2024-2025学年福建省福州教育学院附属中学下学期八年级期末考数学检测试卷

这是一份2024-2025学年福建省福州教育学院附属中学下学期八年级期末考数学检测试卷，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学试卷
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
1 ．下列表示y 与 x 之间的关系的图象中，y 不是 x 的函数的是( )
B．
A．
C．
D．
2 ．将方程x2 + 2 = 4x 改写成ax2 + bx + c = 0的形式，则a, b, c 的值分别为( )
A ．1 ，4 ，2 B ．1 ，4 ，-2 C ．1 ，-4 ，2 D ．1 ，-4 ，-2
3 ．一技术人员用刻度尺（单位，cm ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知
上ACB = 90° ,点 D 为边AB 的中点，点A、B 对应的刻度为1、7 ，则 CD = ( )
A ．3.5cm B ．3cm C ．4.5cm D ．6cm
4 ．甲、乙、丙、丁四位学生进行“汉字拼写”训练，每位同学五次训练成绩的平均数均为
90，方差分别为S = 11.6 ，S = 29.2 ，S = 11.2 ，S = 1.2 ．若要从中选择一名发挥稳定
的学生参加比赛，应选择( )
A ． 甲 B ． 乙 C ．丙 D ．丁
5 ．如图，在平行四边形ABCD 中，上B = 2上A ，则 ÐD 的度数为( )
A ．140° B ．120° C ．110° D ．100°
6 ．小明从家出发，去超市购物后直接回家，如图是他离家的距离y （千米）与时间 x （分 钟）的函数关系图象，根据图象信息，下列说法正确的是( )
A ．小明在超市停留了30 分钟
B ．小明去时的速度为6 千米/小时
C ．小明从出发到回家共走了2 千米
D ．小明去超市所用的时间少于从超市回家所用时间
7 ．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡 1980 张，问九（1）班共有多少名学 生？设九（1）班共有x 名学生，那么所列方程为( )
A ．x2 = 1980 B ．x (x +1) = 1980
C ． D ．x (x -1) = 1980
8 ．已知 △ABC （如图 1），求作：平行四边形 ABCD ．如图 2、图 3 是嘉琪的作图方案，其 依据是( )
A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形
9 ．如图，EF 是△ABC 的中位线，点 O 是 EF 上一点，且满足OE = 2OF ，则△ABC 的面积 与△AOC 的面积之比为( )
A ．2 :1 B ．3 : 2 C ．5 : 3 D ．3 :1
10 ．已知点A(1, y1 ) ，B(2,y2 ) ，C (3, y3 ) ，D (4, a2 + c ) 都在二次函数y = ax2 + bx + c （ a ， b ，c 为常数，且a ≠ 0 ）的图象上，若 y1 < y2 < y3 ，则a 的取值范围是( )
A ．a < -8 或a > 4 B ．a < -8 或a > 8
C ．a < -4 或a > 8 D ．a < -4 或a > 4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11 ．将直线y= x 向上平移 2 个单位长度，得到的直线解析式是 ．
12 ．某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按3 : 2 :1: 2 : 2 对员工进行年终考评．公司某职员 在 2023 年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 分．
13 ．中国结寓意团圆、美满， 以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小 芳家有一个菱形中国结装饰．测得BD = 8cm ，AC = 6cm ．则该菱形的面积为
2
cm ．
14 ．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S ( 单位：米) 关于滑行的时间t( 单位：秒) 的 函数解析式是S = 10t - 0.25t2 ，此飞行器滑行的最大距离是 米．
15 ．若 m 是一元二次方程x2 - x - 3 = 0 的根，则m3 + m2 - 5m 的值为
16 ．如图，“爱心”图案是由函数y = -x2 +10 的部分图像与其关于直线y= x 的对称图形组
成．点A 是直线y= x 上方“爱心”图案上的任意一点，点B 是其对称点．若 则点
A 的坐标是 ．
三、解答题：本题共 9 小题，共 84 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤．
17 ．解下列方程
(1) 2x2 - 3x = 0 ；
(2) x2 - 4x - 2 = 0 ．
18．某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况， 各随机抽查了 20 名学生某一周（按 周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部 分信息．
a ．消费金额的频数分布表如下：
b ．乙超市消费金额在70 ≤ x < 80 这一组的是：70 70 70 71 71 73 75
c ．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中 m 和 n 的值；
(2)若甲超市该周的学生消费人数为 500 人，估计甲超市一个月（按 4 周算）的学生消费总 金额．
19 ．列方程（组）解应用题．
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，四月份投入资金 20 万 元，六月份投入资金 24.2 万元，现假定每月投入资金的增长率相同．求该商场投入资金的 月平均增长率．
