2024-2025学年广西壮族自治区河池市环江县八年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区河池市环江县八年级下学期期末数学检测试卷，共32页。试卷主要包含了5h等内容，欢迎下载使用。
2025 年春季学期期末测试
八年级 数学
一．选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求．请用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1 ．计算： × 的结果是( )
A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
2 ．下列计算正确的是( )
A ． = ±2 B ． C ． D ．
3 ．下列式子一定是二次根式是( )
A ．、 B ．、 C ．37 D ．-
4 ．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A ． ·、 B ．s12 C ． D ． ·、ia2
5 ．下列是正比例函数的是( )
A ．y = 2x B ．y2 = 2x C ． D ．y = 2x2
6 ．某中学开展“情浓端午”经典诵读活动，9 位评委给小红打分后，成绩统计如下：
如果去掉一个最高分，再去掉一个最低分，表中的数据不受影响的是( )
A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差
7 ．某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评 分，具体成绩（百分制）如表：
平均数
众数
中位数
方差
90
92
89
0.3
项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
如果按照创新性占 60%，实用性占 40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐 的作品是( )
A ． 甲 B ． 乙 C ．丙 D ．丁
8 ．一次函数y = 2x 的图象经过的象限是( )
A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第二、三象限 D ．第一、二象限
9 ．下列说法中不正确的是( )
A．直线y= -2x 经过原点 B．直线y = -0.5x - 0.5 位于第二、三、四象限
C ．直线y = 3x - 2 不经过第二象限 D ．函数y = -2x + 3 的值随x 值增大而增大
10 ．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A ．当AB = BC 时，它是菱形 B ．当AC ^ BD 时，它是菱形
C ．当上ABC = 90° 时，它是矩形 D ．当AC = BD 时，它是正方形
11．如图，某轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地， 则下列说法错误的是( )
A ．轮船从甲地到乙地的平均速度为40km/h
B ．轮船在乙地停留了3.5h
C ．轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度
D ．甲乙两地相距300km
12 ．如图，直线 8 与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，上BAO 的平分线AC 交y 轴于点 C ，则直线 AC 的解析式是( )
A ． B ． C ． D ．
二．填空题（共 4 小题，4×3=12 分．请把答案写在答题卡上对应的答题区城 内．）
13 ．若代数式、/x - 2 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
14 ．柳州市 2024 年 5 月底天气开始炎热，5 月最后一周的最高温度(单位：℃)情况为：29、 31 、29 、24 、23 、29 、32，则这组数据的众数是：
15．将一次函数y = 3x +1 的图象向上平移2 个单位长度后所对应的函数解析式为 ．
16 ．一艘小船上午 7 点从某港口出发，它以10 海里/时的速度向北航行，1 小时后另一艘小 船也从该港口出发，以15 海里/时的速度向西航行，9 点时两艘小船相距 海里．
三．解答题（共 8 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤， 请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）
17 ．计算：
(1) - 2 + 2 ．
1
\ 2
(2) (4 - 4 + 3) ÷ 2 ．
18 ．如图，在矩形ABCD 中，AB > BC ，AC 是对角线．
(1)尺规作图：作线段AC 的垂直平分线EF ，分别交AB ，CD 于点E ，F （在图中标明相应 的字母，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接 AF ，CE ，求证：四边形 AECF 是菱形．
19 ．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇 A，B，城镇 A 到轨道的垂直距离AM为 5 千米，城镇 B 到轨道的垂直距离BN 为 10 千米，MN 的长度为 12 千米．
(1)求城镇 A ，B 之间的距离；
(2)现要在线段MN 上修建一个货运中转站 P，使得中转站 P 到城镇 A，B 的距离相等，此时 中转站应修建在离点 M 多远处？
20．某景区有甲、乙两条上山的小路， 均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分 台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：cm)
(1)分别求出两段台阶高度的中位数；
(2)小华同学计算了甲路段台阶高度的方差，即
求乙路段台阶高度的方差，并分析哪 段台阶路走起来更舒服？为什么？
21．某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代 元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是 普通门票，价格为 80 元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票 10 张及以上）每张门票 价格为普通门票的 8 折．设该班参加旅游的人数为x 人，购买门票共需要y 元．请解决以下 问题．
(1)如果每个学生都购买普通门票，则y 与x 之间的函数解析式为________；
(2)如果购买团体票，求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)请根据人数x 的变化，直接设计一种最省钱的购票方案．
22 ．如图，正方形ABCD 的边长为 2，点 E 是BC 边的中点，将 △DCE 沿直线DE 翻折到正 方形ABCD 所在的平面内，得到△DFE ，延长 DF 交AB 于点G ．
(1)判断BG 和FG 的数量关系，并说明理由；
(2)求四边形BEFG 的面积．
23 ．如图，在平面直角坐标系中，直线y = k x +1( k ≠0) 交x 轴于点A(3,0) ，交y 轴于点B ， 点C 是直线AB 上方第一象限内的动点．
(1)求直线AB 的表达式；
(2)当△ABC 为等腰直角三角形时，求点C 的坐标．
1 ．B
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可.
