2024-2025学年河南省南阳市淅川县八年级下学期期末质量评估数学检测试卷

这是一份2024-2025学年河南省南阳市淅川县八年级下学期期末质量评估数学检测试卷，共42页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷上不要答题，请用0，23，8 ，，2 ，等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷共 8 页，三个大题，满分 120 分，考 试时间 100 分钟．
2.试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答 在试题卷上的答案无效．
3.答题前，考生务必将本人姓名、考号、考场、座位号填写在答题卡第一面的指 定位置上．
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号 填写在答题卡上．每小题 3 分，共 30 分）
1 ．下列各式中不属于分式的是( )
B ． C ． D ．
2 ．“智能座舱”是当前车企比拼的“红海战场”，多屏联动、舱内游戏、端侧 AI … 要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车选择了高通 骁龙 8295，该芯片采用 5 nm 工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最 先进的产品，5nm相当于0.000000005 m ，数据 0.000000005 用科学记数法可以表示为 ( )
A ．5 × 10-6 B ．5 × 10-8 C ．5 × 10-9 D ．0.5 × 10-8
3 ．平面直角坐标系也叫笛卡尔直角坐标系，它是以法国数学家笛卡尔的名字命 名的．在平面直角坐标系中，关于点(-2, 4) 和(2, -4) ，下列结论正确的是( )
A ．横坐标相同 B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称 D ．到原点的距离相同
4 ．一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得 到如表数据：
下列说法正确的是( )
A ．t 是自变量，h 是因变量 B ．h 每增加10cm ，t 减小 1.23
支撑物的高度h (cm)
10
20
30
40
50
60
70
小车下滑的时间t (s)
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
C ．随着 h 逐渐变大，t 也逐渐变大 D ．随着 h 逐渐升高，小车下滑的平均速 度逐渐加快
5．综合实践课上，嘉嘉画出△ABD ，利用尺规作图找一点 C，使得四边形ABCD 为平行四边形．图 1~图 3 是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是( )
A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等
C ．对角线互相平分 D ．一组对边平行且相等
6 ．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析， 并制作了如下表格：
如果每个评委打分都高 0.1，那么表格中数据一定不会发生变化的是()
A ．中位数 B ．众数 C ．平均数 D ．方差
7 ．如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成， 已知相邻两条平行线间的距离都是 1，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线 上，则正方形ABCD 的面积为( )
A ． B ． C ．3 D ．5
（1）作 BD 的垂直平 分线交BD 于点 O；
（2）连接AO ，在AO 的延 长线上截取OC = AO ；
（3）连接DC ，BC ，则四 边形ABCD 即为所求．
平均数
众数
中位数
方差
9.1
9.3
9.2
0.1
8 ．如图所示，在矩形ABCD 中，AD = 25 ，AB = 7 ，E 为BC 上一点，ED 平分
Ð AEC ，则 BE 的长为( )
A ．24 B ．20 C ．1 D ．3
9．如图所示：正方形ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是另一个正方形A¢B ¢C ¢O 的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形ABCD 的边长为 4，则两个 正方形重叠部分的面积为( )
A ．16 B ．8 C ．4 D ．1
10 ．如图所示：四边形ABCD 和四边形EFGH 都是菱形，且菱形ABCD 的面积为 9 cm 2 ，上A = 上E ，CD 落在EF 上，若 △BCF 的面积为4cm2 ，则△BDH 的面积为 ( )
A ．8 B ．8.5 C ．9 D ．9.5
二、填空题：（每小题 3 分，共 15 分）
11．一组数据的方差计算公式为 则这组 数据的平均数是 ．
12 ．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = 2x 和y = mx + n 的图象如图所示，则 关于 x 的一元一次不等式mx + n < 2x 的解集是 ．
13 ．定义新运算 则 的值是 ．
14 ．点 A 在函数 的图象上，点 B 在反比例函数y = 的图象上，点 C、D 在 x 轴上．若四边形 ABCD 是正方形且面积为 9，则 k= .
