2024-2025学年广东省肇庆地区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广东省肇庆地区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共28页。试卷主要包含了5° , 等内容，欢迎下载使用。
2024-2025 学年第二学期期末教学质量检测卷
七年级数学
注意事项：
1 ．答题前，考生务必认真核对条形码上姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答 题卡指定位置上．
2 ．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答 案的标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字 体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题答题区域（黑色线框）内作答，超出答 题区域书写的答案无效．
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1 ．若 ·、有意义，则n 的值可以是( )
A ．6.1 B ．4.2 C ．2.3 D ．0
2 ．数据17, 14, 16, 17, 15 的中位数是( )
A ．17 B ．16 C ．15 D ．14
3 ．如图，在平行四边形ABCD 中，上ABC = 53° ,则 ÐD 的度数是( )
A ．37° B ．53° C ．127° D ．137°
4 ．下列各组数中，是勾股数的是( )
1 1 1
A ．1, 1, ·、i3 B ．6,8,10 C ． D ．3, -4, 5
5 ．若点M (3, -2) 在函数y = 3x + b 的图象上，则b 的值为( )
A ．9 B ．-7 C ．-8 D ．-11
6 ．数学活动课上，要用铁丝围一个长为 cm ，宽为 2 cm 的矩形框，若不考虑拼接，则 需铁丝的长度为( )
A ． B ． C ．6 D ．2
7 ．直线y = x + 1 向上平移 6 个单位长度后与y 轴交点坐标是( )
A ．(-7,0) B ．(-1, 0) C ．( 0, 1) D ．(0, 7)
8 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O ，过点D 作DH丄 AB 于点H ，连接OH ， 若AC = 9 ，S菱形ABCD=27 ，则 OH 的长为( )
A ．3 B ．4 C ．4.8 D ．5
9 ．小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完 全展开，得到的平面图形一定是( )
A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．菱形 D ．正方形
10 ．一次函数y = mx + n 与y = ax + b 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式 mx + n > 1 的解为( )
A ．x < -2 B ．x > -2 C ．x < -3 D ．x > -3
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11 ．计算 ．
12．若点A(2, y1 ), B (-2, y2 ), C (-3, y3 ) 在一次函数 5 的图象上，则y1, y2, y3 的大小关 系是 ．
13．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大 家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架 Ð AOB ，
然后将橡皮筋两端分别固定在点 A, B 处，拉动橡皮筋上到 C 处．当四边形 OACB 是菱形时， 小明量得橡皮筋是固定时长的2 倍，则上AOB = ° .
14 ．已知一组数据x x x x12310,,,… 的平均值为3 ，则数据x1 + 3, x2 + 3, x3 + 3… , x10 + 3 的平均值 为 ．
15 ．如图， △ABC、△DCE、△GEF 都是等边三角形，点B、C、E、F 在同一直线上，点
A、D、G 在同一直线上，若上CAD = 30° ,若 EF = 1，则S△ABC = ．
三、解答题（每小题 7 分，共 21 分）
16 ．计算
17 ．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1．
(1)直接写出线段AB 、CD 的长度；
(2)在图中画线段EF ，使得
(3)请判断AB 、CD 、EF 三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
18 ．如图，点 A 、F 、C 、D 在同一条直线上，点B ，E 分别在直线AD 的两侧，已知 AB = DE ，上A = 上D ，AF = DC ．求证：四边形BFEC 是平行四边形．
四、解答题（每小题 9 分，共 27 分）
19．2025 年 3 月 22 日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重 要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的 水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每5 min 记录一次容器中的水量，如下 表．
(1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这 些点．
(2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出y 关于t 的函数解析式．
(3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下12 小时的漏水量．
20．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人
10 次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10 个，每垫球到位1个记1分．
时间t / min
0
5
10
15
20
25
量杯中的水量 y / mL
0
10
20
30
40
50
运动员丙测试成绩统计表
根据以上信息，解决下列问题：
(1)若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7 ，则成绩表中的 a =____ ，b =_____；
(2)已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为S = 0.81 ，S = 0.4 ，S = 0.8 ，那么队员_____
发挥的稳定性最好．（填甲或乙或丙）
(3)如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更 合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明．
21 ．在Rt△ABC 中，上C = 90°, AC = 6, BC = 8, D, E 分别是斜边AB 和直角边CB 上的点，把
△ABC 沿着直线DE 折叠，顶点B 的对应点是点B¢ .
