2024-2025学年广东省东莞中学中考数学三模试卷

这是一份2024-2025学年广东省东莞中学中考数学三模试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．下列实数中最大的是( )
A ．τ B ． C ． -2 D ．1
2 ．如图是由 5 个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是( )
A．
B．
C．
D．
3 ．在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著 名旅游景点中，随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是( )
A ． B ． C ． D ．
4 ．一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时AB∥CD, Ð 1 = 73° ,则 上2 的度数为( )
A ．73° B ．93 ° C ．107° D ．117°
5 ．已知 是关于x ，y 的二元一次方程mx + 3y = 5 的一个解，则m 的值为( )
A ．2 B ．-2 C ．7 D ．-7
6 ．如图， △ABC 与 △DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2 : 3 ，若 △ABC 的周长为 6，则
△DEF 的周长是( )
A ．4 B ．6 C ．9 D ．16
7 ．方程 解是 ( )
A ．x = 2 B ．x = 5 C ．x = 1 D ．x = -2
8 ．在平面直角坐标系中，点P(-3,1) 关于原点的对称点在( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
9 ．如果 2xmy2 与 -7x2yn -1 可合并，则 m+n 为( )
A ． -5 B ．5 C ． -4 D ．4
10 ．如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为 m 、n 的正方形，其中重叠部 分 B 为池塘，S1、S2 分别表示两个阴影部分的面积．若m + n = 9，mn = 15 ，则S1 - S2 = ( )
A ．6 B ．21 C ．9 D ．9
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11 ．要使分式 有意义，则x 的取值应该满足的条件为 ．
12 ．如图，四边形ABCD 是eO 的内接四边形，若上B = 82° ,则 上D = ° .
13 ．如图，一名滑雪运动员沿着坡度为1： 的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB = 100m ，则 这名滑雪运动员的高度下降了 米．
14 ．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有 a ，b 的代数 式表示y，即 y= ．
15 ．如图， △ABC 是等腰三角形，AB = AC = 6 ，上ABC = 67.5° , P 为AB 边上一动点，以 PA ，PC 为边作YPAQC ，PQ ，AC 交于点O ，则对角线PQ 长度的最小值为 ．
三、解答题（一）（本大题共 3 个小题，16 题 6 分，17 ，18 题各 7 分，共 20 分）
16 ．计算
17 ．如图，已知每个小正方形的边长为1cm ，O，A，B 都在小正方形顶点上，扇形OAB 是 某个圆锥的侧面展开图．
(1)计算这个圆锥侧面展开图的面积；
(2)求这个圆锥的底面半径．
18．某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入 决赛．决赛成绩由8 位评委打分（满分10 分），广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学 担任播音主持．
数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理成如下统计图：
数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如下分析：
请认真阅读以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a = _________ ，b = _________ ，c = _________．
(2)甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别 站在甲、乙的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可）
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，19 ，20 题各 9 分，21 题 10 分，共 28 分）
19 ．如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是一段双曲线，矩形AOEB 为向 上攀爬的梯子，OA = 6 米，AB = 2 米．以点O 为原点，水面所在直线为x 轴建立如图的直 角坐标系，其中点E 在x 轴上．
(1)求BC 段滑梯所在的双曲线的解析式( 不需写出x 的取值范围) ；
(2)出口C 点距离水面的距离为1.5 米，求B ，C 之间的水平距离；
同 学
平均数/
分
中位数 分
众数 分
方差
甲
7.25
b
7
1.69
乙
a
7.5
c
3.94
(3)若要在滑梯BC 上的Q 点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到BE 的距离不超过2 米，求点Q 到水面的距离至少多少米？
20 ．某小区有一个长为50 米，宽为30 米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位， 其余部分是等宽的通道( 通道与停车场的边平行或垂直) ，小区打算对所有停车位的地面进 行重新喷漆，已知喷漆面积为1196平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)据调查分析，小区停车场多余50 个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200 元时， 可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10 元，就会少租出1个车位，求当每个车位的月租 金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？
21 ．阅读以下材料，回答问题：
夏天到了，小姜想利用学过的数学知识做一个风筝．她在网上查找了制作风筝的注意事项：
（1）轻质耐用：优先选用竹篾、塑料棒等轻质且有一定强度的骨架材料，搭配宣纸、尼龙 布等轻便蒙面材料，以减轻自重并提升抗风性；
（2）对称平衡：确保骨架左右对称，避免飞行时偏斜失衡．
制作
准备
小姜找到一块形状为平行四边形ABCD 的尼龙布料以及长度足够长的轻质竹条，其 中AB = 40cm ，AD = 64cm ， Ð B = 60° .
