2024-2025学年广东省清远市连州市八年级下学期期末评价数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广东省清远市连州市八年级下学期期末评价数学检测试卷，共30页。
八年级数学试题
说明：1 ．全卷共 6 页，满分为 120 分，考试用时为 120 分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、 姓名、考场号、座位号．用 2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3 ．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4 ．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5 ．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题列出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下 列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．在下列数学式子：① -2 < 0 ，②2x - 5 > 0 ，③ b = 2 ，④ x2 - x ，⑤3x + 2y ≥ 0 中，是 不等式的有( )
A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个
3 ．如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明先在 AB 外选一点 C，然后测出 AC，BC 的中点 M， N，若MN的长为 10 米，则A ，B 间的距离是( )
A ．10 米 B ．20 米 C ．30 米 D ．40 米
4 ．如果分式 有意义，则 x 的取值范围是( )
A．x= -3 B．x＞ -3 C．x≠ -3 D．x＜ -3
5 ．四边形ABCD 是平行四边形，若上B + 上D = 100° ,则 ÐD 的度数为( )
A ．40° B ．50° C ．60° D ．80°
6 ．已知ab = 10 ，a + b = 7 ，那么代数式 a2b + ab2 的值为( )
A ．7 B ．10 C ．17 D ．70
7 ．已知等腰三角形两边长分别为 3 和 6，则该三角形的周长是( )
A ．12 B ．15 C ．12 或 15 D ．6
8 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90° , BD 是△ABC 的角平分线，若CD = 3cm ，则点 D 到AB 的距离为( )
A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm
9 ．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问 题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行 平面镶嵌的是( )
A ．全等三角形 B ．边长相等的正方形
C ．边长相等的正三角形 D ．边长相等的正五边形
10 ．如图，在 △ABC 中，AD 是中线，AE 平分 ÐBAC ，过点 B 作BF 丄 AE 交AE 延长线于
点 F，垂足为点 F，连接FD ，若 AB = 6 ，AC = 3 ，则 DF 长为( )
A ．2.5 B ．2 C ．1.5 D ．1
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11 ．因式分解：ab2 - a = ．
12 ．若一个正多边形内角和的度数为1260，则这个正多边形边数是 ．
13 ．分式 的值为零时，实数m 的值为 ．
14 ．如图， △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转56° 后与△AB1C1 重合，则上AB1B = ．
15．如图，以Rt△ABC 的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG 、正方 形ACDE 的面积分别为 25 、144，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分．
16 ．解不等式组 并求出所有整数解的和．
17 ．解方程 ．
18 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90° .
(1)作△ABC 的内角 Ð CAB 的平分线，与边BC 交于点 D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要 求写作法）．
(2)在（1）的条件下，若 CD = 2 ，上B = 30° ,求 AB 的长．
四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分．
19 ．已知：如图，将。ABCD 纸片折叠，使得点 C 落在点A 的位置，折痕为EF ，连接 CE ， 求证：四边形AFCE 为平行四边形．
20．
项目化学习——家庭购车计划分析单
项目背景
近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆 新车，看中了售价相同的 A 款纯电动汽车和 B 款燃油车．经过家庭会议之 后分析如下：
纯电动汽车：保险等费用高，但用电 便宜，行驶费用低．
燃油车：保险等费用较低，但油费、 保养等费用高．
项目问题
是购买纯电动汽车还是燃油车？
项目目的
经历数据的调查、整理、分析的过程， 感受数学思维对现实生活的指导意 义．
数据收集 1（行 驶费用）
通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据：
A 车
B 车
21．如图，在 △ABC 中，AB = AC，D 是AB 上的一点，过点 D 作DE 丄 BC 于点 E，延长ED 和CA ，交于点 F．
(1)求证： △ADF 是等腰三角形；
每千米行驶费用
a 元
(a + 0.45 元
总行驶费用
7.5
元
18.75
元
数据收集 2（其 它费用）
设：小明一家年平均行驶里程为 xkm
A 车
保险
6500 元/ 年
车机服务
1230 元/ 年
B 车
保险
2900 元/年
保养
0.075x 元
项目任务 1
求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用；
项目任务 2
请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程 x，帮小明家确定 购车方案．
(2)若上F = 30°, BD = 4，EC = 6 ，求 AC 的长．
五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分．
22 ．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
(1)已知a, b, c 是△ABC 的三条边长，且满足ab - ac + b2 - bc = 0，请判断△ABC 形状，并说明 理由．
(2)已知a + b = 10 + - 2 ，求多项式 a2 - b2 - 8a +12b - 20 的值．
23 ．如图，在平行四边形ABCD 中是 ÐBAD 的角平分线，点 P 从 点 E 出发，沿EC 方向以1cm/s 的速度向点 C 运动，点Q 从点 D 出发，以5cm/s的运动速度， 沿射线DA 方向运动，当点 P 运动到点 C 时，点 Q 随之停止运动，设运动时间为 t 秒．
(1)求BE 的长；
(2)是否存在以A，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由．
(3)当t = _____时，线段PQ 将平行四边形ABCD 分成面积相等的两部分（直接写出答案）．
甲：a2 - 2ab - 4 + b2
= (a2 - 2ab + b2 )- 4 （分成两组）