15．如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD ，BC 丄 CD ，AB = 8cm, CD = 10cm ， E 是DC 上一点，且DE = 3cm ，P 从 A 点出发以1cm/s 的速度向 B 点运动，同时 Q 从 D 点 出发以2cm/s 的速度向 C 点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止， 设运动时间为t (s) ，当t = 时，以 A、P、E、Q 为顶点的四边形是平行四边 形．
三、解答题：（本大题 8 个小题，共 75 分）
16 ．计算、解方程：
17 ．先化简，再求值 其中x 的取值范围如图所示，且 x 为正整数．
18．如图，已知一次函数y1 = k1x +1与y 轴交于点A ，与反比例函数y2 = (x >0) 的 图象交于点B(3, 2) ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点 P 为 x 轴上一动点，且PB + PA 的值最小．
①画出点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；
②求出此时 △PAB 的面积．
19 ．如图，在菱形 AECF 中，对角线 AC，EF 交于点 O，AB⊥CF 的延长线于点 B ，CD//AB 交 AE 的延长线于点 D．
（1）求证：四边形 ABCD 为矩形；
（2）若 AB ＝4 ，BC＝8，求菱形 AECF 的面积．
20 ．某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中， 甲、 乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为 100 分）分别是 87 ，85，
90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分， 每位评委最高 打 10 分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、 描述和分析，并给出了相关信息．
c.
甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
根据以上信息，回答下列问题：
(1) m = _______ ，n = _______；
(2)求丙同学的面试成绩p ；
(3)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评 委对______ 同学的评价更一致（填“甲” 、“乙”或“丙”）；
(4)按笔试成绩占40% ，面试成绩占60% 选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、 “乙”或“丙”）．
21．为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学 为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用 800 元购买篮球和 足球，则购买篮球的个数比足球的个数少 2 个，已知足球的单价为篮球单价的 4
.
5
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共 60 个，如果购买足球 m（m ≤ 45 ）个，总费用为 w 元，请写出 w 与 m 的函数关系式；
(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于 5200 元，那么应如何安排购买方案 才能使费用最少，最少费用应为多少？
同 学
评委打分的中 位数
评委打分的
众数
面试成
绩
方 差
甲
m
9 和 10
85
1.85
乙
8.5
8
87
2 s
丙
8
n
p
2.01
22 ．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 77 页的部分内容．
请根据教材提示，结合图 1，写出完整的证明过程．
【性质应用】如图 2，在 □ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O，EF 过点O 且与 边AD 、BC 分别相交于点E 、F ．求证：OE = OF ．
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接AF ，若EF 丄 AC ， △ABF 的周长是
12 ，则 □ABCD 的周长是_____．
23 ．综合与实践
【基本问题】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图1 ，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，上AEF = 90° ,且EF 交正方形外角平分线于点
F ．请你探究AE 与EF 存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