制作
过程
（1）如图 1，小姜以点A 为圆心，AB 为半径作弧，交AD 于点F ，再分别以点B ， F 为圆心，大于 BF 为半径作弧，两弧交于点G ，射线AG 交BC 于点E ．沿着EF 将四边形ABEF 剪下．
（1）如图 2，为了美化风筝，小姜打算将剩余布料四边形CDFE 平均裁成四条布料， 每条两端分别剪去一个直角三角形，做成长方形条状，粘在风筝上作为尾带．
五、解答题（三）（本大题共 2 个小题，22 题 13 分，23 题 14 分，共 27 分）
22 ．【问题呈现】
（1） △CAB 和 △CDE 都是直角三角形，上ACB = 上DCE = 90° , CB = mCA ，CE = mCD ，连 接AD ，BE ，探究 AD ，BE 的位置关系．
①如图 1，当 m = 1时， AD 与BE 的位置关系为______；
②如图 2，当m ≠ 1时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】
（2）某村有一块形状为直角三角形的空地 △ABC( 如图3) ，村长打算在点C 的周边，围出形 状为直角三角形的区域 △CDE 作为菜地( 点C ，D ，E 接逆时针方向排列) ，且点A ，E ，D 要在同一直线上．已知上ACB = 上DCE = 90° , AB = 、 千米，DE = 2 千米，BC = 2CA ， CE = 2CD ，求点 E 到点B 的距离．
任务
1
裁剪下来的四边形ABEF 是什么形状，是否符合风筝的形状要求？请说明理由．
任务
2
用与线段AE 和BF 等长的竹条作为风筝骨架并固定，求需要竹条的总长度．
任务
3
直接写出每条长方形尾带的长．
23 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + c 经过点A(-1, 0) ，B (3, 0) ，与y 轴
正半轴交于点C ，tan上 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E ，F 是线段CB 上的动点( 点F 在点E 的右侧) ，且EF = 2 ，是否存在这样的点E 、 F 使得AE = EF ？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)动直线l： y = kx - k 与抛物线交于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆与PQ 上方的抛物线始终 交于一定点D ，请求定点 D 的坐标．
1 ．A
【分析】本题考查了实数的大小比较， 熟练掌握实数大小比较的方法是解答本题的关键．正 数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．先化简绝对值， 再比较大小即可．
【详解】 -2 = 2 ，
∵ π ≈ 3.14 > 2 > 1 > 0.5 ， :最大的实数是 τ .
故选 A．
2 ．D
【分析】本题考查了三视图的知识．俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所 得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看到的图形是：
故选：D．
3 ．B
【分析】本题考查了概率的运算，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 根据概率的运算方式直接运算即可．
【详解】解：∵景点的总数为：5 ，
: P(抽到观音山国家森林公园 故选：B．
4 ．C
【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角， 熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见 解析），先根据平行线的性质可得 上3 = 上1 = 75° ,再根据邻补角的定义求解即可得．
【详解】解：如图，∵ AB∥CD ，上1 = 73° ,
: 上3 = 上1 = 73° ,
: 上2 = 180° - 上3 = 107° , 故选：C．
5 ．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解一元一次方程，理解并掌握二元一次方程的解 的定义是解题关键．将 代入原二元一次方程，得到关于m 的一元一次方程，求解即 可得到m 的值．
解 是关于x ，y 的二元一次方程mx + 3y = 5 的一个解，
: -2m + 3× 3 = 5 ， 解得：m = 2 ，
故选：A．
6 ．C
【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关 键．根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】解：设 △DEF 的周长是 x，
: △ABC 与 △DEF 位似，相似比为2 : 3 ， △ABC 的周长为 6，
解得：x = 9 ，
经检验，x = 9 是原方程的解， 故选：C．
7 ．C
【分析】本题考查了解分式方程， 掌握分式的运算是解题的关键，注意分式方程要检验．方 程两边同时乘以公分母，进而转化为整式方程求解即可，注意分式方程要检验．
解
两边同时乘以(x + 3)(x +1) 得：2 (x +1) = x + 3 ， 解得x = 1 ，
检验，当x = 1 时，(x + 3)(x +1) ≠ 0
: x = 1 是原方程的解， 故选：C．
8 ．D
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的 横、纵坐标均互为相反数”、点所在的象限，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是 解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求出点 的坐标，由此即可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点P(-3,1) 关于原点对称的点的坐标为(3, -1) ， ∵ 3 > 0, -1 < 0 ，
:点(3, -1) 在第四象限，
即在平面直角坐标系中，点P(-3,1) 关于原点的对称点在第四象限， 故选：D．
9 ．B
【分析】根据同类项的概念进行求解，先求出 m ，n 的值，再计算 m+n 即可得解. 【详解】2xmy2 与-7x2yn-1 可以合并，得
m＝2，n-1＝2 ．
解得m＝2，n＝3 ， m + n＝2 + 3＝5 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类项的概念，熟练掌握同类项的区分方法是解决本题的关键.