【详解】 × = = =4，故选 B.
【点睛】此题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握这个法则是解题的关键.
2 ．D
【分析】本题考查了二次根式的运算， 掌握二次根式的减、乘除运算法则是关键； 根据二次 根式的化简及运算逐项判断即可．
解 计算错误；
B 、 计算错误；
C 、 ÷ = = ，计算错误；
D 、 计算正确； 故选：D．
3 ．B
【分析】本题考查二次根式的概念，属于基础题型． 根据二次根式的概念即可判断．
【详解】解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故 A 错误；
B 、、是二次根式，故 B 正确；
C 、37 不是二次根式，故 C 错误；
D、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故 D 错误； 故选：B．
4 ．A
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个 条件是否同时满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式， 同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A. 符合最简二次的定义．故本选项正确；
B. 中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式．故本选项错误；
C. 该二次根式中含有分母，所以它不是最简二次根式．故本选项错误；
D. 该二次根式中含有能开得尽方的因式，所以它不是最简二次根式．故本选项错误； 故选 A.
【点睛】此题考查最简二次根式，掌握其定义是解题关键
5 ．A
【分析】本题考查了正比例函数的定义， 形如y = kx (k ≠ 0) 的函数叫做正比例函数，据此来 判断即可，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A 、y = 2x 是正比例函数，故选项符合题意； B 、y2 = 2x 不是正比例函数，故选项不符合题意；
C 、 表达式是分式，不是正比例函数，故选项不符合题意；
D 、y = 2x2 是二次式，不是正比例函数，故选项不符合题意； 故选：A ．
6 ．C
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、方差的概念， 根据去掉一个最高分，再去掉一 个最低分，表中的数据不受影响的是数据中间的数，即可解题．
【详解】解：Q 去掉一个最高分，再去掉一个最低分， : 一组数据中间的数不会改变，
即表中的数据不受影响的是中位数．
故选：C．
7 ．B
【分析】利用加权平均数计算总成绩, 比较判断即可 【详解】根据题意,得:
甲：90×60%+90×40%=90；
乙：95×60%+90×40%=93； 丙：90×60%+95×40%=92；
丁：90×60%+85×40%=88； 故选 B
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
8 ．A
【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数y = 2x 为正比例函数，k = 2 > 0 ，根据函 数的性质即可求解．
【详解】解：一次函数y = 2x 为正比例函数，k = 2 > 0 ，
故图象经过坐标原点和一、三象限， 故选：A．
9 ．D
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数图象与系数之间的关系，在y = -2x 中，当x =0 时，y = 0 ，据此可判断 A；根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断 B、 C 、D．
【详解】解：A、在 y= -2x 中，当x =0 时，y = 0 ，即函数 y= -2x 的图象经过原点，原说 法正确，不符合题意；
B 、∵ -0.5 < 0 ，
:函数y = -0.5x - 0.5 的图象位于第二、三、四象限，原说法正确，不符合题意； C 、∵ 3 > 0，- 2 < 0 ，
:函数y = 3x - 2 的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，原说法正确，不符合题意； D 、∵ -2 < 0 ，
:函数y = -2x + 3 的值随 x 值增大而减小，原说法错误，符合题意；
故选：D．
10 ．D
【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定 的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角 的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】解： A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知： 四边形ABCD 是平行四边形，当 AB = BC 时，它是菱形，故 A 选项正确，不符合题意；
B 、Q 四边形ABCD 是平行四边形，AC ^ BD ，
: 四边形ABCD 是菱形，故 B 选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC = BD 时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误，符合题意．
故选：D．
11 ．C
【分析】本题考查了函数的图象.
