2024-2025学年北京市平谷区八年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年北京市平谷区八年级下学期期末数学检测试卷，共29页。

2025 北京平谷初二（下）期末
数学
考生须知
1 ．本试卷共 6 页，三道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 120 分钟．
2 ．请将条形码粘贴在答题卡相应位置处．
3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；在答题卡上， 选择题和画图题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．
4 ．考试结束后，请将试卷和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1－8 题均有四个选项，符合题意 的选项只有一个．
1 ．数学中有许多精美的曲线．下面这四个曲线中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( )
A ．星形线 B ．三叶玫瑰线
C ．阿基米德螺线 D ．笛卡笛卡尔叶形线
2 ．若正多边形的一个外角是72° ,则这个正多边形是( )
A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形
3 ．关于 x 的一元二次方程(a - 2)x2 + x + a2 - 4 = 0 的一个根是 0，则 a 的值是( )
A ．0 B ．2 C ．-2 D ．2 或-2
4 ．一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件， ① AB = AD ② AC = BD ③ AC ^ BD ④ 上DAB = 90 中，选择其中一个条件填入（）中，补 全关系图，其中所有正确选项的序号是( )
A ．①②③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④
5 ．如图，在点M , N, P, Q 中，一次函数y = kx - 2(k > 0) 的图象不可能经过的点是( )
A ． M B ． N C ． P D ． Q
6 ．已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 为BC 上的一点（不与点B, C 重合），连 接AE ．求作：点F ，使得点 F 在AD 上，且AE//CF ．
甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下：
甲：以点C 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AD 于点F ，连接CF；
乙：以点D 为圆心，BE 的长为半径画弧，交AD 于点F ，连接CF； 丙：以点A 为圆心，CE 的长为半径画弧，交AD 于点F ，连接CF ．
上述三名同学的作法一定正确的是( )
A ．甲、乙 B ．乙、丙 C ．甲、丙 D ．甲、乙、丙
7 ．有 7 个互不相等的数组成了一组数据，其平均数 a 与这 7 个数都不相等，把 a 和这 7 个 数组成一组新的数据，下列结论正确的是( )
A ．新数据的平均值比原数据的平均值小 B ．新数据的方差比原数据的方差大
C ．这两组数据的中位数可能相同 D ．以上结论都不正确
8 ．AC 为平行四边形ABCD 的对角线，上CAE = 45 ，AE 丄 BC 于点E ，CF 丄 AB 于点F ， AE ，CF 交于点H ，连接 BH和DH ，射线CF 交线段DA 的延长线于点G ．①
上ABE = 上CHE ；② CH = CD ；③ ④ BH2 + AC2 = DH2 ；上述结论正确的有 ( )
A ．①② B ．①④ C ．①②④ D ．①②③④
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9 ．函数 中， 自变量x 的取值范围是 ．
10．若函数y = (2k - 6)x +1 是关于x 的一次函数，y 随x 增大而增大，则k 的取值范围是 ．
11 ．若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k ＝0 无实数根，则 k 的取值范围是 ．
12 ．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OE 丄 CD 于点E ，AC = 13, CD = 5 ， 则OE = ．
13 ．把方程x2 - 4x -1 = 0 化成(x - m)2 = n 的形式，则m + n = ．
14 ．如图，点A, B, E 在同一条直线上，正方形ABCD ，正方形BEFG 的边长分别为6, 2, M 为 DF 的中点，则 BM 的长为 ．
15 ．有一块长25 cm 、宽15 cm 的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正 方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为231 cm2 的无盖的盒子，设截去小正方形的 边长为xcm，则可列方程为 ．