(1)如图（1），如果点 B¢ 和顶点A 重合，求CE 的长．
(2)如图（2），如果点 B¢ 落在直角边AC 的中点上，求CE 的长．
(3)已知点E 为BC 中点，那么是否存在一点D 在AB 边上，使得△ABC 沿直线DE 折叠后， 点B 刚好落在直线AC 上？若存在点D ，求 △DBE 的面积；若不存在，请说明理由．
五、解答题（22 题 13 分，23 题 14 分，共 27 分）
22．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造和美特色，推动乡村振兴．南街街道办 是从和美乡业、和美乡貌、和美乡建、和美乡风、和美乡境、和美乡智、和美乡治共 7 个方
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
b
7
5
8
a
8
7
面进行典型村创建．其中，为了全面开展绿美生态建设，需要购买甲、乙两种树苗进行栽 植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵 2 元，且用240 元钱购买甲种树苗的株数与用360 元钱 购买乙种树苗的株数刚好相同．
(1)求甲、乙两种树苗每株的价格．
(2)调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为90% 和95% ．现街道办计划购买甲、乙 两种树苗共300 株，要使这批树苗的成活率不低于93% ，且使购买树苗的费用最低．那么应 如何选购树苗？最低费用是多少？
23 ．问题提出 如图 1，正方形 ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点 E 在BO 上，连接
AE ，作 EF T AE 交CD 于点F ，FG 平分7EFC 交AC 于G ，探究 AG 与AE 的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图 2，当点E 与O 重合，点F 与D 重合时，直接写出AG 与AE 的数量关系；
（2）再探究一般情形，如图 1，探究 AG 与AE 的数量关系：
问题拓展 （3）如图 3，连接OF ，若正方形 ABCD 的边长为a ，请直接写出 OF - CG 的最 小值为________（用含a 的式子表示）．
1 ．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的 关键．
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，即n - 5 ≥ 0 ，解得 n ≥ 5 ，再判断即可． 【详解】解：要使 、/n - 5 有意义，需满足被开方数n - 5 ≥ 0 ，解得 n ≥ 5 ，
观察选项，只有 A 选项6.1 满足n ≥ 5 ，而 B 、C 、D 选项均小于 5，不符合条件．
故选：A．
2 ．B
【分析】此题考查了中位数，先将数据按大小顺序排列，再取中间位置的数即可．
【详解】将数据 17 、14 、16 、17 、15 按从小到大排列为：14 、15 、16 、17 、17． 共有 5 个数据，为奇数个，
:中位数为中间的第 3 个数，即 16．
故选 B．
3 ．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质， 熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平 行四边形的对角相等即可得解．
【详解】解：:四边形ABCD 是平行四边形，
: 上D = 上ABC = 53° .
故选：B．
4 ．B
【分析】本题考查了勾股数．
根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数；据此解答即可． 【详解】解：A 、不是正整数，
不是勾股数；
B 、: 62 + 82 = 102 ， :6,8,10 是勾股数；
C 、 ， ， 不是正整数
不是勾股数；
D 、∵ -4 不是正整数， :3, -4,5 不是勾股数． 故选：B
5 ．D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函 数关系式y = kx + b ”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出
-2 = 3 × 3 + b ，解之即可求出b 的值．
【详解】解：∵点M(3, -2) 在函数y = 3x + b 的图象上， : -2 = 3 × 3 + b ，
解得：b = -11．
故选：D．
6 ．C
【分析】本题考查了二次根式的加法，根据矩形周长公式，即可解答． 【详解】解：Q 矩形周长为
: 需铁丝的长度为6 cm ． 故选：C．
7 ．D
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 先求出直线向上平移 6 个单位长度后的解析式，再令x =0 ，求出 y 的值即可．
【详解】解：原直线 y = x + 1 向上平移 6 个单位，新解析式为：y = x +1+ 6 = x + 7. 令x =0 代入平移后的解析式：y = 0 + 7 = 7.