根据函数图象逐项分析即可．
【详解】解： A 、轮船从甲地到乙地的平均速度为300÷ 7.5 = 40 (km/h )，此选项不符合题意； B 、轮船在乙地停留了 3.5h ，此选项不符合题意；
C 、轮船从乙地到甲地的平均速度为300 ÷ (21-11) = 30 < 40 ，则轮船从乙地到甲地的平均 速度小于去时的速度，此选项符合题意；
D 、根据图象可知：甲、乙两地相距 300km，此选项不符合题意；
故选：C ．
12 ．C
【分析】对于已知直线，分别令x 与y 为 0 求出对应y 与x 的值，确定出A 与B 的坐标，在x 轴上取一点B¢ , 使 AB = AB ¢ , 连接 CB¢ , 由 AC 为上BAO 的平分线，得到 上BAC = 上B ¢ AC ， 利用SAS 得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到BC = B ¢ C ，设BC = B ¢C = x ， 可得出OC = 8 - x ，在Rt△B ¢OC 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出 C 坐标，设直线 AC 解析式为y = kx + b ，将A 与 C 坐标代入求出k 与b 的值， 即可确定出直线AC 解析式．
【详解】解：对于直线
令x = 0 ，则y = 8 ；令y = 0 ，则 则x = 6 ， : A(6,0) ，B(0,8) ，即 OA = 6 ，OB = 8 ，
根据勾股定理得
在x 轴上取一点B¢ ,使 AB = AB ¢ ,连接CB¢ ,
Q AC 为上BAO 的平分线，
:上BAC = 上B¢AC ，
Q在 △ABM 和 △AB 'M 中，
: △ABC≌△AB¢C(SAS) ，
:BC = B ¢C ，
设BC = B ¢C = x ，则 OC = OB - BC = 8 - x ， 在Rt△B ¢OC 中，B¢O = AB¢ - OA = 10 - 6 = 4 ， 根据勾股定理得：x2 = 42 + (8 - x)2 ，
解得：x = 5 ，
: OC = 3 ，即C(0, 3) ，
设直线AC 解析式为y = kx + b ，
将A 与C 坐标代入得 ，
解得： ，
则直线AC 解析式为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次 函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌 握待定系数法是解本题的关键．
13 ．x ≥ 2
【分析】本题考查二次根数有意义的条件，根据二次根式的被开放数为非负数得到
x - 2 ≥ 0 ，求出 x 的取值范围即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
: x - 2 ≥ 0 ，
解得：x ≥ 2 ．
14 ．29
【分析】本题考查众数的意义， 众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止
一个．
根据众数的定义求解即可．
【详解】解：数据 29 出现了 3 次，出现次数最多，所以这组数据的众数是 29． 故答案为：29．
15 ．y = 3x + 3
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数“左加右减，上加下减”的 平移规律是解题的关键．
直接利用一次函数平移规律，“左加右减”进而得出即可．
【详解】解：将函数 y = 3x +1 的图象向上平移 2 个单位长度后， 所得图象对应的函数关系式为：y = 3x + 1 + 2 = 3x + 3 ．
故答案为：y = 3x + 3 ．
16 ．25
【分析】本题考查了方向角， 勾股定理的应用．熟练掌握方向角，勾股定理的应用是解题的 关键．
如图，AB 为 9 点时两艘小船的距离，由题意知，
OA = 10 × 2 = 20，OB = 15 × 1 = 15，上AOB = 90° , 由勾股定理得， 计算求 解即可．
【详解】解：如图，AB 为 9 点时两艘小船的距离，
由题意知，OA = 10 × 2 = 20，OB = 15 × 1 = 15，上AOB = 90° ,
由勾股定理得 故答案为：25 ．
17 ．
(2) 2 + 2
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 先把二次根式化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式即可；
（1）先把二次根式化为最简的二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简的二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算 即可得到答案；
【详解】（1）解：原式 = 3 3 - 2 + 4 ，
= 5 ；
解：原式
18 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图步骤画图即可；
（2）设 EF 与AC 交于点O ，证明 AF = CF ，OA = OC ，再证明△AOE≌△COF(AAS) ， 可得 CF = AE ，可得四边形 AECF 为平行四边形，进一步可得结论.