16 ．关于函数y1 = -2x +1 和函数y2 = x + m( m < 0) ，有以下结论：
①当-1 < x < 0 时，y1 的取值范围是1 < y1 < 3；
②函数y2 = x + m(m < 0) 上的两点M(x1, y1 ), N (x2, y2 ) ，若x1 < x2 ，则 y1 > y2 ；
③函数y1 的图象和函数y2 的图象的交点在第四象限；
④若点（a，－3）在函数 y1 的图象上，点（b ，2）在函数 y2 的图象上，则a < b ．
其中所有正确的结论的序号是 ．
三、解答题（本题共 68 分，第 17 题 10 分，第 18－25 题，每题 5 分，第 26 -
28 题每小题 6 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17 ．解方程：
(1) 2x2 = 3x
(2) x2 - 6x - 16 = 0
18 ．在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 的图象经过点A(-1, 0) 和点B(1, 4) ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若点C 为x 轴上一点，且△ABC 的面积为 6，求点C 的坐标．
19 ．如图，。ABCD 中，AE 丄 BC 于E ，DF 丄 BC ，交BC 的延长线于点F ，求证：四边形 AEFD 为矩形．
20 ．已知：如图，在△ABD 中，AB = AD ． 求作：以AB 为边作菱形ABCD ．
作法：
①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB, AD 于点M , N ；分别以点M , N 为圆心， 大于 MN 的长为半径作弧，两弧在 ÐBAD 的内部相交于点P ，作射线AP 与BD 交于点O；
②以点O 为圆心，AO 的长为半径画弧，交射线AP 于点C ；
③连接DC, BC ．
四边形 ABCD 为所求的菱形．
(1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成以下证明．
证明：Q AB = AD, AP 平分 ÐBAD ，
:BO = ，AP 丄 BD 又Q AO = CO ，
: 四边形ABCD 为平行四边形（）（填推理的依据） 又Q AP 丄 BD
:平行四边形ABCD 是菱形．（）．（填推理的依据）
(3)若AB = 5, BD = 6 ，则菱形 ABCD 的面积为 ．
21 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + (k - 2)x + k - 3 = 0
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为正数，求实数k 的取值范围．
22 ．在平面直角坐标系xOy 中，将函数y = kx (k ≠ 0) 的图象向上平移 2 个单位得到的直线
y = kx + b (k ≠ 0) ，直线 y = kx + b (k ≠ 0) 经过点A(1, 5) ．
(1)求k 与b 的值；
(2)当x > 1 时，对于x 的每一个值，函数y = mx -1(m ≠ 0) 的值既大于 0，又小于一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的值，直接写出m 的取值范围．
23 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，E 为BC 的中点，延长AB 到点F ，使 连接EF ．
(1)求证：四边形OBFE 是平行四边形；
(2)若BD = 12, AB = 10 ，求平行四边形OBFE 的面积．
24 ．平谷区某家具城每月付给销售人员的工资有如下两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图，射线l1 、射线l2 分别表示该家具城每月按方案一、方案二付给销售人员的工资y1 （单
位：元）和y2 （单位：元）与销售人员当月家具销售总价（单位：万元）（ x ≥ 0 ）的函数关 系．
(1)直接写出方案二中的底薪是 元；
(2)求y2 与x 的函数解析式；
(3)若该公司某销售人员今年 5 月的家具销售总价没有超过 10 万元，但其 5 月的工资超过了 5000 元，请你判断该公司采用了哪种工资方案付给这名销售人员的 5 月工资，并说明你的 理由．
25 ．2025 年 2 月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干 措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于 2 小时．某校从初二年级随机抽取 50 名学生，记录这 50 名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理 分析，得到如下信息：
a ．50 名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：
45 ≤ x < 50,50 ≤ x < 55,55 ≤ x < 60,60 ≤ x < 65,65 ≤ x < 70 ）：