20 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - (m + 3)x + 3m = 0 ．
(1)求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；
(2)若一元二次方程的两根为 x1 ，x2 ，且满足 x + x - x1x2 = 19 ，求 m 的值．
21 ．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 是边CD 上的点，连接AE ．
消费金额 x/元
50 ≤ x < 60
60 ≤ x < 70
70 ≤ x < 80
80 ≤ x < 90
90 ≤ x < 100
甲超市
0
0
12
6
2
乙超市
1
4
7
3
5
超市
平均数
中位数
众数
甲
m
76
75
乙
76.85
n
70
(1)尺规作图，以BC 为边，C 为顶点作7BCF = 7DAE ，CF 交线段AB 于点F ．（要求：基本 作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
(2)求证：四边形AFCE 为平行四边形
22 ．“漏壶”是一种古代计时器，数学兴趣小组根据“漏壶”的原理制作了如图所示的计时器， 它是由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器
中．通过实验，得到圆柱体容器液面高度y（单位：cm ）与计时时长 x（单位：h）满足一 次函数关系，其部分数据如下表所示：
(1)求y 与 x 之间的函数关系式；
(2)当圆柱体容器液面高度为 15cm 时，求该计时器计时时长．
23 ．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图 1 所示的矩形硬纸板ABCD （规格：
AB = 40cm ，BC = 100cm ），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图 2 裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，PQ 和MN 两边恰好重合且无重叠部分，如图 3 所示．
(1)若收纳盒高是10cm ，则该收纳盒底面的边EF = _____ cm ，EH = _____ cm ；
(2)如图3，若收纳盒的底面积是350cm2 ，如图 4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请
x
…
1
2
3
…
y
…
6
9
12
…
通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子）
24．如图 1，在边长为2 的正方形ABCD 中，点E 在AC 上，点F 在射线BC 上，作正方形DEFG ， 连接BE ，连接 CG ．
(1)求证： △DAE≌△DCG ；
(2)求证： Ð BEF = 2Ð CFG ；
(3)如图 2，若 CF = CG ，求 BF 的长．
25 ．已知二次函数y = ax2 + c 的最小值为0 ，且其图象过点(-2,1) ．
(1)求a, c 的值；
(2)已知点P(0,1), O (0, 0) ．
①若直线与抛物线y = ax2 + c 相交于A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 两点，求x - 4x2
的最大值；
②已知点Q 是抛物线y = ax2 + c 上异于其顶点的任意一点，过Q 作QT 垂直x 轴于T ，OT 的 中点为M ，请证明QM 平分上PQT ．
1 ．D
【分析】根据函数的概念： 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把y 称 为因变量，y 是 x 的函数；由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：选项 A 、B 、C 都是函数，而选项 D 不符合函数的概念， 故选 D．
【点睛】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
2 ．C
【分析】根据任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2 叫做二次项，a 叫做 二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常 数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【详解】解： x2 + 2 = 4x 可化为x2 - 4x + 2 = 0 ，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别 为 1 ，-4 ，2，
故选：C．
3 ．B
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，可以计算出CD 的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：∵点A、B 对应的刻度为1、7 ，
: AB = 7 -1 = 6 (cm) ，
∵ 上ACB = 90° ,点 D 为边AB 的中点，
故选：B．
4 ．D
【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可，解题的关键是掌握方差的意义．
【详解】解：∵ S = 11.6 ，S = 29.2 ，S = 11.2 ，S = 1.2 ，
: S < S < S < S ，
:发挥稳定的学生是丁， 故选：D．
5 ．B
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解.
【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
:上D = 上B，上A + 上B = 180° ,
Q 上B = 2上A ，
:上B = 120° ,
:上D = 120°
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答此题的关键.