= (a - b)2 - 22 （直接运用公式）
= (a - b + 2)(a - b - 2) ．
乙：a2 - ab - a + b
= (a2 - ab)- (a - b) （分成两组）
= a(a - b) - (a - b) （提公因式）
= (a - b)(a -1) ．
1 ．C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面 内，把一个图形绕着某个点旋转 180 度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个 图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重 合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．
【详解】解：A ．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B ．图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C ．图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D ．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C．
2 ．B
【分析】本题考查了不等式的定义，
根据不等式的定义，用不等号（如，≥ , ≤ , ≠) 连接的式子属于不等式，逐一判断每个式 子是否符合条件．
【详解】解：① -2 < 0 使用了“ 0 使用了“>”，是不等式；
③ b = 2 是等式，不是不等式；
④ x2 - x 是代数式，不含不等号，不是不等式；
⑤ 3x + 2y ≥ 0 使用了“≥”,是不等式． 故选：B．
3 ．B
【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用；由中位线定理得 AB = 2MN = 20 ，即求解． 【详解】解：QAC，BC 的中点分别为 M，N，且MN的长为 10 米，
:MN 是△ABC 的中位线， : AB = 2MN = 20 米；
故选：B．
4 ．C
【分析】根据分母不等于零时分式有意义，可得答案．
【详解】由题意，得：x+3≠0， 解得：x≠ -3．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此 题的关键．
5 ．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
: 上B = 上D ，
又∵ 上B + 上D = 100° , : 上D + 上D = 100° , : 上D = 50° .
故选：B．
6 ．D
【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】解：∵ ab = 10 ，a + b = 7 ，
: a2b + ab2 = ab (a + b) = 10 × 7 = 70 ， 故选：D．
7 ．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系； 已知没有明确腰和底边的题目 一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是 解题的关键．
【详解】①当 3 为底时，其它两边都为 6，
3 、6 、6 可以构成三角形， 周长为 15；
②当 3 为腰时，其它两边为 3 和 6， Q3 + 3 = 6 ，
:不能构成三角形，故舍去， :答案只有 15．
故选:B．
8 ．B
【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答 的关键．
过 D 作DE TAB 于 E，根据角平分线的性质得到 DE = CD 即可．
【详解】解：如图，过 D 作DE TAB 于 E，
∵在△ABC 中，上C = 90° , BD 是△ABC 的角平分线，DE TAB ， : DE = CD ，
∵ CD = 3cm ，
: DE = 3cm ，即点 D 到AB 的距离为3cm ， 故选：B．
9 ．D
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否 构成周角，若能构成 360°,则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
【详解】解： A 选项，三角形内角和是 180° , 180°×2=360°, 能镶嵌，故该选项不符合题意； B 选项，正方形的每个内角是 90° , 90°×4=360°,能镶嵌，故该选项不符合题意；
C 选项，正三角形的每个内角是 60° , 60°×6=360°,能镶嵌，故该选项不符合题意；
D 选项，正五边形的每个内角是 108°,不能镶嵌，故该选项符合题意； 故选：D．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一 看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成 360°,则说明能够进行平面镶嵌，反 之则不能是解题的关键．
10 ．C
【分析】延长 AC ，BF ，交于点 G ，由 AE 平分7BAC ，BF 丄 AE ，可得
△BAF≌△GAF (ASA ) ，AB = AG = 6 ，BF = GF ，结合D 是AC 中点，得到DF 是 △BGC 的 中位线，即可求解，
本题考查了，中线的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判
定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长 AC ，BF ，交于点 G ，
∵ AE 平分 ÐBAC ， : 上BAF = 上GAF ， ∵ BF 丄 AE ，
:ÐBFA = ÐGFA= 90° , 又∵AF = AF ，
: △BAF≌△GAF (ASA ) ，
: AB = AG = 6 ，BF = GF ， 由∵D 是AC 中点，
: DF 是 △BGC 的中位线，
故选：C．
11 ．a (b +1)(b -1) ．
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则 把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分 解因式．因此，
先提取公因式 a 后继续应用平方差公式分解即可：ab2 - a = a (b2 -1) = a (b +1)(b -1) ．
12 ．9
【分析】本题主要考查了多边形内角和， 熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；根据多 边形的内角和公式即可求得多边形的边数．
【详解】解：设正多边形的边数为 n， ∵正多边形的内角和为1260 ，
: (n - 2)×180° = 1260° , 解得n = 9 ，
:正多边形的边数为：9， 故答案为：9．
13 ．-1
【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为 0 时满足得条件是解题的关键， 易错点在于容易忽视分式的分母不为 0 ． 根据分式值为 0 的条件①分母不为 0 ，②分子等 于 0 计算即可．
【详解】解：依题意，m2 -1 = 0 且m -1 ≠ 0
: m = -1
故答案为：-1． 14 ．62° ##62 度
【分析】本题考查了旋转的性质， 三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相 等是解题的关键．
根据旋转的性质知AB = AB1 ，上BAB1 = 56° ,然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵ △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转56° 后与△AB1C1 重合，
: AB = AB1 ，上BAB1 = 56° ,
故答案为：62° .