【详解】（1）解：如图，EF 即为所求，
（2）解：设 EF 与AC 交于点O ， Q EF 为线段AC 的垂直平分线，
: AF = CF ，OA = OC ， Q 四边形ABCD 为矩形， :上D = 90° , ABⅡCD ，
:上FCO = 上EAO ，上CFO = 上AEO ， :△AOE≌△COF(AAS) ，
: CF = AE ，
: 四边形AECF 为平行四边形，
Q AF = CF ，
: 四边形AECF 为菱形.
【点睛】本题考查的是画线段的垂直平分线， 全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行 四边形的判定，菱形的判定，掌握以上基础知识是解本题的关键.
19 ．(1)城镇A ，B 之间的距离为 13 千米
(2)中转站P 应修建在离点M 的距离为 千米处．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用， 矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题 的关键．
（1）过点A 作AE 丄 BN 于点E ，连接AB ，可证明四边形AMNE 为矩形，得到AE = MN = 12 千米，NE = AM = 5 千米，求出BE = 5 （千米），由勾股定理可得 （千 米）；
（2）连接PA ，PB ，设 PM = x 千米，则PN = (12 - x)千米．由勾股定理可得
52 + x2 = (12 - x )2 +102 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点 A 作AE 丄 BN 于点E ，连接 AB ．
:上AEN = 90° .
Q AM 丄 MN ，BN 丄 MN ，
:上AMN = 90° , 上MNE = 90° , : 四边形AMNE 为矩形，
: AE = MN = 12 千米，NE = AM = 5 千米， :BE = BN - NE = 10 - 5 = 5 （千米），
:在Rt△AEB 中
答：城镇A ，B 之间的距离为 13 千米；
（2）解：如图，连接PA ，PB ，设 PM = x 千米，则PN = (12 - x)千米． Q PA = PB ，
: AM 2 + PM2 = PA2 = PB2 = PN2 + BN2 ， : 52 + x2 = (12 - x )2 +102 ，
解得 ，
: 中转站P 应修建在离点M 的距离为 千米处．
20 ．(1)甲中位数为 15 厘米，乙中位数为 16 厘米
(2)乙方差为，甲路段的台阶走起来更舒服一些，见解析 【分析】本题考查了求中位数，求方差.