6 ．B
【分析】本题主要考查函数图象，根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可求出答案． 【详解】解：A. 小明在超市停留了30 - 20 = 10 分钟，故该选项不正确，不符合题意；
B. 小明去时的速度为 千米/小时，故本选项正确，符合题意；
C. 小明从出发到回家共走了2× 2 = 4 千米，故该选项不正确，不符合题意；
D. 小明去超市所用的时间为20 分钟多于从超市回家所用时间10 分钟，故该选项不正确，不 符合题意；
故选：B．
7 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他(x -1) 个学生共赠送贺卡(x -1) 张，则x 名学生共赠贺卡为x (x -1) 张，由题意即可列出方程．
【详解】解：:每个学生要向其他(x -1) 个学生共赠送贺卡(x -1) 张，
: x 名学生共赠贺卡为x (x -1) 张， 由题意得：x (x -1) = 1980 ；
故选：D．
8 ．B
【命题意图】本题考查了复杂的尺规作图、平行四边形的判定， 解题的关键是理解尺规作图
的隐含条件和根据平行四边形的判定解答．根据作图过程分析进行判断即可．
【详解】由图可知先作AC 的垂直平分线，则点 O 为AC 的中点，然后以BO 为半径作图．由 作图可知BO = OD ，
可得：AO = OC ，BO = OD ，（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
进而得出四边形ABCD 是平行四边形， 故选：B．
9 ．D
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC 再求出 OE 与 BC 的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵EF 是△ABC 的中位线，
∵OE ＝2OF，
设点 A 到 BC 的距离为 h，
则 S△△AOC ＝ OE•h = × BC•h ＝ BC•h， ∴△ABC 的面积与△AOC 的面积之比＝3：1．
故选：D
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的面积， 熟记定理并用 BC 表示出 OE 是解题的关键．
10 ．D
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得 y1 = a + b + c ，y2 = 4a + 2b + c ，
y3 = 9a + 3b + c ，a2 + c = 16a + 4b + c，再根据y1 < y2 < y3 ，求出 然后分a > 0 和a < 0
两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】∵二次函数y = ax2 + bx + c 过点A(1, y1 ) ，B(2,y2 ) ，C (3, y3 ) ，D (4, a2 + c ) ， : y1 = a + b + c ，y2 = 4a + 2b + c ，y3 = 9a + 3b + c ，a2 + c = 16a + 4b + c ，
: a2 = 16a + 4b ，即有 ， ∵ y1 < y2 < y3 ，
: a + b + c < 4a + 2b + c < 9a + 3b + c ，
: í
ìb > -3a
lb > -5a ，
当a > 0 时，b > -3a ，
: > -3a ，解得：a > 4 ， 当a < 0 时，b > -5a ，
: > -5a ，解得：a < -4 ，
综上可知：a 的取值范围是a < -4 或a > 4 ，
故选：D ．
11 ．y = x + 2
【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．熟知函数图象平移的法则是解答此题的关 键．
直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】∵直线y= x 向上平移 2 个单位长度， :得到的直线解析式是y = x + 2 ．
故答案为：y = x + 2 ．
12 ．7.6
【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，该职员的年终考评为 故答案为：7.6 ．
13 ．24
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．
根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可．
【详解】Q 四边形ABCD 是菱形， : AC ^ BD ，
Q BD = 8cm ，AC = 6cm ，
故答案为：24．
14 ．100
【分析】本题主要考查二次函数的应用， 将函数解析式配方成顶点式求出s 取得最大值时的 t 的值即可得．
解
: 当t = 20 时，s 取得最大值100 ， 此飞行器滑行的最大距离是100 米． 故答案为：100 ．
15 ．6
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出m2 - m - 3 = 0 ，从而可求出 m2 = m + 3 ， m2 - m = 3，再将 m3 + m2 - 5m 整理变形，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m 是一元二次方程x2 - x - 3 = 0 的根， : m2 - m - 3 = 0 ，
: m2 = m + 3 ，m2 - m = 3 ， : m3 + m2 - 5m
= m (m2 + m)- 5m
= m (m + 3 + m) - 5m
= 2 (m2 - m)
= 2 × 3
= 6 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的 未知数的值是解题关键．
16 ．(-2, 2) 或(1, 5)