经过探究，小明得出结论是AE = EF ，而要证明结论 AE = EF ，常常需要证明 AE 和EF 所在的两个三角形全等，但 △ABE 和△ECF 显然不全等（一个是直角三角形 一个是钝角三角形），考虑到点E 是BC 的中点，小明想到的方法是：如图2 ，取AB 的中点M ，连接EM ，证明 △AEM = △EFC ，从而得到 AE = EF ．
平行四边形的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平 分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图 □ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ．
求证：OA = OC ，OB = OD ．
观察图形，OA 与OC 、OB 与OD 分别 属于哪两个三角形？
（1）小明的证法中，证明 △AEM = △EFC 的条件可以为____________．
A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．HL
【类比迁移】
（2）如图 3，若把条件“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上的任意一点”， 其余条件不变，AE = EF 是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，
请说明理由．
【拓展应用】
（3）已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是射线BC 上一动点，上AEF = 90° , 且EF 交正方形外角平分线于点F ，若 AB = 4 ，CE = 1，则 EF 长为____________．
1 ．B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母， 如果含有字母则是分式，如果不含有字 母则不是分式．
【详解】解： ， ， ，分母中含有字母，因此是分式．
的分母中均不含有字母，因此是整式，而不是分式．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的定义， 在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含 有未知数的式子即为分式．
2 ．C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于 1 的正数的一般形
式为a ×10-n ，其中1 ≤
a < 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．n 的
值由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
【详解】解：0.000000005 = 5 × 10-9 ， 故选：C．
3 ．D
【分析】本题考查了平面直角坐标系及位置的确定的基本概念，准确理解相关知识点是解题 的关键．
根据点的横纵坐标和点到坐标轴的距离求解即可．
【详解】A ．坐标(-2, 4) 的横坐标为-2 ，(2, -4) 的横坐标为 2，故选项错误；
B ．点(-2, 4) 和(2, -4) 的横坐标不一样，不关于x 轴对称，故选项错误；
C ．点(-2, 4) 和(2, -4) 的纵坐标不一样，不关于y 轴对称，故选项错误；
D ．坐标(-2, 4) 和(2, -4) 到原点的距离相同，故选项正确．
故选：D．
4 ．D
【分析】根据表格中的数据，分析其中的规律，即可做出正确的判断．
【详解】解：A、因为 t 随着 h 的变化而变化，即 h 是自变量，t 是因变量，原说法错误， 不符合题意；
B 、h 每增加10cm ，t 减小的值不一定是 1.23，原说法错误，不符合题意；
C、随着 h 逐渐变大，t 逐渐变小，原说法错误，不符合题意；
D、随着 h 逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快，符合题意． 故选 D．
【点睛】本题考查了用表格反映变量间的关系，观察表格获取信息是解题关键．
5 ．C
【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图 1，得出 BD 的中点O ，图 2，得出 OC = AO ，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形ABCD 为平行四边形， 判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的 判定定理．
6 ．D
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：如果每个评委打分都高 0.1，那么这组数据的波动幅度不会受到影响，
所以方差不会发生变化， 故选：D．
7 ．D
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，过点 D 作DF 丄 l1 ，垂足为 F ，延长 FD 交l4 于点 E，易证 上DEC = 90° ,根据正方形的性质可证
△ADF≌△DCE (AAS) ，得到CE = 1 ，由DE = 2 ，利用勾股定理得出CD = ，再根据正方形 的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点 D 作DF 丄 l1 ，垂足为 F ，延长 FD 交l4 于点 E，