10 ．C
【分析】本题考查完全平方公式的变形求值， 因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求 出m - n 的值，得出S1 - S2 = m2 - n2 ，进而利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵ m + n = 9，mn = 15 ，
: (m - n)2 = (m + n)2 - 4mn = 81- 60 = 21 ， 取正值），
∵ S1 - S2 = m2 - S空白 - (n2 - S空白)
2 2
= m - n ，
故选：C．
11 ．x ≠ -5
【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求 解即可．
【详解】解：由题意可得：x + 5 ≠ 0 ， 解得：x ≠ -5 ，
故答案为：x ≠ -5 ．
12 ．98
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，由圆内接四边形对角互补，可得答案． 【详解】解：Q 四边形ABCD 是eO 的内接四边形，
:上B + 上D = 180° ,
Q 上B = 82° ,
:上D = 180° - 82° = 98° , 故答案为：98 ．
13 ．50
【分析】本题考查了坡度坡比的定义， 利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握坡比 的定义．根据坡比的定义，得到上B = 30° , 根据含 30 度角的直角三角形的性质，从而求解．
【详解】解：∵斜坡的坡度为1：
: 上B = 30°
在Rt△ABC 中，上B = 30° , AB = 100m ，
故答案为：50 ． 14 ．b (a + 2)
【分析】本题考查了数字类规律探究，经观察发现：最上面的数与左下的数为两个连续整数， 右下的数是最上面的数字加 2 再乘以左下的数，据此即可求解．
【详解】解：由6 = 2 × (1+ 2) ，20 = 4 × (4 + 2) ，42 = 6 × (5 + 2)， 得y = b (a + 2)．
故答案为：b (a + 2)．
15 ．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理；设 AC, PQ 交于点O ，以 PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也 就是PO 最短，所以应该过O 作AB 的垂线P¢O ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出 PQ 的最小值．
【详解】解：如图，设 AC, PQ 交于点O ，
Q 四边形APCQ 是平行四边形， : AO = CO ，OP = OQ ，
Q PQ 最短也就是PO 最短，
:过点O 作OP¢ 丄 AB 于点P¢ , : AB = AC = 6 ，上ABC = 67.5° , :上BAC = 45° ,
: △AP¢O 是等腰直角三角形，
:PQ 的最小值= 2OP¢ = 3 ， 故答案为：3 ．
16 ．2 +
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂负整数指数幂，二次根式的性质化简， 化简绝对值，即可求解．
解
= 2 + ．
17 ．(1) 2π
(2)这个圆锥的底面半径为
【分析】（1）利用图形可以得到扇形的圆心角，和半径，利用扇形面积公式计算扇形的面积 即可；
（2）根据（1）的结果可求得圆锥底面半径．
【详解】（1）解：由图可知 则弧AB 的长为
:面积为
（2）解：设底面半径为 r， 则2π r = π ,
这个圆锥的底面半径为
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题需要准确掌握扇形的弧长公式，并且要善于读图．
18 ．(1) 7.25 ，7 ，9 ；
(2)见解析（答案不唯一）．
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差， 折线统计图，掌握知识点的应用是解题 的关键．
（1）根据平均数、中位数、众数的定义可得答案；
（2 ）根据方差和中位数来看即可得出答案．
【详解】（1）解：∵甲同学的决赛成绩为6 ，5 ，7 ，9 ，8 ，7 ，9 ，7 ， :从小到大排序为：5 ，6 ，7 ，7 ，7 ，8 ，9 ，9 ，
:中位数为第4、5 个之和的平均值，
∵乙同学的决赛成绩为5 ，4 ，6 ，8 ，10 ，9 ，7 ，9 ，
∵ 9 出现2 次，次数最多， :众数c = 9 ，
故答案为：7.25 ，7 ，9 ；
