2023年广东省东莞中学初中部中考数学三模试卷-普通用卷

2023年广东省东莞中学初中部中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，比大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表，依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些西游记，你认为最影响该书店决策的统计量是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

7.  如图，直线，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知、是反比例函数图象上的两点，轴，交轴于点，动点从坐标原点出发，沿匀速运动，终点为，过点作轴，轴，垂足分别为、设四边形的面积为，点运动的时间为，则关于的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解的结果是______．

12.  点关于轴对称的点的坐标是______ ．

13.  如图，网格中小正方形的边长为，点、、都落在格点上，则______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为        ．

15.  如图，菱形的边长为，点是对角线上一点不与端点重合，则的最小值为______．
 

三、计算题（本大题共3小题，共29.0分）

16.  计算：．

17.  如图，在中，，以上一点为圆心，长为半径的圆与相切于点，分别交、于点、．
若，，求的半径；
连接、、、若四边形是平行四边形，试判断四边形的形状，并说明理由．

18.  如图，已知直线经过点，与双曲线交于点过点作轴的平行线分别交双曲线和于点、．
求的值和直线的解析式；
若点在直线上，求证：∽；
是否存在实数，使得？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

四、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
已知三角形的两边长分别是、，第三边为整数且为不等式组的解，求这个三角形的周长．

20.  本小题分
如图，在中，．
尺规作图：作边上的高，垂足为保留作图痕迹，不写作法；
若，，求的长．

21.  本小题分
月日是“世界血友病日”，某高校开展义务献血活动，经过检测，献血者血型有“，，，”四种类型，随机抽取部分献血结果统计，根据结果制作如图两幅不完整统计图表：

本次随机抽取献血者人数为______ 人，图表中 ______ ；
若该高校总共有万名学生，估计其中型血的学生有______ 人；
现有个自愿献血者，人为型，人为型，人为型，若在人中随机挑选人，利用树状图或列表法求两人血型均为型的概率．

22.  本小题分
某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天元时，房间会全部住满当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出元的各种费用．
若每个房间的定价为每天元时，宾馆的利润是多少？
房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？

23.  本小题分
孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：
如图，若测得，求的值；
对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图所示位置时，过作轴于点，测得，求此时点、的坐标；
对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，，
，
选项C符合题意；

．，
选项D不符合题意．
故选：．
根据实数大小比较的方法，逐个判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．  

3.【答案】 

【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算错误，不符合题意；
选项，原式，故该选项计算正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式计算即可．
本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，注意完全平方公式展开有三项．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得：，，
，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，，
，，
，
选项C不符合题意；

，
，
又，
，
选项D符合题意．
故选：．
根据图示，可得：，，据此逐项判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一 组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货销的最多，故值得关注的是众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出，再利用三角形内角和定理求出的度数即可．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知两直线平行，同位角相等，三角形内角和为是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：二元一次方程组的解为，
直线：与直线：的交点坐标为．
故选：．
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：．
先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点在上运动时，此时四边形的面积，保持不变，故排除、；
点在上运动时，设路线的总路程为，点的速度为，则，因为，，均是常数，
所以与成一次函数关系．故排除．
故选：．
通过两段的判断即可得出答案，点在上运动时，此时四边形的面积不变，可以排除、；点在上运动时，减小，与的关系为一次函数，从而排除．
本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为：．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质分析得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确得出对应点横纵坐标的关系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，在中，

，，
，
，
故答案为：．
如图，在中，求出，，根据，计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
，
是直径，
根据同弧对的圆周角相等得，
，
，，即圆的半径为，
．
故答案为：．
连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，

四边形是菱形，且，
，
，
，
，
，
，
，
当点，，三点共线且时，
的值最小，最小值为的长，
的最小值为．
故答案为：．
本题考查了菱形的性质、垂线段最短、含度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质．
过点作于点，过点作于点，根据四边形是菱形，且，，可得，当点，，三点共线且时，的值最小，最小值为的长，根据勾股定理即可求解．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
先计算特殊角三角函数值，化简二次根式和计算零指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
 

17.【答案】解：连接设的半径为．
切于点，
．
，
，
∽．
，即．
解得，
的半径为．

四边形是菱形．理由如下：
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
，
．
，
．
．
．
，
．
又，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是菱形． 

【解析】连接，设的半径为，可证出∽，则，从而求得；
由四边形是平行四边形，得，再由圆周角定理可得，，则是等边三角形，先得出四边形是平行四边形．再根据，则平行四边形是菱形．
本题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、平行四边形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．
 

18.【答案】解：在双曲线上，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为；

证明：点，点在直线上，
，
解得，
，
，，，，
，：：：，
∽；

解：存在实数，使得．
，
点、的纵坐标都为，
将代入和，
得和，
、的坐标分别为，，
当时，
，，
，，
，
，
整理，得，
解得：，
，
，
当时，
，，
，，
，
，
整理，得，解得，
大于，
，
存在实数或使得． 

【解析】将点的坐标代入即可得出的值，设直线的解析式为，再把点、的坐标代入，解方程组求得和即可得出直线的解析式；
根据点在直线上，求出点的坐标，再证明∽即可；
先假设存在，利用求得的值，看是否符合要求．
本题考查的知识点是反比例函数的综合题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质．
 

19.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
，
不等式的整数解为、、，
，
取，
三角形周长为． 

【解析】分别解不等式，得出整数解，根据三角形的三边关系即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，三角形的三边关系，正确的求得不等式的整数解是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所求；

，，
，
，
，
，
． 

【解析】直接利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可解答；
利用含有角的直角三角形的性质即可解答．
本题考查了基本作图，含有角的直角三角形的性质，掌握基本作图方法是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：这次随机抽取的献血者人数为人，
；
故答案为：，；
型血的学生百分百比，
估计其中型血的学生有：人；
故答案为：；
画树状图如图所示，

共有个等可能的结果，两人血型均为型的结果有个，
两人血型均为型的概率为．
用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算的值；
利用型血的学生百分百比即可得答案；
画出树状图，根据概率公式即可得到结果．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图与统计表．
 

22.【答案】解：依题意得：元，
即每个房间的定价为每天元时，宾馆的利润是元；
设每个房间定价增加元，
依题意得：所获利润，
当元时，利润最大，
元，
即房价定为元时，宾馆利润取得最大值． 

【解析】根据题意列式计算即可得到答案；
设每个房间定价增加元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的实际应用，正确列出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．
 

23.【答案】解：设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，
，，
，
，
将代入抛物线得，
解得．

过点作轴于点，

点的横坐标为，
，
．
又，
，
，
∽，
，
，
设点，则，，
，
，，即点的坐标为；

设，，
设，则，
得，，
，
由图可得∽，
，
，
，
；
不论为何值，直线恒过点． 

【解析】设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，根据等腰直角三角形的性质即可得到，从而求出，再将代入
即可求出的值；
过点作轴于点，先求出，再证明∽，利用相似三角形的性质可推算出，设点，建立方程，解方程即可求出的值，即可得到答案；
设，，设，将、代入一次函数建立方程组，根据建立等式，化简等式即可得到，再结合相似三角形的性质，可推算出，从而得到不论为何值，直线恒过点的结论．
本题考查二次函数的性质、旋转的性质和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运行相似三角形的相似比建立等式．