Q l1 Ⅱ l4 ，上AFD = 90° ,
:上CED = 180° - 上AFD = 90°
: 上AFD = 上CED = 90° ,
Q 已知相邻两条平行线间的距离都是 1，四边形 ABCD 是正方形， : DF = 1, AD = CD, 上ADC = 90° ,
:上ADF + 上CDE = 上DCE + 上CDE = 90° ,
:上ADF = 上DCE ，
: △ADF≌△DCE (AAS)，
: CE = DF = 1 ，
Q DE = 2 ，
:正方形ABCD 面积是× = 5 ， 故选：D．
8 ．A
【分析】本题考查了矩形的性质， 勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，根据平行 线的性质以及角平分线的定义证明上ADE = 上AED ，根据等角对等边，即可求得 AE 的长， 在直角 △ABE 中，利用勾股定理求得BE 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形， : ADⅡBC ，
: 上DEC = 上ADE ，
又∵ 上DEC = 上AED ， : 上ADE = 上AED ，
: AE = AD = 25 ，
在直角 △ABE 中 故选：A．
9 ．C
【分析】本题考查了正方形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等 腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点O 作OM 丄 BC ，ON 丄 AB ，AB 和OA¢ 的交点为F ，BC 和OC¢ 的交点为E ，根据正方形的性质可证，四边形 BMON 是正方 形，得到S正方形BMON = 4 ，再证明 △FON≌△EOM (ASA ) ，得到 S△FON = S△EOM ，从而得出两个正
方形重叠部分的面积S正方形BMON ，即可得解．
【详解】解： 如图，过点O 作OM 丄 BC ，ON 丄 AB ，AB 和OA¢ 的交点为F ，BC 和OC¢ 的 交点为E ，
:上OME = 上ONF = 90° ,
Q 四边形ABCD 和A¢B ¢C ¢O 是正方形，
:上ABD = 上CBD = 45° , OB = OC ，上A¢OC ¢ = 上ABC = 90° , : 四边形BMON 是矩形，
Q 上ABD = 上CBD = 45° , OB = OC ，OM 丄 BC ，ON 丄 AB ，
: 四边形BMON 是正方形，
: S正方形BMON = BM 2 = 4 ，上MON = 90° ,
:上MON - 上C ¢ON = 上A¢OC ¢ - 上C ¢ON ，即 上EOM = 上FON ， 又Q 上OME = 上ONF = 90° , OM = ON ，
:△FON≌△EOM (ASA ) ，
: S△FON = S△EOM ，
:两个正方形重叠部分的面积= S△FON + S四边形BEON = S△EOM + S四边形BEON = S正方形BMON = 4 ， 故选：C．
10 ．B
【分析】本题考查了菱形的性质， 三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接FH ，根 据菱形的性质，推出BDⅡFH ，得到 S△BDF = S△BDH ，即可求解．
【详解】解：如图，连接FH ，
Q 四边形ABCD 和四边形EFGH都是菱形，
: ABⅡCD ，EH Ⅱ FG ，上上ADC ，上上EFG ，
:上A + 上ADC = 180° , 上E + 上EFG = 180° ,
Q 上A = 上E ，
:上ADC = 上EFG ，
:上BDC = 上EFH ，
:BDⅡFH ，
:△BDF 和 △BDH 同底等高，
: S△BDF = S△BDH ，
Q菱形ABCD 的面积为9 cm 2 ， △BCF 的面积为4cm2 ，
: S△BDH = 8.5cm2 ，
故选：B．
11 ．8
【分析】本题考查求方差和平均数，根据方差的计算公式，得到这组数据为5,8,8,11，根据 平均数的计算公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，平均数为 故答案为：8．
12 ．x >1 ##1< x
【分析】写出直线 y = 2x 在直线y = mx + n 上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2），
:关于 x 的一元一次不等式mx + n < 2x 的解集是x > 1 ， 故答案为：x > 1 ．
【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对 应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值．
【分析】本题考查代数式求值，读懂题意，得到 a - b= -3ab 是解决问题的关键．
根据新定义的运算，由a Å(-b) = 3 得到a - b= -3ab ，代入代数式求解即可得到答案． 解
即a - b = -3ab ，
故答案为： ．
14 ．15 或-3##-3 或 15