因此，与y 轴交点坐标为(0,7) ， 故选：D．
8 ．A
【分析】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一 半是解题的关
根据菱形的面积公式求出BD = 6 ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求 解．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，
: AC 丄 BD ，DO = BO ，AO = OC ，
: AC = 9 ，S菱形ABCD = AC . BD = 27 ，
∴BD = 6 ，
QDH 丄 BC ，
:上DHB = 90° ,
Q DO = BO ，
故选：A．
9 ．C
【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由 此即可得出答案．
【详解】解： 由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的 长均相等，
:得到的平面图形一定是菱形， 故选：C ．
10 ．A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定 系数法求出直线y = ax + b 的解析式为y= x + 3 ，根据解析式可以求出当 x = -2 时，
y = x + 3 = 1 ，由图象可知，一次函数y = mx + n 的y 随x 增大而减小，所以当x < -2 时， mx + n > 1 ．
【详解】解：Q 直线y = ax + b 经过点(-3, 0) 和(0, 3)，
可得：
解得：
: y = ax + b 为y = x + 3 ，
当x = -2 时，y = x + 3 = 1 ，
:一次函数y = mx + n 与y = ax + b 的交点坐标是(-2,1)， 由图象可知，一次函数y = mx + n 的y 随x 增大而减小，
: 当x < -2 时，mx + n > 1 ． 故选：A．
11 ．x
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法， 二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的 条件得出x ≥ 0 ，再计算二次根式的乘法，最后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：根据题意可知：x ≥ 0 ，
故答案为：x
12 ．y1 > y2 > y3 ## y3 < y2 < y1
【分析】本题主要考查一次函的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据题意判断出函数的增减性解答即可．
【详解】解：:一次函数 ，
:y 随 x 的增大而增大，
: -3 < -2 < 2 ，
: y3 < y2 < y1 ．
故答案为：y3 < y2 < y1 ．
13 ．60
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出 △ABC 为等边三角形，利用菱形性质得到上AOB = 上C = 60° 即可．
【详解】解：Q 四边形AOBC 为菱形，
: AC = BC = OB = AO ，
Q AC + BC = 2AB ，
: AC = AB = BC ，
:上C = 60° ,
Q 四边形AOBC 为菱形， :上AOB = 上C = 60° ,
故答案为：60 ．
14 ．6
【分析】本题考查的是算术平均数，解决本题的关键是掌握平均数的计算方法．
由x x x x12310,,,… 的平均值为3 得x x x x12310++++ =… 30 ，再根据平均数的计算公式计算数
据x1 + 3, x2 + 3, x3 + 3 … , x10 + 3 的平均数即可．
【详解】解：∵ x x x x12310,,,… 的平均值为3
: x x x x12310++++ =… 30 ，
: x1 + 3, x2 + 3, x3 + 3… , x10 + 3 平均数= (x1 + 3 + x2 + 3 + x3 + 3 + … + x10 + 3) ÷ 10
= (30 + 3×10) ÷ 10 = 6 ，
故答案为：6．
15 ．4
【分析】本题考查等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，易得
△ACD,△EGD 均为含 30 度角的直角三角形，根据含 30 度的直角三角形的性质，求出AC 的 长，作AH丄 BC ，三线合一结合勾股定理求出AH 的长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵ △ABC、△DCE、△GEF 都是等边三角形，
: 上ACB = 上ECD = 上DEC = 上GEF = 上CDE = 60° , EG = EF, BC = AC, CD = DE ， : 上ACD = 上DEG = 180° - 60° - 60° = 60° ,
∵ 上CAD = 30° ,
: 上CDA = 90° ,
: 上CDG = 上CDE + 上EDG = 90° ,
: 上EDG = 30° ,
: 上EGD = 180° - 上EDG - 上DEG = 90° ,
: DE = 2EG = 2EF = 2 ，
: BC = AC = 2CD = 2DE = 4 ，
作AH 丄 BC ，则
: AH = = 2 ，
故答案为：4 ．
16 ．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算， 熟练掌握二次根式的运算性质是解题的关键．先 计算除法和乘法，再计算减法合并同类二次根式即可．
解 = 2 -
= 、
17 ．
(2)见解析