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的应用及对称点的表示，勾股定理，解一元二 次方程，解题的关键是设点的坐标，表示出AB 的长度．
根据对称性表示出 A ，B 两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】∵A ，B 关于直线y= x 对称，
:设A(a, b) ，则B(b, a ) ， 如图所示，
:BC = xB - xA ，AC = yA - yB ，
: (8)2 = (b - a )2 + (a - b)2 ， : 128 = 2 (b - a )2 ，
: (b - a )2 = 64 ，
: b - a = 8 或b - a = -8 （舍）， : b = a + 8 ，
∵ A (a, b) 在y = -x2 +10 上， : b = -a2 +10 ，
即a + 8 = -a2 +10 ，
整理得：a2 + a - 2 = 0 ， 解得a1 = -2 ，a2 = 1，
当a = -2 时，b = a + 4 = -2 + 4 = 2 ， 当a = 1 时，b = a + 4 = 1+ 4 = 5 ，
:点 A 的坐标为(-2, 2) 或(1, 5)；
故答案为：(-2, 2) 或(1, 5)．
17 ．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解 法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）利用提取公因式的方法对方程进行求解即可；
（2）利用配方法对方程进行求解即可． 【详解】（1）解：2x2 - 3x = 0
: x (2x - 3) = 0
: x = 0 或2x - 3 = 0
解得：
（2）x2 - 4x - 2 = 0 ．
: x2 - 4x + 4 = 6
: (x - 2)2 = 6
解得：
18 ．(1)80 ，72
(2)160000 元
【分析】本题考查求平均数和总位数，利用样本平均数计算总体：
（1）根据平均数和中位数的确定方法，进行求解即可；
（2）利用样本估计总体，进行求解即可．
解 中位数是第 10 ，11 两个数的平均数，
故
（2）500 × 80 × 4 = 160000 （元）．
故甲超市一个月（按 4 周算）的学生消费总金额事 160000 元．
19 ．该商场投入资金的月平均增长率10%
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解此题的关键．设该商场投入资金的月平均增长率为x ，根据“四月份投入资金 20 万元， 六月份投入资金 24.2 万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
【详解】解：设该商场投入资金的月平均增长率为 x ， 由题意得：20 × (1 + x )2 = 24.2 ，
解得：x1 = 0.1 = 10% ，x2 = -2.1（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率10% ；
20 ．(1)见解析
(2)5 或-2
【分析】本题考查了一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式 Δ = b2 - 4ac ：当
Δ > 0 ，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 ，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 ，方程 没有实数根,还考查了一元二次方程根与系数关系．
（1）利用根的判别式求出关于 m 的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2 - 4ac ≥ 0 ；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x + x - x1x2 = 19 ，转换
为(x1 + x2 )2 - 3x1x2 = 19 ，然后利用前面的等式即可得到关于 m 的方程，解方程即可求出结果． 【详解】（1）证明：Q △ = b2 - 4ac
= [-(m + 3)]2 -12m
= m2 + 6m + 9 -12m
= m2 - 6m + 9
= (m - 3)2 ；
又Q (m - 3)2 ≥ 0 ，
: b 2 - 4 ac ≥ 0 ，
:无论m 取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：Qx1 + x2 = m + 3 ，x1 . x2 = 3m ，x + x - x1x2 = 19 ， : (x1 + x2 )2 - 3x1x2 = 19 ，
: (m + 3)2 - 3× 3m = 19 ，
整理得m2 - 3m -10 = 0 ， 解得：m1 = -2, m2 = 5 ， 故m 的值为 5 或-2 ．
21 ．(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（2 ）由矩形得到AB = CD ，AD = BC ，上B = 上D = 90° , AF Ⅱ CE ，再证明 △ADE≌△CBF 得到DE = BF ，进而得到 CE = AF ，即可求证；
本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判 定，正确作出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，上BCF 即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD 为矩形，
: AB = CD ，AD = BC ，AB ⅡCD ，上B = 上D = 90° , , : AF Ⅱ CE ，
在 △ADE 和△CBF 中，
: △ADE≌△CBF (ASA )， : DE = BF ，
: CD - DE = AB - BF ， 即CE = AF ，