【分析】由四边形 ABCD 是正方形得 AB//x 轴，k > 0 ，延长 AB 交y 轴于 E，根据反比例系
k
数 k 的意义得S矩形BCOE=
, S矩形ADOE= 6=6 ，即S矩形BCOE - S矩形ADOE=9 ，即
k - 6=9 ，k < 0 时，
S矩形BCOE + S矩形ADOE=9 ，即
k + 6=9 求解以上两种情况即可．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形， :AB//CD，
即 AB//x 轴，
当 k > 0 ，
如图所示，延长 BA 交y 轴于 E，
k
∵ S矩形BCOE=
, S矩形ADOE= 6=6 ，正方形 ABCD 的面积为 9，
: S矩形BCOE - S矩形ADOE=9 ， 即 k - 6=9 ，
k = 15 ，
当k < 0 ，此时反比例函数 y = 的图象分布在第二象限才会存在正方形 ABCD. 如图所示，
k
∵ S矩形BCOE=
, S矩形ADOE= 6=6 ，正方形 ABCD 的面积为 9，
: S矩形BCOE+S矩形ADOE=9 ，
即
k + 6=9 ，
k = ±3 ，此时 k < 0 : k = -3
故答案为：15 或-3
【点睛】本题考查了反比例系数 k 的意义，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例系数 k 的意义并合理分类讨论．
15 ．1或3 ##3 或 1
【分析】分点 Q 在AE 的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形，建立等式求解即可．
【详解】当点 Q 在AE 的左侧时，设运动时间为t (s) ， 根据题意，得AP = tcm,DQ=2tcm ，
∵ DE = 3cm ，
: QE = (3- 2t) cm ， ∵ AB∥CD ，
: AP ⅡQE ，
故当AP = QE 时，以 A 、P、E、Q 为顶点的四边形是平行四边形， : t = 3- 2t
解得t = 1(s)．
当点 Q 在AE 的右侧时，设运动时间为t (s) ， 根据题意，得AP = tcm,DQ=2tcm ，
∵ DE = 3cm ，
: QE = (2t - 3) cm ， ∵ AB∥CD ，
: AP ⅡQE ，
故当AP = QE 时，以 A 、P、E、Q 为顶点的四边形是平行四边形， : t = 2t - 3
解得t = 3 (s) ．
故答案为：1或3 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定， 一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形是解题的关键．
(2) x = 1
【分析】本题考查了实数的混合运算， 零指数幂与负整数指数幂，解分式方程，正确的计算 是解题的关键；
（1）根据负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解；
（2）方程两边同时乘以(x - 3) ，化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 解：原式
（2）解：去分母，得1 + 2(x - 3) = x - 4 ， 解得x = 1
检验：把x =1 代入x - 3 的x - 3 = -2 ≠ 0
:分式方程的解为x = 1
17 ． x - 3 ，- 1
x + 3 2
【分析】本题考查分式的化简求值，用数轴表示不等式的解集，先利用分式的运算法则化简， 根据数轴确定x =1, 2 ，再根据分式有意义，得到 x = 1 ，代入计算即可．
解：原式
由数轴可知：x 的正整数解为 1 ，2， ∵ 2 - x ≠ 0 ，
: x ≠ 2 ，
:当x = 1 时，原式 ．
18 ．
(2)①P (1, 0)，图见解析；②1
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，轴 对称- 最短路线问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①求得A 点的坐标，作出A 点关于x 轴的对称点A¢ ,连接 A¢B ，与x 轴的交点即为P 点，此时PB + PA的值最小，为线段A¢B 的长度；②利用轴对称的性质，利用
S△PAB = S△A¢AB - 2S△AOP 即可求得．
【详解】（1）解：Q 一次函数y1 = k1x +1 与y 轴交于点A ，与反比例函数 的 图象交于点B(3, 2) ，
: 2 = 3k1 +1 ， ，
: 一次函数为 反比例函数为
解：①令x = 0 ，则 ， : A(0,1) ，
: A点关于x 轴的对称点A¢ (0, -1) ，连接 A¢B 如图，点P 即为所求，
设直线A¢B 为y = ax -1 ，
代入点B(3, 2) 得，2 = 3a -1 ， 解得a = 1，
:直线A¢B 为y = x -1 ， 令y = 0 ，则 x -1 = 0 ， 解得x = 1 ，
:P(1, 0) ；
@ Q△AOP ≌△A¢OP ，
19 ．（1）见解析；（2）20
【分析】（1）根据矩形的性质先证明四边形 AECF 是平行四边形，从而可证得四边形 AECF 是矩形；