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）先求出乙路段高度的平均数，进而求出乙路段高度的方差，再与甲路程高度的方差比 较即可得到结论．
【详解】（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为 15 ，15，
: 甲路段台阶高度的中位数为
将乙路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为 15 ，17， : 乙路段台阶高度的中位数为
解 乙
= 15 (cm) ，
2 2
:s甲 < s乙 ，
: 甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小即波动较小，比较稳定， : 甲路段的台阶走起来更舒服一些．
21 ．(1) y = 80x ，详见解析
详见解析
(3)当人数x < 8 时，按普通门票购票省钱；当人数x =8 时，按普通门票购票和按团体门票购 票一样省钱；当人数x > 8 时，按团体门票购票省钱，详见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的实际运用，
（1）买普通门票可根据：买票总费用＝门票单价×门票张数，列函数关系式；
（2）买团体票，需要一次购买门票 10 张及以上，即x ≥10，利用打折后的票价乘人数即可；
（3）根据 8 张普通门票的费用= 10 张团体门票费用，分类讨论：x = 8 、x < 8 、x > 8 三种 情况讨论；
根据数字特点找出临界点是解决问题的关键．
【详解】（1）∵普通门票，价格为 80 元/张，该班参加旅游的人数为 x 人，购买门票共需要y 元，
: y = 80x ，
故答案为：y = 80x ；
（2）∵团体门票（一次性购买门票 10 张及以上）每张门票价格为普通门票的 8 折．该班参 加旅游的人数为 x 人，购买门票共需要y 元，
（3）∵80× 8 = 64 × 10 ，
当人数x < 8 时，按普通门票购票省钱；
当人数x =8 时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；
当人数x > 8 时，按团体门票购票省钱．
22 ．(1) BG = FB ，理由见解析
(2)0.5
【分析】本题主要考查了正方形的性质， 勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和 性质：
（1）连接 GE ，证明 Rt △EBG≌Rt△EFG ，即可解答；
（2）设 GB = GF = t ，则 AG = 2 - t ，DG = 2 + t ，在Rt△ADG 中，根据勾股定理可得t = ， 再由S四边形BEFG = S正方形ABCD - S△AGD - S△ECD - S△EFD ，即可求解．
【详解】（1）解：BG = FB ，理由如下：
连接GE ，
Q 四边形ABCD 是正方形，
:上B = 上C = 90° , AB = BC = CD = DA = 2 ， Q 点E 是BC 边的中点，
:BE = CE = 1，
Q将 △DCE 沿直线DE 翻折得△DFE ，
:上1= 上C = 90° , CE = FE = BE = 1 ，DC = DF = 2 ，
:上2 = 上B = 90° ,
Q GE = GE ，
: Rt △EBG≌Rt△EFG (HL) ， :BG = FG ；
（2）解：设GB = GF = t ，则 AG = 2 - t ，DG = 2 + t ， 根据勾股定理得AG2 + AD2 = DG2 ，
即(2 - t)2 + 22 = (2 + t)2 ， 解得
: S四边形BEFG = S正方形ABCD - S△AGD - S△ECD - S△EFD
= ．
23 ．
(2) (2, 2) 或(4, 3) 或(1, 4)
【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思 想解答是解题的关键．
（1）把点 A(3, 0) 代入y = kx +1(k ≠ 0) ，即可求解；
（2）分三种情况，结合全等三角形的判定和性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：Q 直线y = kx +1(k ≠ 0) 交x 轴于点A(3, 0) ，
: 0 = 3k + 1
:直线AB 的解析式是
（2）解：当 x = 0 时，y = 1， : 点B(0,1)
如图，当C 为直角顶点时，
过C 作CN 丄 y 轴于N ，过 A 作AM 丄 CN 于M ，
Q△ABC 为等腰直角三角形，
: AC = BC ，上1 = 90° - 上2 = 上3 ，
Q 上4 = 上5 = 90° ,
: △ACM≌△CBN(AAS) ， : AM = CN ，CM = BN
Q 上4 = 上5 = 上6 = 90° ,
: 四边形OAMN是矩形，
:MN = OA = 3 ，AM = ON = BN +1 = CN ① ,
由①②解得：CN = 2 ，BN = 1 ，
: ON = OB + BN = 2 ，
: C(2, 2) ，
如图，当A 为直角顶点时，过C 作CR 丄 x 轴于R ，
同理可证 △AOB≌△CRA (AAS) ， : AR = OB = 1，即 OR = 3 +1 = 4 ， 又CR = OA = 3 ，
:C(4,3) ，
如图，当B 为直角顶点时，过C 作CK 丄 y 轴于K ，
同理可证 △AOB≌△BKC (AAS) ， :BK = OA = 3 ，即 OK = 1+ 3 = 4 ， 又CK = OB = 1，
: C(1, 4) ，
综上所述，点C 坐标为(2, 2) 或(4,3) 或(1, 4) ．