b ．50 名学生校外体育活动时长在55 ≤ x < 60 这一组的是：
55 55 56 56 56 56 56 56 56 56
56 56 56 57 57 58 58 59 59 59
c ．50 名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
(1)根据以上信息，回答下列问题：
①补全频数分布直方图； @ m 的值为 ，n 的值为 ．
(2)甲、乙、丙三名学生参加为期 5 天的专项、训练，每日活动时长记录如下（单位：分 钟）：
对每一名学生计算 5 天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均 数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中， 则这三名 学生中排序最靠前的是 ，表中 p(p 为整数）的值为 ．
26 ．某班“数学兴趣小组”在学完一次函数后，对函数的图象和性质进行了 探究，探究过程如下，请补充完整：
(1)列表：
表格中：m = ；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
56.2
m
n
学生
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
甲
64
58
60
60
59
乙
60
63
60
60
59
丙
60
60
60
59
p
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
7
m
3
1
-1
-3
-1
1
3
5
…
(3)观察图象：
3的图象关于 对称；
②直线y = n 与的图象有两个交点，n 的取值范围是 ；
③当-1 < x < 4 时，y 的取值范围 ．
(4)进一步研究：若点M(x1, y1 ), N (x2, y2 ) 是函数图象上任意两点，若对于
1 < x1 < 2, 2 < x2 < 3 ，都有 y1 < y2 ，则 t 的取值范围是 ．
27 ．在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点（不与点A，D 重合），将线段CB 沿直线CE 翻 折，得到线段CF ，连接FD 并延长，与线段CE 的延长线相交于点 G，连接 AG ．
(1)依题意补全图形；
(2)求上CGF 的度数；
(3)用等式表示线段AG 与DF 的数量关系，并证明．
28．对于实数d > 0 和平面直角坐标系xOy 中的两点M(x1, y1 ) 和N(x2, y2 ) 给出如下定义：如 果 x1 - x2 > d 或者y1 - y2 > d ，则称点M和点N 是d 阶遥远点．如果图形G1 上任意点M和 图形G2 上任意点N 都是d 阶遥远点，则称图形G1 和图形G2 是d 阶遥远图形．
已知点A(4,0) , B (0, 4) , C (-4,0) , D (0, -4) ，
(1)下列各点中，点A 的 阶遥远点是 ； P1 (1,0), P2 (3,1), P3 (4, ), P4 (5, -2)．
(2)如果直线l : y = kx + 6(k ≠ 0) 与四边形ABCD 是 1 阶遥远图形，求k 的取值范围．
(3)已知点E(t,0) ，F (t + 1,0) ，以 EF 为直角边，点E 为直角顶点作等腰直角 △EFG ，若等 腰直角 △EFG 与四边形ABCD 为、2 阶遥远图形，直接写出实数t 的取值范围．
1 ．A
【解析】略
2 ．C
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理， 正多边形的外角和为 360 度，据此求出边数 即可得到答案．
解 ，
∴这个多边形的边数为 5，即该多边形是 正五边形， 故选：C．
3 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一 元二次方程的根的定义代入计算即可．
【详解】解：因为一元二次方程(a - 2)x2 + x + a2 - 4 = 0 有一个根是 0， 所以0 + 0 + a2 - 4 = 0 ，a - 2 ≠ 0
解得a = -2 ．
故选：C．
4 ．B
【解析】略
5 ．A
【解析】略
6 ．B
【解析】略
7 ．D
【解析】略
8 ．C
【解析】略
9 ．x ≠ 1
【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围， 分式有意义的条件，根据分式有意义的条件 是分母不为 0 进行求解即可．
【详解】解：根据题意可得 x -1≠ 0 ；
解得x ≠ 1，
∴函数 中， 自变量x 的取值范围是x ≠ 1．
故答案为：x ≠ 1．
10 ．k > 3
【解析】略
11 ．k ＞1.
【分析】由关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k ＝0 无实数根，可得：△ < 0，再列不等式，解不 等式可得答案．
【详解】解：Q 关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k ＝0 无实数根， :△ < 0，
:22 - 4× 1 × k ＜0， :4 - 4k ＜0，
:-4k ＜-4, :k ＞1.