:四边形AECF 为平行四边形．
22 ．(1) y = 3x + 3
(2) 4h
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数图象是一 次函数，利用待定系数法解答．
（1）由题意可知该图象是一次函数，然后根据待定系数法求出函数解析式即可．
（2）把 y = 15 代入y = 3x + 3 进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：设 y 与 x 之间函数关系式为y = kx + b ， 由题意得 ，
解得：
答：y 与 x 之间函数关系式为y = 3x + 3 ；
（2）解：根据题意，当 y = 15 时，3x + 3 = 15
解得x = 4
答：当圆柱体容器液面高度15cm 时，该计时器计时时长4h
23 ．(1)20 ，40
(2)不能
【分析】本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用：
（1）根据题意可得高的2 倍加上PQ 的长等于AB 的长，高的2 倍加上2 倍的EF 的长等于AD 的长，据此求解即可；
（2）设出高，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、 宽、高，据此可得结论．
【详解】（1）解：由题意得 故答案为：20；40；
（2）解：设收纳盒高为 xcm ，
依题意得
整理得：x2 - 70x + 825 = 0 ，
解得：x1 = 15，x2 = 55 （不符合题意舍去）
:收纳盒长、宽、高分别为35cm、10cm、15cm ， : 10cm < 15cm ，
:玩具机械狗不能放入该收纳盒．
24 ．(1)证明见解析
(2)证明见解析 (3) 4 - 2
【分析】本题考查狗狗股定理， 全等三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握正方形的性 质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质利用SAS 证明即可解题；
（2）根据正方形的性质得到 △ABE≌△ADE ，然后根据三角形的内角和定理计算即可；
（3）根据正方形的性质得到 △CEF≌△CDG ，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）:四边形ABCD 为正方形，
: AD = CD ， Ð ADC = 90° , 即 Ð ADE + Ð EDC = 90° ,
:四边形DEFG 为正方形， : DE = DG ， Ð EDG = 90° , 即 Ð CDG + Ð EDC = 90°
: Ð ADE = Ð CDG ，
: △DAE≌△DCG (SAS)；
（2）设 Ð CFG = x ，
:四边形ABCD 为正方形，
: AB = AD ， Ð BAE = ÐDAE ， : AE = AE ，
: △ABE≌△ADE (SAS) : BE = DE ，
:四边形DEFG 为正方形 : DE = EF ， Ð EFG = 90° , : BE = EF ，
: Ð EBF = Ð EFB = 180° - Ð EFG - Ð CFG = 90° - x ， 在 △EBF 中，
上BEF = 180° - 上EBF - 上EFB = 180° - 2(90° - x) = 2x ，
: Ð BEF = 2Ð CFG ；
（3）∵四边形DEFG 为正方形
: Ð EFG = ÐDGF = 90° , EF = DG ， ∵ CF = CG ，
: Ð CFG = Ð CGF ，
: Ð EFG + Ð CFG = ÐDGF + Ð CGF 即 Ð EFC = ÐDGC
: △CEF≌△CDG (SAS)
: CE = CD = 2
由（1）知，CG = AE ， : CF = AE
在Rt△ABC 中，AB = BC = 2
: CF = AE = AC - AE = 2 - 2 ，
: BF = BC - CF = 2 - (2 - 2) = 4 - 2 ．
25 ．
(2)①当t = 时， x - 4x2 的最大值为 ；②见解析
【分析】（1）由二次函数y = ax2 + c 的最小值为 0，可得c =0 ，将点(2,1) 代入即可求得 a 的 值；
（2）（i）根据直线y = t2 与 相交于A, B 两点，解得 x1 = 2t, x2 = -2t ．设S = x - 4x2 ，
整理可得S = 4(t -1)2 - 4 ，根据二次函数的性质分情况讨论即可；
(ⅱ)取PQ 的中点N ，连接MN ．设 则 求得
由勾股定理，得 证得
上NQM = 上NMQ ．根据MN∥QT ，可得上NMQ = 上MQT ，即可证明QM 平分上PQT ． 【详解】（1）∵二次函数y = ax2 + c 的最小值为 0，
: c = 0,
又其图象过点(-2,1) ，
: (-2)2 . a = 1 ，解得 a = ，
（2）（i）由（1）知抛物线方程为 又直线y = t2 与 相交于A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) 两点，设A 在B 的右边，
: x1 = 2t, x2 = -2t ∵S = x12 - 4x2 ，
: S = x12 - 4x2 = 4t2 - 8t = 4(t -1)2 - 4 ，
当 随着t 的增大而减少，当且仅当 取得最大值 ；
当 随着t 的增大而增大，当且仅当 取得最大值 .
因此当 取得最大值 .
（ii）证明：如图，取PQ 的中点N ，连接MN .
依题意可设 则 ∵ PO ⅡQT ，M , N 分别为OT, PQ 的中点，
则
由勾股定理，得
: MN = QN ，则上NQM = 上NMQ .
: MN ⅡQT ，
:上NMQ = 上MQT .
:上NQM = 上MQT .
:QM 平分上PQT .
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，利用数形结合的思想是解题的关键．