15 ．139
【分析】根据勾股定理可得正方形 BCMN 的面积为 25+144=169，再求出 Rt△ABC 的面积， 即可求解．
【详解】如图，∵正方形ABFG 、正方形 ACDE 的面积分别为 25 、144， :正方形 BCMN 的面积为 25+144=169 ，AB=5 ，AC=12
:阴影部分的面积为 故答案为：139．
【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法．
16 ．-3 ≤ x < 2 ，所有整数解的和为 -5 ．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．分别解每一个不 等式，再取解集的公共部分，求出不等式组的解集，找出所有的整数解即可．
解
解不等式①得x ≥ -3 ，
解不等式@得x < 2 ，
:不等式组的解集是：-3 ≤ x < 2 ，
:整数解是-3 ，-2 ，-1 ，0 ，1，
:所以整数的解是-3 - 2 -1+ 0 +1 = -5 ．
17 ．x = 4
【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根．
解 ．
原分式方程去分母得：3 -1 = x - 2 ，
移项得：-x = -2 - 3 +1 ，
合并同类项、系数化为 1 得：x = 4 ，
经检验：x = 4 是原方程的解，
: 原方程的解是x = 4 ．
18 ．(1)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质和勾股定理．
（1）以点 A 为圆心，小于AC 的任意长度为半径画弧，分别交AC ，AB 于M ，N 两点，
再分别以点M ，N 为圆心，大于长为半径画弧，在 Ð CAB 内交于一点P ，作射线 AP 交BC 于点D ，点 D 即为所求；
（2）在Rt△ACD 中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得AC 的长，再利用直角三角 形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点 D 即为所求．
;
（2）解：∵ 上C = 90° , 上B = 30° , : 上BAC = 60° .
由（1）知，AD 是 ÐBAC 的平分线， : 上BAD = 上CAD = 30° .
在Rt△ACD 中， ∵ CD = 2 ，
: AD = 2CD = 4 ．
则由勾股定理，得
19 ．见解析
【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质和判定证明即可．
本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判 定是解题的关键．
【详解】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AE∥CF ．
:上AEF = 上CFE ．
由折叠过程可知，上CFE = 上AFE ，AF = CF ，
:上AEF = 上AFE ．
:AF = AE ．
: AE = CF ．
: 四边形AFCE 为平行四边形．
20 ．任务 1：纯电动汽车每千米 0.3 元；燃油车每千米0.75 元；任务 2：见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用；
任务 1 ：根据题意得 解分式方程，即可求解；
任务 2：设纯电动汽车的行驶费用为 y1 元、燃油车的行驶费用为y2 元；求得
y1 = 0.3x + 7730 ，y2 = 0.825x + 2900 ，分三种情况讨论，即可求解．
【详解】解： 任务 1 ：由题意得 ，解得a = 0.3 ，经检验，a = 0.3 是分式方程的 解，且符合题意，
0.3 + 0.45 = 0.75 （元），
答：纯电动汽车每千米0.3 元；燃油车每千米0.75 元；
任务 2：设纯电动汽车的行驶费用为 y1 元、燃油车的行驶费用为y2 元；
由题意得y1 = 6500 +1230 + 0.3x = 0.3x + 7730 ，
y2 = 2900 + 0.75x + 0.075x = 0.825x + 2900 ，
①当y1 > y2 时，0.3x + 7730 > 0.825x + 2900 ， 解得x < 9200 ，
:当x < 9200 时，燃油车的行驶费用更低；
②当y1 = y2 时，0.3x + 7730 = 0.825x + 2900 ， 解得x = 9200 ，
:当x = 9200 时，两种车的行驶费用相同；
③当y1 < y2 时，0.3x + 7730 < 0.825x + 2900 ， 解得x > 9200 ，
:当x > 9200 时，纯电动汽车的行驶费用更低．
21 ．(1)见解析 (2)8
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的 关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征．
（1） 由 AB = AC ，可知 上B = 上C ，再由DE 丄 BC ，可知 上F + 上C = 90° , 上BDE + 上B = 90 ， 然后余角的性质可推出上F = 上BDE ，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出
上F = 上FDA ，于是得到结论；
（2）根据直角三角形 30 度所对的边是斜边的一半，得到BE ，再由AB = AC 可证明△ABC