（2）首先设 BF＝x，则 FC＝8 -x，然后由勾股定理求得（8 -x）2+42＝x2，求出 x 的值，
得出 FC，再根据菱形面积计算方法即可求得答案． 【详解】证明：（1）∵四边形 AECF 是菱形，
:AD//BC，
∵CD//AB，
:四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AB丄BC，
:平行四边形 ABCD 是矩形；
（2）解：∵四边形 AECF 是菱形，AB ＝4 ，BC＝8，
设 BF＝x，则 FC＝8 -x， :AF＝FC＝8 -x，
在 Rt△ABF 中 AB2+BF2＝AF2， :（8 -x）2＝x2+42，
解得：x ＝3，
:FC＝8 -3 ＝5，
:S 菱形AECF＝FC•AB ＝5×4 ＝20．
【点睛】此题主要考查了矩形的证明以及菱形的有关性质， 涉及了勾股定理，熟练掌握相关 基本性质是解题的关键．
20 ．(1)9 ，8
(2)丙同学的面试成绩为 83 分 (3)乙
(4)乙
【分析】本题考查折线统计图， 中位数、方差以及加权平均数， 理解中位数、方差的意义和 计算方法是正确解答的前提．
（1）根据中位数的定义可得 m 的值， 根据众数的定义可得 n 的值；
（2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分；
（3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可；
（4）根据加权平均数公式计算即可得出结论．
【详解】（1）解:由折线统计图得，甲的得分是 7 ，10 ，10 ，7 ，9 ，9 ，8 ，9 ，10 ，6， 把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是 9 ，9，故中位数 m = = 9 ，
乙的得分是 8 ，8 ，9 ，10 ，8 ，10 ，9 ，8 ，9 ，8， 其中 8 出现次数最多，故众数n = 8 ．
故答案为：9 ，8；
（2）解: 丙同学的面试成绩p = 6 × 10 × 20% + 8 × 10 × 40% + 9 × 10 × 10% +10 × 10 × 30% = 83 （分），
答:丙同学的面试成绩为 83 分；
（3）解:乙的平均得分为87 ÷ 10 = 8.7 （分），
乙的方差为 Q 0.61 < 1.85 < 2.01，可知，乙的得分的波动比甲和丙小，
所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致， 故答案为:乙．
（4）解: 甲的综合成绩为:87× 40% + 85 × 60% = 85.8 (分)，
乙的综合成绩为:85× 40% + 87 × 60% = 86.2 (分)，
丙的综合成绩为: 90× 40% + 83 × 60% = 85.8 (分)， 85.8 < 86.2 ．
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为:乙．
21 ．(1)篮球每个 100 元，足球每个 80 元；
(2) w = -20m + 6000 ；
(3)足球 45 个，篮球 15，费用最少为 5100 元．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价， 注意 分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出 w 与 m 的函数关系式；
（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用 应为多少；
【详解】（1）设篮球每个 x 元，足球每个 x 元， 由题意得 ，
解得：x = 100 ，
经检验：x = 100 是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为 （元）， 答：篮球每个 100 元，足球每个 80 元；
（2）由题意得：w = 80m + 100（ 60 - m ）= -20m + 6000 ， 即 w 与 m 的函数关系式为w = -20m + 6000 ；
（3）由题意可得：-20m + 6000 ≤ 5200 ，
解得：m ≥ 40 ，
: 40 ≤ m ≤ 45 ，
由（2）得：w ＝- 20m + 6000 ， Q -20＜0 ，
:w 随 m 的增大而减小，
:当m ＝ 45 时，w 取得最小值，
此时w ＝ 5100 元，60 -m ＝15 ，m ＝ 45 ，
故购买足球 45 个，篮球 15，费用最少为 5100 元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、 一元一次不等式的应用，解答本题的 关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22 ．教材呈现：证明见解析；性质应用：证明见解析；拓展提升：24
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质， 熟练掌握以 上知识点是解题的关键．
教材呈现：根据平行四边形性质得出AB = CD ，AB ⅡCD ，进而证明△ABO≌△CDO ，即 可得出结论；
性质应用：根据平行四边形性质得出OB = OD ，AD Ⅱ BC ，进而证明△DEO≌△BFO ，即 可得出结论；