(3)能，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，利用网格的性质解题是关键．
（1）结合网格的特点，利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理画出 EF ；
（3）利用勾股定理得逆定理，即可判断三角形．
【详解】（1）解：由网格可知
解：如图 即为所求作；
（3）解：以 AB 、CD 、EF 三条线段能构成直角三角形，理由如下： Q EF2 = 5 ，CD2 = 8 ，AB2 = 13，且5 + 8 = 13，
:EF2 + CD2 = AB2 ，
: 以AB 、CD 、EF 三条线段能构成直角三角形．
18 ．见解析
【分析】题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出 △AFB≌△DCE 是解题关键．
首先证明 △AFB≌△DCE(SAS) ，进而得出 FB = CE ，FB∥CE ，进而得出结论． 【详解】证明：在△AFB 和 △DCE 中，
∴△AFB≌△DCE(SAS) ，
:FB = CE ，上AFB = 上DCE ， :上CFB = 上FCE ，
∴FB Ⅱ CE ，
: 四边形BFEC 是平行四边形．
19 ．(1)见解析；
(2) y = 2t ；
(3)1440mL ．
【分析】本题考查的是在坐标系内描点， 利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函 数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键．
（1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可；
（2）根据图象得，y 是关于 t 的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可；
（3）把 t = 60 × 12 = 720 代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：根据图象得，y 是关于 t 的正比例函数， 设函数解析式为y = kt (k ≠ 0)．
把(5,10) 代入y = kt ， 得5k = 10 ．
解得k = 2 ．
:y 关于 t 的函数解析式为y = 2t ．．
（3）解：当 t = 12 × 60 = 720min ， y = 2 × 720 = 1440 (mL)
答：这种漏水状态下 12 小时的漏水量为1440mL
20 ．(1)7 ，7；
(2)乙；
(3)推荐乙更合适，理由见解析．
【分析】本题主要考查了条形统计图、折线统计图和统计表的结合， 平均数，众数，根据方 差做决策，解题的关键是熟练掌握以上公式和概念．
（1）利用平均数和众数的公式和概念进行求解即可；
（2）利用方差的意义进行选择即可；
（3）利用平均数和方差做决策即可．
【详解】（1）解：运动员丙测试成绩的平均数和众数都是 7，则 a = 7 ，
解得b = 7 ，
故答案为：7 ，7；
（2）解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定， ∵ 0.4 < 0.8 < 0.81
:队员乙发挥的稳定性最好， 故答案为：乙；
（3）解：推荐乙队员更合适，理由如下：
乙 × (6 + 8 + 7 + 7 + 6 + 7 + 8 + 7 + 7 + 7) = 7
x丙 = 7
通过平均数来看选择乙和丙，
又∵ S = 0.4 ，S = 0.8 ，即 0.4 < 0.8 ，队员乙发挥的稳定性最好，
:推荐乙队员更合适．
(3)6．
【分析】本题考查了折叠的性质， 勾股定理，三角形的中位线定理，熟练掌握折叠的性质和 勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得AE = BE ，设CE= x ，则AE = BE = 8 - x ，再由勾股定理进行计算即可得 出答案；
（2）由题意得 ，由折叠的性质可得：BE = B ¢E ，设CE = y ，则BE = B ¢E = 8 -y ， 再由勾股定理计算即可得解．
（3）根据题意，易得，当B¢ 与点C 重合时，满足题意，易得DC = BD ，推出DE 为△ABC 的中位线，DE 丄 BC ，根据三角形的面积公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：若点 B¢ 和顶点A 重合，由折叠的性质可得：AE = BE ， 设CE = x ，则 AE = BE = BC - CE = 8 - x ，
Q 上C = 90° ,
:由勾股定理得：AC2 + CE2 = AE2 ， :62 + x2 = (8 - x)2 ，
解得： ，
（2）解：∵点B¢ 落在AC 的中点，
设CE = y ，则B¢E = BE = BC - CE = 8 -y ， Q 上C = 90° ,
:由勾股定理得：B ¢C2 + CE2 = B ¢E2 ， :32 + y2 = (8 - y)2 ，
解得： ，
即CE 的长为： ．
（3）解：由折叠的性质可得：B ¢E = BE ，
∵点 E 为BC 的中点，BC = 8 ，
如图所示，当点B¢ 与顶点 C 重合时，点 B 刚好落在直线AC 上．
由折叠的性质可得：DB = DB ¢ , : 上B = 上DCB ，
∵ 上ACB = 90° ,
: 上B + 上A = 上DCB + 上ACD = 90° , : 上A = 上ACD ，
: AD = CD = BD ，
:点 D 为线段 AB 的中点，
∵ E 为BC 的中点，
: DE 为△ABC 的中位线，DE 丄 BC ，
: △DBE的面积 = 1 DE . BE = 1 × 3 × 4 = 6 ．
2 2
22 ．(1)甲种树苗每株的价格为 4 元，乙种树苗每株的价格为 6 元；