（2）解：甲的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是 7.25 分，从方差来看，甲成绩的方差 为1.69 ，小于乙成绩的方差为 3.94，所以甲认为自己能够担任播音主持；
乙的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是7.25 分，从中位数来看，乙的成绩的中位数为7.5 分，大于甲的成绩的中位数7 分，所以乙认为自己能够担任播音主持．
19 ．
(2) 6 米
(3) 3 米
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可；
（2）设点C 的坐标为(m,1.5) 并代入y 与x 的函数关系式，求出m 的值再减去AB 的长即可；
（3）设点Q 的坐标为(a, b) 并代入y 与x 的函数关系式，将a 用b 表示出来，根据a - 2 ≤ 2 列 关于b 的不等式并求其解集，从而得到b 的最小值即可．
【详解】（1）解：QOA = 6 米，AB = 2 米，
: 点B 的坐标为(2, 6) ，
设BC 段滑梯所在的双曲线的解析式为为常数，且k ≠ 0) ， 将坐标B(2, 6) 代入
得 解得k = 12 ，
:BC 段滑梯所在的双曲线的解析式为 ．
（2）设点C 的坐标为(m,1.5)，
得 ， 解得m = 8 ，
8 - 2 = 6( 米) ，
:B ，C 之间的水平距离为6 米．
（3）设点Q 的坐标为(a, b)， 将Q(a, b)代入
得 ，
根据题意，得 ， 解得b ≥ 3 ，
: 点Q 到水面的距离至少3 米．
20 ．(1) 2 米
(2)当每个车位的月租金上涨150 元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为12250 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系 式是解题的关键
（1）设通道的宽是x 米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解；
（2）设每个车位的月租金上涨 m 元，对外开放的总月租金收入为y 元，根据题意列出二次 函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设通道的宽是x 米， 由题意得：(50 - 2x)(30 - 2x) = 1196 ，
整理得：x2 - 40x + 76 = 0 ，
解得：x1 = 2，x2 = 38 (舍去)， :通道的宽是2 米；
（2）设每个车位的月租金上涨 m 元，对外开放的总月租金收入为y 元， 由题意得
b = 30 ，
: 当m = 150 时，y最大 = (200 +150)× (50 -15) = 12250 (元)，
:当每个车位的月租金上涨150 元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为12250 元．
21 ．任务一：四边形 ABEF 是菱形，符合，理由见解析；任务二：40 cm ；任务三：
34cm
【分析】本题考查了作角平分线， 全等三角形的性质与判定，菱形的判定，勾股定理，熟练 掌握以上知识是解题的关键；
任务一：明确尺规作图的结果是四边形 ABEF 为菱形，结合AB = 4AF ，通过
△OAF≌△OBE ，证明 AF = BE ，则证明菱形 ABEF ．
任务二：通过上ABE = 60° ,可知 △ABE 为等边三角形，AE = AB = 40cm ；再结合 Rt△OAB 求出OB ，再求出 BF 即可．
任务三：剪掉的部分是斜边为6cm 的直角三角形，其短直角边为3cm ，所以尾带长为
40 - 2 × 3 = 34cm ．
【详解】解：任务一：由尺规作图可知，AF = BE ，AG 为 ÐFAB 的角平分线． Q AB = AF ， ÐFAB = Ð EAB ，EB = EF ，
: AO 丄 BE ，OB = OF ， 又Q AF Ⅱ BE ，
: Ð FAO = Ð BEO ，
又Q Ð AOF = Ð EOB ， :△OAF≌△OBE (AAS) ，
: AF = BE ，
: AB = AF = BE = EF ，四边形 ABEF 是菱形．
制作风筝在形状上要求图形对称；菱形是轴对称图形，符合要求． 任务二：Q BA = BE ， Ð ABE = 60° ,
:△ABE 是等边三角形．
: AE = AB = 40cm ；
Q BO 丄 AE ，
:在Rt△AOB 中 任务三：取其中一条尾带CDMN，四边形 CDMN 为平行四边形．
如图作MH 丄 CD ，CK 丄 MN ，DM = (64 - 40) ÷ 4 = 6cm ， ÐD = 60° ,
: 上DMH = 30°
同理NK = DH = 3cm ，
:CH = 40 - 3 - 3 = 34 (cm) ．
:每条长方形尾带的长34cm ．
22 ．（1）① AD 丄 BE ；②成立，证明见解析；（2 ）6 千米或千米
