可；
（2）根据总费用等于两种型号书架的费用之和，列出函数表达式即可．
【详解】解：（1）解：设甲型号书架的单价是x 元/个，则乙型号书架的单价是(x +100) 元/ 个，
依题意得：2x + 3(x + 100) = 1300 ，
解得：x = 200 ，
:x + 100 = 300 （元），
答：甲型号书架的单价是200 元/个，乙型号书架的单价是300 元/个.
（2）解：由题意可得 w 与a 之间的函数表达式为：
w = 200a + 300 × (30 - a) = -100a + 9000(0 ≤ a ≤ 30，且a为整数) .
24 ．(1)见解析
(2)18
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质， 矩形的判定，角平分线的性质，勾股定理等知 识点，解题的关键是掌握平行四边形的性质和矩形的判定以及勾股定理．
（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形BFDE 是平行四边形， 再根据矩形的定义即可判定；
（2）利用平行的性质和角平分线的性质得出相等的边，然后根据勾股定理求出相关边长， 即可求出矩形的周长．
【详解】（1）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形， :DF∥EB ，AB = CD ，
又Q CF = AE ，
:DF = BE ，
: 四边形BFDE 是平行四边形， ∵ DE ⊥ AB ，
:上DEB = 90° ,
: 四边形BFDE 是矩形；
（2）解：Q AF 平分 ÐDAB ，DC Ⅱ AB ，
:上DAF = 上FAB ，上DFA = 上FAB ，
:上DAF = 上DFA ，
: AD = FD = 5 ，
Q AE = CF = 3 ，DE 丄 AB ，由勾股定理得，
:矩形BFDE 的周长= 2(DF＋DE) = 2 × (5 + 4) = 18
25 ．(1)16；
(2)3；
(3)存在，点 P 的坐标为(5, 4) 或(-5, 4) ．
【分析】本题考查了一次函数的图像及性质、平行四边形的性质．
（1）先分别求出 A 、B 两点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（2）设 OC= x ，则 AC = 8 - x ，再根据题意可得 BC = AC = 8 - x ，最后根据勾股定理列方 程求解即可；
（3）分别以 AB 、AC 、BC 为对角线的三种情况解答即可．
【详解】（1）解：Q 一次函数的解析式为与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B 令y = 0 ，得 ，
解得x = 8 ，
: A(8, 0)
令 x = 0 ，得 y = 4 ，
:B(0, 4)．
（2）解：设 OC= x ，则 AC = 8 - x
Q △AOB 沿直线l 对折，点A 与点B 重合， : BC = AC = 8 - x
在Rt△BOC 中，上BOC = 90° ,
: OB2 + OC2 = CB2 , 42 + x2 = (8 - x)2 ， 解得x = 3
: OC = 3 ；
（3）解：设 P (a, b) (a > 0)， ∵ OC = 3
: C (3, 0)
①当以AB 为对角线时 ∵ C (3, 0) ，A(8,0)
:A 点相当于 C 点向右平移了5 个单位 :点 P 相当于点 B 向右平移了 5 个单位 ∵ B (0, 4)
: P (5, 4)
②当以AC 为对角线，点 P 在第四象限，不符合题意，舍去；
③当以BC 为对角线时
∵ C (3, 0) ，A(8,0)
:C 点相当于 A 点向左平移了 5 个单位
:P 点相当于点 B 向左平移了 5 个单位 ∵ B (0, 4)
: P (-5, 4)．
综上，P 点坐标为(5, 4) 或(-5, 4) ．
26 ．（1）30 ，2 ；（2）见解析；（3）上BDF 的大小不变，且上BDF = 60° ,理由见解析． 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角，计算 Ð ABD ，利用菱形的对角线互相垂直且平 分，勾股定理计算即可；
（2）根据菱形的性质，结合上ABC = 60° , 上APE = 60° , 得到上BAD = 上PAF = 120° , 继而 得到上BAP = 上DAF ，证明 △ABP≌△ADF 即可；
（3）根据菱形的性质，得到 上ABD = 上ADB = 30° ,根据 △ABP≌△ADF ，得到
上ABD = 上ADF = 30° ,计算得 上BDF = 60° .
【详解】（1）解：连接 AC 交BD 于点 O，如图 1：
∵菱形ABCD 的边长为 2 ，上ABC = 60° ,
:上上ABC = 30° , AC 丄 BD ，AB = 2 ，BO = DO ，
: BO = = = ， : BD = 2BO = 2 ，
故答案为：30 ，2 ；
（2）证明：Q 四边形ABCD ，APEF 是菱形，
:AB = AD ，AD ⅡBC ，AP = AF ，AF ∥ PE ，
:上BAD + 上ABC = 180° , 上APE + 上PAF = 180° ,
Q 上ABC = 60° , 上APE = 60° ,
:上BAD = 上PAF = 120° ,
:上BAD - 上PAD = 上PAF - 上PAD ，
:上BAP = 上DAF ，
:△ABP≌△ADF（SAS）；
（3）解：上BDF 的大小不变，且上BDF = 60° ,理由如下： Q 四边形ABCD 是菱形，上ABC = 60° ,
:AB = AD ，上ABD = 30° ,
:上ABD = 上ADB = 30° ,
Q△ABP≌△ADF ，
:上ABD = 上ADF = 30° ,
:上BDF = 上ADB + 上ADF = 30° + 30° = 60° .
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质， 平行的性质，含30 度角的直角三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键．