(2)购买甲种苹果苗 120 株，乙种苹果苗 180 株时费用最低，最低费用是 1560 元．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、 一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识 点，读懂题意、找出数量关系列出方程和不等式以及函数关系式是解题的关键．
( ) 设甲种树苗每株的价格为 x 元，则乙种树苗每株的价格为(x + 2) 元，再根据题意列分 式方程求解并检验即可解答；
( ) 设甲种树苗购买 b 株 ，则乙种树苗购买(300 - b) 株购买的总费用为 W 元，再根据题 意列不等式可得0 ≤ b ≤ 120 、W = -2b +1800 ，最后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲种树苗每株的价格为 x 元，则乙种树苗每株的价格为(x + 2) 元， 根据题意可得 ，
解得：x = 4 ，
经检验x = 4 是原分式方程的解且符合题意．
所以乙种树苗每株的价格为4 + 2 = 6 （元）．
答 ：甲种树苗每株的价格为 4 元，乙种树苗每株的价格为 6 元．
（2）解：设甲种树苗购买 b 株 ，则乙种树苗购买 (300 - b) 株，购买的总费用为 W 元，
由题意可得：90%b + 95% (300 - b) ≥ 300× 93% ，
解得：b ≤ 120 ，
: 0 ≤ b ≤ 120 ，
由题意可得：W = 4b + 6 (300 - b) = -2b +1800 ， : k = -2 < 0 ，
: W 随 b 的增大而减小，
:当b = 120 时，W最低 = 1560 元．
答 ：购买甲种苹果苗 120 株，乙种苹果苗 180 株时费用最低，最低费用是 1560 元．
23 ．（1）AG = AE
（2）AG = AE
（3）
【分析】（1）根据正方形的性质结合已知条件可得△AEF 为等腰直角三角形，则AF = AE ， 再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定得到AG = AF ，进而可得结论；
（2）如图 1，过 E 作EP 丄 AD 于 P ，EH 丄 CD 于 H，证明四边形 PEHD 是正方形，则
∠PEH = 90° , PE = EH ，证明 △APE≌△FHE (ASA ) 可得△AEF 是等腰直角三角形，
AF = AE ，利用等腰三角形的判定，结合三角形的外角性质得到AG = AF = AE 即可；
（3）如图 3，推导出OF - CG = OF - (AC - AG ) = OF + AF - 2a ，故要求 OF - CG 的最小 值，只需求OF + AF 的最小值，作点 A 关于CD 的对称点A¢ ,连接DA¢ 、A¢F 、OA¢ ,由
OF + AF = OF + A¢F ≥ OA¢ , 当A¢ 、F、O 共线时取等号，此时OF + AF 最小，最小值为OA¢ 的长，利用勾股定理求解OA¢ 的长．
【详解】解：（1）AG = AE ，
证明：如图 2 ，∵四边形ABCD 是正方形，
: 上DAC = 上ADB = 上BDC = 上DCA = 45° , 上AOD = 90° , ∵点E 与O 重合，点F 与D 重合，FG 平分上EFC ，
: △AEF 为等腰直角三角形，上EFG = 上上EFC = 22.5° , : AF = AE ，
∵ 上AFG = 上AFE + 上EFG = 67.5° , 上AGF = 上FCG + 上CFG = 67.5° , : 上AFG = 上AGF ，
: AG = AF = AE ；
（2）AG = AE ．
证明：如图 1，过 E 作EP 丄 AD 于 P ，EH 丄 CD 于 H，则 上EPD = 上PDH = 上DHE = 90° , :四边形PEHD 是矩形，又上PDE = 45° ,
: 上PED = 上PDE = 45° ,
: PD = PE ,
:四边形PEHD 是正方形，则∠PEH = 90° , PE = EH ； ∵ EF 丄 AE ，
: 上AEF = 90° ,
: 上AEP = 上FEH = 90° - 上PEF ，
又PE = EH ，上APE = 上FHE = 90° , : △APE≌△FHE (ASA ) ，
: AE = EF ，
: △AEF 是等腰直角三角形，
: AF = AE ，上EFA = 上EAF = 45° , : FG 平分上EFC ，
: 上EFG = 上CFG ；
: 上AFG = 上EFA + 上EFG = 45° + 上EFG ，上AGF = 上FCG + 上CFG = 45° + 上CFG ， : 上AFG = 上AGF ，
: AG = AF = AE ；
（3）如图 3，连接 AF ，
:正方形ABCD 的边长为a ， : AC = a ，
由（2）知 AG = AF ，
: OF - CG = OF - (AC - AG ) = OF + AF - a ，
:要求OF - CG 的最小值，只需求OF + AF 的最小值，
作点 A 关于CD 的对称点A¢ ,连接DA¢ 、A¢F 、OA¢ ,则 A¢F = AF ，DA¢ = AD = a ，
:OF + AF = OF + A¢F ≥ OA¢ , 当A¢ 、F、O 共线时取等号，此时OF + AF 最小，最小值为OA¢ 的长，
过 O 作OM 丄 AD 于 M，则OM = MD = 1 AD = a ，
2 2
在Rt△OMA¢ 中，上 ，
: OF + AF 的最小值为 ，
此时OF - CG 的最小值为 故答案为
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性 质、勾股定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、最短路径问题等知识， 熟练掌握相关 知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键．