故答案为：k ＞1.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次 方程根的判别式是解题的关键．
12 ．6
【解析】略
13 ．7
【解析】略
14 ．
【解析】略
15 ．(25 - 2x )(15 - 2x ) = 231
【解析】略
16 ．①④ 【解析】略
17 ．
(2) x1 = 8, x2 = -2
【详解】（1）解：2x2 = 3x
2x2 - 3x = 0 x (2x - 3) = 0 x1 =
（2）x2 - 6x - 16 = 0
由于a = 1, b = -6, c = -16
b2 - 4ac = (-6)2 - 4× 1 × (-16) = 100
x1 = 8, x2 = -2
18 ．(1) y = 2x + 2
(2)C (2,0) , C (-4,0) 【解析】略
19 ．见解析
【详解】∵平行四边形ABCD : AD//BC
Q AE 丄 BC, DF 丄 BC : AE//DF
: 四边形AEFD 是平行四边形． Q AE 丄 BC :上AEC = 90
:平行四边形AEFD 是矩形．
20 ．(1)见解析
(2) BO = DO ；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱 形
(3) 24
【解析】略
21 ．(1)见解析
(2) k < 3
【详解】证明：（1）Qa = 1, b = k - 2, c = k - 3
:b2 - 4ac = -4× 1 × (k - 3)
= k2 - 8k +16 = (k - 4)2 ． Q (k - 4)2 ≥ 0. : Δ ≥ 0
:方程总有两个实数根．
Q 方程有一根为正数 :3 - k > 0 :k < 3 ．
22 ．(1)k = 3, b = 2
(2)1≤ m ≤ 3
【解析】略
23 ．(1)见解析
(2)S平行四边形ABCD = 24
【详解】（1）Q 菱形ABCD : AB = BC, AO = CO ．
QE 为BC 中点 :OE 为△ABC 的中位线

: 四边形OBFE 是平行四边形．
（2）过点 O 作OM 丄 AB 于点M
Q菱形ABCD :AC 丄 BD :上AOB = 90 Q BD = 12, AB = 10 : OB = 6 ，
Q AB = 10 : OA = = 8, BF = 5
OM = 4.8 ．
: S平行四边形ABCD = 24 ．
24 ．(1)3000
(2) y2 = 200x + 3000
(3)采用了方案一，理由见解析 【详解】（1）3000
（2）设 y2 = kx + b
Q 过（0 ，3000）和（4 ，3800）
: 4k 00 解得b
:y2 = 200x + 3000 ．
（3）设 y1 = kx
Q 过（4 ，2400） :4k = 2400 k = 600 :y1 = 600x 若按照方案一发工资，则600x > 5000 解得： 若按照方案二发工资，则200x + 3000 > 5000
x > 10 （不合题意）
Q 销量没有超过 10 万元 :采用了方案一．
25 ．(1)
(2)
【解析】略
26 ．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】略
27 ．(1)见解析
(2) 45°
(3) DF = AG ，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质， 熟练掌握相关知识点 是解题的关键．
（1）依题意补全图形即可；
（2）设上DCG = a ，利用正方形和翻折的性质得到上FCG = 上BCG = 90° - a ，CF = CB = CD ， 再利用等腰三角形的性质即可求出上CGF 的度数；
（3）作 AH丄 AG ，交 FG 的延长线于点 H，连接 BG ，利用正方形和翻折的性质证明
△ABG≌△ADH ，得到 AG = AH ，GB = HD ，推出△AGH 是等腰直角三角形，则有 GH = 2AG ，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如图 1 所示：
（2）解：设 上DCG = a ． Q 四边形ABCD 是正方形， : CB = CD ，上BCD = 90° , :上BCG = 90° - a ，
Q将线段CB 沿直线CE 翻折，得到线段CF ，
: CF = CB ，上FCG = 上BCG = 90° - a ，
: CF = CD ，上FCD = 上FCG - 上DCG = 90° - 2a
:上CGF = 上CDF - 上DCG = 45° .
（3）解：DF = AG ，证明如下：
如图 2，作 AH丄 AG ，交 FG 的延长线于点 H，连接 BG ．
QAH 丄 AG ，
:上HAG = 90° ,
Q 四边形ABCD 是正方形，
:AB = AD ，上BAD = 90° ,
:上HAG + 上GAD = 上BAD + 上GAD ，即 上HAD = 上GAB ， Q将线段CB 沿直线CE 翻折，得到线段CF ，
: GB = GF ，上GBC = 上F ，
Q 上ABG = 90° - 上GBC ，上ADH = 90° - 上CDF = 90° - 上F ，
:上ABG = 上ADH ，
:△ABG≌△ADH (ASA ) ， : AG = AH ，GB = HD ，
:△AGH 是等腰直角三角形，GF = HD ，
: GH = AG ，
:DF = GF - DG = HD - DG = HG = AG ， :DF = AG ．
28 ．(1)P1 , P4
(2) 0 < k < 1或-1 < k < 0
(3) t < -5 - , t > 4 + , 2 - 3 < t < 3 - 2 【解析】略