拓展提升：由EF 丄 AC ，OA = OC ，可得EF 垂直平分线段AC ，得出CF = AF ，进而求出 AB + BC = 12 ，即可求解．
【详解】教材呈现
证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB = CD ，AB ⅡCD ，
:上BAO = 上DCO ，上ABO = 上CDO ，
:△ABO≌△CDO(ASA )， : OA = OC ，OB = OD ； 性质应用
证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: OB = OD ，ADⅡBC ，
:上EDO = 上FBO ，上DEO = 上BFO ， :△DEO≌△BFO(AAS) ，
: OE = OF ；
拓展提升：24；
解：Q EF 丄 AC ，OA = OC ，
:EF 垂直平分线段AC ，
: CF = AF ，
Q△ABF 的周长是12 ，
: AB + BF + AF = AB + BF + CF = AB + BC = 12 ， Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB = CD ，AD = BC ，
:YABCD 的周长为2(AB + BC ) = 2 × 12 = 24 ，
故答案为 24．
23 ．（1）C （2）成立；证明见解析 （3）5 或
【分析】本题考查正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判 定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注 意分类讨论思想的应用．
（1）作AB 的中点M ，连接ME ，根据ASA 即可证明△AME≌△ECF ，然后根据全等三角 形的对应边相等即可证得；
（2）在 AB 上截取BM = BE ，连接ME ，同（2）根据 ASA 即可证明△AME≌△ECF ，然 后根据全等三角形的对应边相等即可证得．
（3）分两种情况：点E 是线段BC 上的一点时和E 是边BC 延长线上的任意一点，分别画图 求解即可．
【详解】（1）解：取 AB 的中点M ，连接ME ．
Q 正方形ABCD 中，AB = BC ，上B = 90° : 上BAE + 上AEB = 90°
: 上AEF = 90°
: 上AEB + 上FEC = 90°
: 上BAE = 上FEC
又Q 点 E 是边BC 的中点
:MB = BE ，
:△MBE 是等腰直角三角形， :上BME = 45。，
\ 7AME = 135° ,
: CF 是正方形外角平分线
又Q 上ECF = 180° - 上FCG = 180° - 45° = 135° . \ 7AME = 7ECF ，
:在 △AME 和△ECF 中，
ï
ì上BAE = 上FEC
íAM = EC ， ïl上AME = 上ECF
:△AME≌△ECF (ASA ) ， 故选：C．
（2）AE = EF 成立．
证明：如图，在AB 上截取BM = BE ，连接ME ，
∵四边形ABCD 是正方形，
: AB = BC ，上B = 上DCB = 90° ,
: 上BME = 上 上BAE + 上AEB = 90° , : 上AME = 135° .
∵ CF 是正方形的外角平分线，
: 上ECF = 135° . ∵ 上AEF = 90° ,
: 上AEB + 上FEC = 90° , : 上BAE = 上FEC ．
∵ AB = BC ，BM = BE ， : AM = EC ，
在 △AME 和△ECF 中
: △AME≌△ECF (ASA )， : AE = EF ．
（3）解：分两种情况：当点 E 在边BC 上时，如图 1，
∵四边形ABCD 是正方形， :ÐB = 90° , BC = AB = 4 ， : BE = BC - CE = 4 -1 = 3 由勾股定理，得
由（2）知，EF = AE = 5 ；
当点E 是射线BC 上的一点且在点C 右侧时，如图所示，
∵四边形ABCD 是正方形， :ÐB = 90° , BC = AB = 4 ， : BE = BC - CE = 4 +1 = 5 ， 由勾股定理，得
连接AC ，过点F 作FG 丄 BC ，交BC 延长于G ，在FG 上截取FH = CE ，连接EH ，如图，
∵四边形ABCD 是正方形，
: 上B = 上BCD = 90° , 上ACD = 45° ,
: 上ACE = 上ACD + 上DCE = 135° , 上BAE + 上AEB = 90° , ∵ AE 丄 EF ，
: 上AEB + 上FEG = 90° , ∵ FG 丄 BC ，
: 上FEG + 上EFG = 90° , : 上EFG = 上AEB ，
∵ CF 是正方形的外角平分线，
∵ FG 丄 BC ，
: 上GFE = 上ECF = 45° , : CG = FG ，
∵ FH = CE ，
: CG - CE = FG - FH ，即 GE = GH ，
: 上GHE = 上GEH = 45° ,
: 上FHE = 180° - 45° = 135° , : 上ACE = 上FHE ，
在△ACE 和 △FHE 中，
: △ACE≌△EHF (ASA )，
综上，EF 的长为 5 或