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定， 等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判 定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）①通过观察图形和简单的几何直观判断，当给定特定条件时，可直接得出AD 与BE 的
位置关系为垂直；
@延长BE 交AC 于点M ，交 AD 于点N ，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证
△BCE∽△ACD ，再根据相似三角形对应角相等，得到 上CAG = 上CBF ，而
上CAG + 上AGC = 90° ,所以 上CBF + 上BGF = 90° ,进而得出 上BFG = 90° ,即 AD 丄 BE ；
（2）①当点D 在线段AE 上时，在Rt△ABE 中，AE2 + BE2 = AB2 ，求解，舍去负值； @当点E 在线段AD 上时，在Rt△ABE 中，AE2 + BE2 = AB2 ，求解，舍去负值．
【详解】解：（1）①AD 丄 BE( 或垂直) ， 如图，延长BE 交AD 于点G ，
Qm = 1，
: AC = BC ，DC = EC ，
Q 上DCE = 上ACB = 90° ,
:上DCA + 上ACE = 上ACE + 上ECB = 90° ,
:上DCA = 上ECB ，
在 △DCA 和 △ECB 中，
:△DCA≌△ECB (SAS)，
:上DAC = 上CBE ，
Q 上GAB + 上ABG = 上DAC + 上CAB + 上ABG
= 上CBE + 上CAB + 上ABG = 上CAB + 上CBA
= 180° - 上ACB = 90° ,
:上AGB = 180° - 90° = 90° ,
:BE 丄 AD ．
故答案为：AD 丄 BE ；
@当m ≠ 1时，（1）中的结论还成立，证明如下：
延长BE 交AC 于点M ，交 AD 于点N ，如图：
QCB = mCA ，CE = mCD ，
Q 上ACB = 上DCE = 90° ,
:上ACB - 上ACE = 上DCE - 上ACE ，即 上BCE = 上ACD ， :△BCE∽△ACD ，
:上CBE = 上CAD ， Q 上CMB = 上NMA ， :上MCB = 上ANM ， Q 上MCB = 90° ,
:BE 丄 AD
（2）①当点D 在线段AE 上时，如图：
同①@可得 △BCE∽△ACD ，BE 丄 AD ，
Q DE = 2 千米，
Q AE2 + BE2 = AB2 ，
解得BE = (-6 已舍去) ；
@当点E 在线段AD 上时，如图：
1
同理可得( BE - 2)2 + BE2 = ( )2 ，
2
解得BE = 6( 负值已舍去) ；
综上所述，取水点E 到入口B 的距离为6 千米或千米．
23 ．
存在
(3)D (1, 2)
【分析】本题考查二次函数的综合应用， 熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，此题 计算量较大，准确地计算是解题的关键．
（1）根据正切的定义求得，进而得出C 的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即 可；
（2）求出直线 BC 的解析式，设 根据EF = AE = 2 ，得到方程
求出m 的值即可求E 点坐标；
设P(x1, y1 ) ，Q(x2, y2 ) ，由 可得x1 + x2 = 2 - 2k ，x1 . x2 = -2k - 3 ， 设PQ 为直径的圆的圆心为M ，则M (1- k, -k2 ) ，则 设
根据 可得
由D 是定点，可知m = 1，即可求D 点坐 标．
【详解】（1）解：QB(3, 0)， :BO = 3 ，
将A(-1, 0) ，B (3, 0) ，C (çè 0, ÷代入y = ax2 + bx + c ，
解得 ，
（2）存在这样的点 E 、F 使得AE = EF ，理由如下： 设直线BC 的解析式为
解得
1 3
: y = - x + ，
2 2
设
: EF = AE = 2 ，
解得m = -1 (舍)或m = ，
（3）设P(x1, y1 ) ，Q(x2, y2 ) ，
整理得x2 + 2(k -1)x - 2k - 3 = 0 ，
: x1 + x2 = 2 - 2k ，x1 . x2 = -2k - 3 ，
设PQ 为直径的圆的圆心为M ，则 M (1- k, -k2 ) ， 如图，过点P 作PN丄 QN ，QN ∥ x 轴，
:QN = x1 - x2
, PN = y1 - y2 = k (x1 -1- x2 +1) = k x1 - x2
整理得 QD 是定点，
:m = 1，
:D(1, 2)．