是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：Q AB = AC ， :上B = 上C ，
Q FE 丄 BC ，
:上F + 上C = 90° , 上BDE + 上B = 90° ,
:上F = 上BDE ，
而上BDE = 上FDA ，
:上F = 上FDA ，
: AF = AD ，
:△ADF 是等腰三角形；
（2）解：∵ DE 丄 BC ， : 上DEB = 90° ,
∵ 上F = 30°, BD = 4 ，
上C = 90° - 上F = 60° , ∵ AB = AC ，
: △ABC 是等边三角形，
: AC = BC = BE + EC = 8 ．
22 ．(1)△ABC 是等腰三角形，理由见解析； (2)2
【分析】本题考查了因式分解， 完全平方公式，平方差公式以及二次根式的混合运算，熟练 掌握因式分解的方法，完全平方公式，平方差公式的运用是解题的关键．
（1）对 ab - ac + b2 - bc = 0 因式分解得(b - c)(a + b) = 0 ，由此得到b = c ， △ABC 是等腰三角 形；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式对多项式a2 - b2 - 8a +12b - 20 进行因式分解，然后 代入求值即可；
【详解】（1）Q ab - ac + b2 - bc
= a(b - c) + b(b - c)
= (b - c)(a + b) ，
由于a, b, c 是△ABC 的三条边长，且满足ab - ac + b2 - bc = 0 ，
: (b - c)(a + b) = 0 ，
: b = c ，
: △ABC 是等腰三角形．
（2）a2 - b2 - 8a +12b - 20
= a2 - 8a +16 - (b2 -12b + 36)
= (a - 4)2 - (b - 6)2
= (a - 4 + b - 6)(a - 4 - b + 6)
= (a + b -10)(a - b + 2)
Q a + b = 10 + , a - b = - 2 ，
: 原式= (a + b -10)(a - b +2)
= (10 + -10)( - 2 + 2)
= 2
23 ．(1) 4cm
(3)1
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、 全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采分类讨论的思想是解此题的 关键．
（1）由平行四边形的性质可得 AD ⅡBC ，由平行线的性质可得 上BEA = 上DAE ，结合角平
分线的定义得出上BAE = 上BEA，由等角对等边即可得解；
（2）由（1）可得 BE = 4cm ，求出 CE = BC - BE = 4cm ，由题意可得 EP = tcm ，
DQ = 5tcm (0 ≤ t ≤ 4) ，结合题意可得要使以 A，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，只 要EP = AQ，再分两种情况：当点Q 在边AD 上时；点Q 在边DA 的延长线上时，分别求解 即可；
（3）连接 AC 交PQ 于O ，由题意可得PQ 必过AC 的中点，即O 为AC 的中点，证明
△AOQ≌△COP (ASA ) ，得出PC = QA ，表示出PC = (4 - t)cm ，AQ = (8 - 5t)cm ，得出
4 - t = 8 - 5t ，解方程即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形， : ADⅡBC ，
: 上BEA = 上DAE ，
∵ AE 是 ÐBAD 的角平分线， : 上BAE = 上DAE ，
: 上BAE = 上BEA， : BE = AB = 4cm ；
（2）解：由（1）可得 BE = 4cm ，
: BC = 8cm ，
: CE = BC - BE = 4cm ，
由题意可得：EP = tcm ，DQ = 5tcm (0 ≤ t ≤ 4) ， ∵ ADⅡBC ，
:要使以A ，E，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，只要EP = AQ ， 当点Q 在边AD 上时，
∵ AD = BC = 8cm ，
: AQ = AD - DQ = (8 - 5t)cm ， : t = 8 - 5t ，
解得：t = ；
当点Q 在边DA 的延长线上时，则AQ = DQ - AD = (5t - 8)cm ， : 5t - 8 = t ，
: t = 2 ；
综上所述， 或t = 2 时，以A ，E，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形；
（3）解：如图，连接 AC 交PQ 于O ，
:线段PQ 将平行四边形ABCD 分成面积相等的两部分， : PQ 必过AC 的中点，即 O 为AC 的中点，
: OA = OC ，
: ADⅡBC ，
:上PCO = 上QAO ， : 上COP = 上AOQ ，
: △AOQ≌△COP (ASA ) ， :PC = QA ，
由题意可得：EP = tcm ，DQ = 5tcm (0 ≤ t ≤ 4) ， :PC = (4 - t)cm ，AQ = (8 - 5t)cm ，
: 4 - t = 8 - 5t ， : t = 1，
: t = 1 时，线段PQ 将平行四边形ABCD 分成面积相等的两部分．